2018-03-29 14:25
来源:
清北学堂
今天清北学堂信息学金牌教研团队给大家汇总了一下矩阵的运算
一、矩阵的加法与减法
1、运算规则　　设矩阵
则
清北学堂信息学金牌教研团队提醒，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．　　2、运算性质（假设运算都是可行的）　　满足交换律和结合律
　　交换律　
；
　　结合律　
．
二、矩阵与数的乘法
　　1、运算规则数
乘矩阵A，就是将数
乘矩阵A中的每一个元素，记为
或
．　　特别地，称
称为
的负矩阵．　　
2、运算性质　　满足结合律和分配律　　结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA．　　分配律：λ(A+B)=λA+λB．典型例题例6.5.1　已知两个矩阵
满足矩阵方程
，求未知矩阵
．解　由已知条件知
三、矩阵与矩阵的乘法
　　1、运算规则　　设
，
，则A与B的乘积
是这样一个矩阵：　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即
．　　(2) C的第
行第
列的元素
由A的第
行元素与B的第
列元素对应相乘，再取乘积之和．典型例题例6.5.2　设矩阵
计算
解
是
的矩阵．设它为
想一想：设列矩阵
，行矩阵
，
和
的行数和列数分别是多少呢
是3×3的矩阵，
是1×1的矩阵，即
只有一个元素．课堂练习　　1、设
，
，求
．　　
2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．　　
3、设列矩阵
，行矩阵
，求
和
，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？　　
4、设三阶方阵
，三阶单位阵为
，试求和，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．
解：　　第1题
．　　第2题　　对于
，
．　　求是有意义的，而是无意义的．
清北学堂信息学金牌教研团队结论
结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．　　
第3题
是矩阵，是的矩阵．
．
结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律．　　
第4题　　计算得：
．　　
结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即
．　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．典型例题例6.5.3　设
，试计算和
．解
．
结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若，不能得出或的结论．
例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组
可以写成矩阵的形式
＝
若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为
，
，
，　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：
2、运算性质（假设运算都是可行的）　　
(1)　结合律　
．　　(2)　分配律　
（左分配律）；
（右分配律）．　　(3)　
3、方阵的幂定义：设A是方阵，是一个正整数，规定，
显然，记号表示个A的连乘积．
下面是有清北学堂信息学金牌教研团队给大家总结的矩阵的转置
四、矩阵的转置
1、定义
定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作
或
．　　例如，矩阵
的转置矩阵为．
　　2、运算性质（假设运算都是可行的）　
　(1)　
　　(2)　
　　(3)　
　　(4)　
，
是常数．
　　2、运算性质（假设运算都是可行的）　
(1)　
　　(2)　
　　(3)　
　　(4)　
，
是常数．典型例题
例6.5.5 利用矩阵
验证运算性质：
解
而
所以
．
定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．
对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．
五、方阵的行列式
1、定义
定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作
或
2、运算性质　　(1)
（行列式的性质）　　(2)
，特别地：
(3)
（
是常数，A的阶数为n）思考：设A为
阶方阵，那么
的行列式
与A的行列式
之间的关系为什么不是
，而是
？　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下
和
．　　例如
，则
．　　于是
，而
．思考：设
，有几种方法可以求
？解 方法一：先求矩阵乘法
，得到一个二阶方阵，再求其行列式．　　　　方法二：先分别求行列式
，再取它们的乘积．
