你是从哪里看出来收敛的？？？由于中间有个瑕点，所以要分成两段反常积分来考虑：\int_{-1}^{1}\frac{1}{sinx}dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{sinx}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{sinx}dx ,必须两部分瑕积分都收敛才行，不能将两部分直接抵消化为零。考虑 （0，1] 区间，由 0<sinx<x 知 \frac{1}{sinx}>\frac{1}{x}>0 。故
\int_{0}^{1}\frac{1}{sinx}dx|>|\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx
，而 \lim_{t \rightarrow 0^+}{\int_{t}^{1}\frac{1}{x}dx}=\lim_{t \rightarrow 0^+}{(-lnt)}=+\infty ，可知瑕积分是发散的。}

有很多同学问我，这万能公式在有些反常积分中并不适用，显然，你对此万能公式理解的太不到位了！我之所以这么写是因为这样已经是比较好用的简洁归纳了，实际上，为了保证证明的一致性，最为简洁的反常积分万能公式，只有一个即任意的反常积分（包括瑕积分和无穷区间的反常积分）均可化为\int_{}^{}\frac{1}{x^{\alpha}ln^{\beta}x}dx ，当 且仅当 x\rightarrow 0(瑕积分)，\begin{cases}
\alpha<1
\\[2ex] \alpha=1，\beta>1\end{cases},收敛 反常积分的敛散性判别在考研数学中主要是以选择题的形式出现，但我发现很多同学在遇到较复杂的反常积分，或者含参积分并不会做题，根据现有的教材普遍有定义法、比较审敛法的极限形式等等方法，小题大作，甚至有的同学在看到解析后仍是一头雾水，如何归纳出简介快速有效的判敛方法至关重要！有鉴于此，在这里我们给出一个关于反常积分的小总结（反常积分敛散性万能公式），让你能够面对反常积分快速判断出来！首先给定以下例题进行示例，并比较常规做法，与万能公式法之间的区别：1.判别 \int_{2}^{3}\frac{1}{(x-1)^{4}\sqrt{x(x-2)}}dx 的敛散性。2.设 m，n 为正整数，则反常积分 \int_{0}^{1}\frac{\sqrt[m]{ln^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}dx 的敛散性。3.设 m，n 为常数，若反常 x\rightarrow 0 积分 \int_{0}^{+\infty}\frac{x^{n}(1-e^{-x})}{(1+x)^{m}}dx 收敛，则 m,n 的取值范围。4.若反常积分 \int_{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b}lnxdx 收敛，则可确定 a、b 。5.设 a>0,f(x)=\begin{cases}\frac{arctanx}{x^{\frac{a+1}{2}}},0<x<1\\[2ex] \frac{ln(1+sin\frac{1}{x^{a}})}{x^{b}lncos\frac{1}{x}},1\leq x <+\infty \end{cases} ,若 \int_{0}^{+\infty}f(x)dx 收敛，则 a,b 的取值范围。一、万能公式将任意反常积分化为标准型 \int_{}^{}\frac{1}{x^{\alpha}ln^{\beta}x}dx ，（1）当
x\rightarrow 0(瑕积分)，\begin{cases}
\alpha<1
\\[2ex] \alpha=1，\beta>1\end{cases},收敛
；（2）当x\rightarrow \infty(无穷区间的反常积分)，\begin{cases}
\alpha>1
\\[2ex] \alpha=1，\beta>1\end{cases},收敛
（3）其他情况均发散！（注意：此公式推导可参照我的14节课冲刺课，实际上，记住结论即可）二、例题示范1.判别 \int_{2}^{3}\frac{1}{(x-1)^{4}\sqrt{x(x-2)}}dx 的敛散性。万能公式法：当 x\rightarrow2^{+} 时，\frac{1}{(x-1)^{4}\sqrt{x(x-2)}}\sim\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x-2}}
