这个问题初值 x_1 并未给定，为避免繁琐的讨论，不妨假定 x_1\in(0,\pi), 至于其他情形，几乎可做完全类似的推证。注意到，在 (0,\pi) 上， f(x):=x+\sin x
单调递增，且 f(x)\in(0,\pi), 不难证得 \{x_n\} 单调递增且有界，于是必然收敛。通过对递归式取极限，得 A=A+\sin A, 于是 \sin A=0,
这时只能有 A=\pi. 当 n充分大后，有 0<A-x_n<1.于是\begin{align*} &\lim_{n \to \infty}\left|\ln \frac{1}{|x_n-A|}\right|^\frac{1}{n}\\ =&\lim_{n \to \infty}[-\ln (A-x_n)]^\frac{1}{n}\\ =&\exp\lim_{n \to \infty}
\frac{\ln(-\ln(A-x_n))}{n}\\ =&\exp \lim_{n \to \infty} \left[\ln(-\ln(A-x_{n+1}))-\ln(-\ln(A-x_n))\right]~~~~~~(\text{Stolz})\\ =&\exp \lim_{n \to \infty} \ln\frac{-\ln(A-x_{n+1})}{-\ln(A-x_n)}\\ =&\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(A-x_{n+1})}{\ln(A-x_n)}\\ =&\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(A-x_n-\sin x_n)}{\ln(A-x_n)}\\ =&\lim_{x \to \pi} \frac{\ln(\pi-x-\sin x)}{\ln(\pi -x)} \\ =&\lim_{t \to 0}\frac{\ln(t-\sin(\pi-t))}{\ln t}~~~~(t:=\pi-x)\\ =&\lim_{ t \to 0} \frac{\ln (t-\sin t)}{\ln t}\\ =&3. ~~~~(\text{L' Hospital})\end{align*} }