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向量点乘和叉乘分别满足哪些规矩（结合律分配律交换律等）_360问答1个回答满意答案向量的数乘满足交换律、各种结合律、对数和向量的分配率。（ka=ak,k(a+b)=ka+kb,(k+l)a=ka+la,k,l是数a，b是向量）向量的点乘：婷自粒头交换律、分配率（不满足结合律）a·b=b·a
a·（b+c）=a·b+a·c（结果是一个数）向量的外积（叉乘）：只满足对点、叉的分配率，交换变相反方向（a×b=-b×a） （结果是一个向量）您可能感兴趣的内容广告相关问题求导公式运算法则运算法则减法法则：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)加法法则：(f(x)+g(x求导公式运算法则商或相互复合构成的函数的导函笑弯数则可以通过函数的求导法则来推导。 求导运算法则是:加(减)法则:[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则:[f(x)...导数的运算法则导数的四则运算法则:1、(u+v)'=u'+v'2、(u-v)'=u'-v'3、(uv)'=u'v+uv'4、(u/v)'=(u'v-uv')/v^2如... 差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过...导数的运算法则加（减）法则：（f+g)'=f'+g'
乘法法则： （f*g)'=f'*g+g'*f
除法法则：（f/g)'=(f'求导的四则运算法则求导的四则运算法则是(u+v)'=u'+v',(u-v)'=u'-v',(uv)'=u'v+uv',(u÷v)'=(u'v-uv')÷v^2。 求导是数学计算中的一个计算方法,它的定义就是,当自变量的增...导数四则运算法则我们可以把导数的四则运算法则简化为如下图所示的、比较简洁的四则运算公式。 简化后的导数四则运算法则公式注】分母v≠0. 四、复...求根号的运算法则分母上有根号的先把根号去掉在按顺序一个一个解多做做 就会灵活应用了查看更多点我做任务，抽手机哦
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线性变换满足结合律，但不满足交换律，这是有关线性变换运算的两条最基本的结论。下面来详细阐述一下这一问题，需要分成以下几个方面。线性变换(linear transformation)是线性代数(linear algebra)的基本概念，它是一类满足某些特殊性质的变换(transformation)。那么什么是变换呢？变换从本质上讲就是函数的意思。函数是一个我们非常熟悉的概念了，它的意思就是把一个集合中元素对应到另外一个集合中元素的对应法则。不过，我们在高中学习的函数一般都是从数集到数集的对应。把这个概念再放宽一些，变成从向量集合到向量集合的对应，那这时就把这个函数特意地称为“变换”。在线性代数里面，由所有n维向量组成一个集合，这些向量之间可以进行加减法运算和数乘运算。把可以进行这两种运算的集合通常成为一个线性空间(linear space)，它其中的一组基(basis)所包含的向量的个数，称为线性空间的维度(dimension)。可以看出，所有n维向量组成的集合就是一个n维线性空间，通常记为R^n。所以总结为一句话：变换的本质，就是从一个线性空间到另一个线性空间的函数。任何一个从线性空间到线性空间的对应法则，都可以称为一个变换。那这样的变换太多了，杂乱无章，研究起来没有什么意义，我们从里面挑出一些满足一定性质的、有意义的变换，于是就有了线性变换这个概念。线性变换(linear transformation)指的是满足下列性质的变换：这两条性质其实也被称为运算的线性性，线性变换这个名字也因此而来。线性其实是广泛存在于自然界中与我们日常生活当中的一种现象，它描述的是一种不同数量可以“简单叠加”的性质。举个例子，买同一种商品所花的钱就是一个关于商品数量的线性函数，比如我买3+4个，即7个面包所花的钱，就等于买3个面包的钱，加上买4个面包的钱。线性变换中最常见的一类就是所谓的矩阵变换(事实上，下文我们将会看到，线性变换的本质就是矩阵变换)。矩阵变换(matrix transformation)指的是这样一种把向量变成向量的对应法则：先给定一个矩阵m×n阶矩阵A，然后对于一个n维向量x，给它左边乘上A，变成Ax，根据乘法行与列的运算法则，这样得到的就是个m维向量。所以它把一个n维向量变成一个m维向量，这样的变换我们称为由矩阵A诱导出的线性变换，简称为矩阵变换。这种变换一定是线性的，因为很容易验证，对于任何矩阵A，都有：矩阵变换在电脑做图中非常有用，在电脑中对一张图片进行拉伸，旋转，翻转等操作，本质就是矩阵变换。因为一张图片是由很多像素点组成的，每一个像素可以看成是一个2维向量。对图片进行操作，就相当于把每个向量都变换一下。