数学一个有意思的地方，也是学数学困难的地方，在于它经常培养初学者对于一个数学对象的刻板印象。一旦刻板印象没有被打破，我们理解数学总会出现各种各样的困难。从小我们看到的数，带单位或不带单位，一般都是用十进制表示的：一张人民币面值最大100元，答主身高1.65m，等等。于是我们养成了这样的刻板印象：“数”就是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9以及小数点构成的一个串。我们长大了，一些人学了数学，一些人学了计算机，认识到了其他进位制。比如黄色的 RGB 值用十六进制数 FFFF00 表示，答主体重 1000000kg 用二进制表示。还有那个著名的笑话，世界上有 10 种人，一种懂二进制，一种不懂二进制。于是，“数是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9以及小数点构成的”这个刻板印象被打破了。但是这仍然没有打破下面的刻板印象：“数都是由 0, 1, ..., k 以及小数点构成，其中 k 根据进位制决定。”我们仍然认为数“是”一个字符串，但事实上数不是字符串，我们只是用字符串在表示一个数。一者，数是一个抽象的概念，而字符串是一个你能写下来、指着它讨论问题的具体的东西；再者，一个数在不同的进位制下可以有不同的表示。曾经我跟一个学物竞的朋友解释上面这件事情，他感到世界观受到了冲击。保有刻板印象的一个后果是问出“ 0.999\cdots 是否等于 1 ”和“ 0.000\cdots01 是否等于 0 ”这样的问题。因为按照刻板印象，既然数就是字符串，那么看到一个字符串——即使是无限长的 0.000\cdots01 ——我都认为它是一个数；我自然要问它是多少，而全然认识不到这个字符串根本不表示任何数（在通常的十进制表示法下）。而且我看到长相不同的字符串0.999\cdots 和 1，自然也就认为它们是不同的数，而全然认识不到这两个字符串表示同一个数。如果你初学线性代数，看到向量都是用一串数表示的，你很有可能会形成“向量就是数组”的刻板印象。（事实上 c++ 中的一种顺序容器就叫 vector。）接着你会认为线性变换就是一个数表\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} 认为两个向量的张量积就是\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1y_1\\x_1y_2\\ \vdots \\ x_1y_n \\ \vdots \\x_ny_1\\ \vdots\\ x_ny_n \end{pmatrix} 认为积分就是\int_a^b f(x)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x 认为 Fourier 级数就是\sum_{n\in\mathbb Z}\hat f(n)e^{inx},\ \hat f(n)=\int_0^{2\pi} f(x)e^{-inx}dx 但实际上这些都是刻板印象。向量写成 n 元数组，张量积写成 n^2 元数组，只是在某个特定的基下的坐标；Riemann积分只是抽象积分的一种表现形式；Fourier 级数是局部紧 Abel 群上 Fourier 变换的特殊情形。当你不需要深究时尽可以使用这些表现形式，但想要走得更远你必须打破它们。}

1不能被3除尽，是十进制导致的，这点很多答主已经说的很明白。为什么圆可以被三等分？因为三等分是一种理想的数学概念，就是假定存在完美的分割方法，让每一个分割部分都刚好精准的三分之一。这在现实世界是不可能做到的。换一个角度，如果限定你分割圆的方法，首先要将圆精确地10等分，然后将其中9份平均分成3堆，这样就剩下1份。然后对剩下的这份再进行10等分，重复取9份平分，然后剩余1份……这样就跟1除以3除不尽是完全一样了。圆可以精确三等分，实际上隐含了三进制的概念。允许平分三份，而不是十份，所以当然可以完美三等分。}