比如我想把一张图片等比例拉伸三倍，就相当于把每一个向量都拉伸三倍，方法就是让每一个向量都乘以一个3倍单位矩阵：于是就会产生以下的效果：除了上面讲的拉伸变换，其他常见的矩阵变换还有如下几种翻转变换前面分别乘以如下两个矩阵：实现的效果就是把图片关于x轴翻转，以及关于y轴翻转：旋转变换想把一个图形逆时针方向旋转角度φ，可以在前面乘上如下矩阵：于是就可以得到如下效果剪切变换剪切变换就是把一张图片斜着拉伸，比如下面这个效果实现方法就是前面乘以如下的矩阵：当然还可以对图像进行多次变换，那就是不停地在前边乘以矩阵，于是就是下面这个效果上面的图片就是在矩阵研究中做出巨大贡献的德国数学家雅可比(Jacobi，1804-1851)前面我们已经介绍到，给我一个矩阵就可以导出一个矩阵变换而，每一个矩阵变换都是一个线性变换。那么反过来，给我一个线性变换，它跟矩阵有没有关系呢？下面来探讨一下这个问题。首先面临的第一个问题就是，一个线性变换是把线性空间中的每一个向量都对应到另一个线性空间中的向量。但是一个线性空间里边包含无数多个向量，你需要知道每一个向量对应过去是啥才算是知道了这个线性变换的全部信息。那无数多个向量我怎么可能列的完呢？好在线性空间不是孤立的集合，它的元素与元素之间有运算关系，所以整个空间就具有某种结构，我们在线性代数里面学过一个线性空间，都至少有一组基。这一组基是由若干个向量组成的，它们之间线性无关，并且使得线性空间中的每一个向量都可以被这一组基中的向量所线性表示。又根据线性变换本身具有线性性，所以我们只需要知道这个线性变换把这组基中的每个向量变成啥，就相当于知道了这个线性变换的全部信息。利用这一点，我们只需要研究所有基的象即可。下面我们只讨论R^n到R^n，即自身到自身的线性变换T。即每一个向量变过去之后，仍然还是本集合的向量。n维线性空间一组基中有n个向量，我们把它们记为：只需要研究线性变换把上面这n个向量变成啥就可以了，而每一个向量变过去之后的向量还属于该集合，因此它也能被这一组基所表示。我们不妨假设我们把前面的系数提取出来，按列组成一个n×n阶的矩阵：这个矩阵就称为线性变换T在这一组基下所诱导出的矩阵。于是可以看出，给我一个矩阵就可以导出一个线性变换；反过来，给我一个线性变换就可以导出一个矩阵。因此，线性变换和矩阵就是一一对应的，所以我们得出一个自然的结论，就用一个矩阵来代表一个线性变换。于是就可以把线性变换的关系转化为矩阵的关系。我们知道，矩阵可以进行运算，比如加减法，数乘，以及最复杂的矩阵乘法。那么，不同的线性运算之间可以做运算么？如果可以的话，线性表换的运算和矩阵的运算有什么关系呢？本节就来讨论这个问题。我们知道，线性变换的本质就是函数，而我们讲函数时学过它的五种运算：加减乘除，以及复合。所以线性变换也可以进行这五种运算，其中与本文有关系的是最后一种——复合运算(composite)：可以看出来，它也是R^n到R^n的线性变换。两个线性变换的复合变换仍然是线性变换，可以如下简单的证明：先看第一条：再看第二条：所以两个线性变换的复合变换仍然是线性变换，那么根据上文，它就对应一个矩阵。那这个矩阵与前两个线性变换的矩阵有什么关系呢，我们有如下结论这个结论的证明比较简单，我们暂时略去。但是这个结论所具有的意义却是非常重要的，它表明，线性变换的复合运算就完全等同于矩阵的乘法运算。这个结论的重要意义就在于，我们要想研究线性变换之间的关系，那么直接转化成研究矩阵之间的关系就可以了。而矩阵之间的运算我们是研究得很清楚的。我们知道矩阵的乘法满足结合律，即对任意的三个矩阵A，B，C，(假设乘法可以进行)，一定满足因此线性变换的复合运算也是满足结合律的。但是矩阵的运算是不满足交换律的，我们可以随便举一个例子来，比如给出下面两个矩阵：可以计算一下：很明显二者是不相等的。只要举出一个例子来，就可以说明矩阵的乘法不满足交换律的，因此对应过来，线性变换的复合运算也不满足交换律。我们举一个具体的例子好了，就拿上面的两个矩阵导出的线性变换：我们就让它们复合，然后作用在单位向量〈0，1〉上，比较一下两个结果：明显是不一样的。只要有一个向量作用过去不一样，那这就是两个不同的线性变换，这就说明了两个线性变换的复合运算是不满足交换律的。本文我们使用了一种在数学里边非常常用的手法，当我们面对一种难以处理的数学对象时，可以把它转化成另外一种数学对象，并且这两种数学对象之间具有相同的结构。于是我们只需要把新的数学对象的性质研究清楚了，就可以返回去得到旧的数学对象的性质，这就是“同构”(isomorphism)的思想。在本文中我们就建立起了所有线性变换与所有矩阵之间的同构，于是通过研究矩阵的性质得到线性变换的性质。“同构”(isomorphism)，是数学中的核心概念之一，它研究的就是两种不同的结合所具有的相同的性质，通常指的是相同的运算性质。因此但凡含有运算的集合，都有同构这个概念，比如线性空间的同构，群的同构，环的同构等等。同构的集合，我们在研究性质时可以看成相同的结合，因此这一概念就在不同的数学对象之间寻找到了某种统一性，用它就可以来解决很多复杂的数学问题。参考文献[1] Linear Algebra and Its Applications，David C. Lay，Pearson.[2] Precalculus, Tenth Edition, Michael Sullivan, Pearson.[3] 《高等代数》，第三版，北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组，北京，高等教育出版社[4] 《工程数学线性代数》，第五版，同济大学数学系，北京，高等教育出版社}