，因 \alpha=\frac{1}{2}<1 ,故收敛。2.设 m，n 为正整数，则反常积分 \int_{0}^{1}\frac{\sqrt[m]{ln^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}dx 的敛散性。万能公式法;当x\rightarrow0^{+}时，有\frac{\sqrt[m]{ln^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{n}}ln^{-\frac{2}{m}}(1-x)}\sim\frac{1}{x^{\frac{1}{n}-\frac{2}{m}}} ,因， \frac{2}{m}>0,\frac{1}{n}<1, 所以 \alpha=\frac{1}{n}-\frac{2}{m}<1, 显然关于 x=0 的瑕积分收敛；当x\rightarrow1^{-}时，有 \frac{\sqrt[m]{ln^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{n}}ln^{-\frac{2}{m}}(1-x)}\sim\frac{1}{(1-x)^{0}ln^{-\frac{2}{m}}(1-x)}由于 \alpha=0<1 ,显然，关于 x=1 的瑕积分收敛；综上所述，任意正整数m，n均使得反常积分 \int_{0}^{1}\frac{\sqrt[m]{ln^{2}(1-x)}}{\sqrt[n]{x}}dx收敛。3.设 m，n 为常数，若反常积分 \int_{0}^{+\infty}\frac{x^{n}(1-e^{-x})}{(1+x)^{m}}dx 收敛，则 m,n 的取值范围。万能公式法：当x\rightarrow0^{+}时，有\frac{x^{n}(1-e^{-x})}{(1+x)^{m}}\sim\frac{1}{x^{-(n+1)}} 若关于 x=0 的瑕积分收敛，则 \alpha=-(n+1)<1, 即 n>-2 ；当x\rightarrow+\infty时，有\frac{x^{n}(1-e^{-x})}{(1+x)^{m}}\sim\frac{1}{x^{m-n}} 若关于无穷区间的反常积分收敛，则 \alpha=m-n>1, 即 m>n+1 ；综上所述，当n>-2，m>n+1时使得反常积分 \int_{0}^{+\infty}\frac{x^{n}(1-e^{-x})}{(1+x)^{m}}dx收敛。4.若反常积分 \int_{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b}lnxdx 收敛，则可确定 a、b 。万能公式法：当x\rightarrow0^{+}时，有x^{a}(1-x)^{b}lnx\sim\frac{1}{x^{-a}ln^{-1}x} 若关于 x=0 的瑕积分收敛，则 \alpha=-a<1, 即 a>-1 ；当x\rightarrow1^{-}时，有x^{a}(1-x)^{b}lnx\sim-\frac{1}{(1-x)^{-(b+1)}} 若关于 x=1 的瑕积分收敛，则 \alpha=-(b+1)<1, 即 b>-2 ；综上所述，当a>-1，b>-2时使得反常积分 \int_{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b}lnxdx收敛。 5.设 a>0,f(x)=\begin{cases}\frac{arctanx}{x^{\frac{a+1}{2}}},0<x<1\\[2ex] \frac{ln(1+sin\frac{1}{x^{a}})}{x^{b}lncos\frac{1}{x}},1\leq x <+\infty \end{cases} ,若 \int_{0}^{+\infty}f(x)dx 收敛，则 a,b 的取值范围。万能公式法：当x\rightarrow0^{+}时，有\frac{arctanx}{x^{\frac{a+1}{2}}}\sim\frac{1}{x^{\frac{a-1}{2}}} 若关于 x=0 的瑕积分收敛，则 \alpha=\frac{a-1}{2}<1, 即 a<3 ；当x\rightarrow+\infty时，有\frac{ln(1+sin\frac{1}{x^{a}})}{x^{b}lncos\frac{1}{x}}\sim-\frac{2}{x^{a+b-2}} 若关于无穷区间的反常积分收敛，则 \alpha=a+b-2>1, 即 a+b>3 ；综上所述，当a<3,a+b>3时使得反常积分 \int_{0}^{+\infty}f(x)dx收敛。 三、反常积分与无穷级数的关系在这里，我们给出了一个很好用的万能公式，那么是否囊括的足够全呢？或者说所有的反常积分都适合吗？不妨，再给出一个迥然不同的例子：6.若反常积分 \int_{0}^{+\infty}e^{-ax}cosbxdx 收敛，求 a，b
取值范围。常规做法（分类讨论）：（1）当 a=b=0 时，反常积分为 \int_{0}^{+\infty}1dx ，发散；（2）当 a=0,b\ne0 时，反常积分为 \int_{0}^{+\infty}cosbxdx=\frac{sinbx}{b}丨_{0}^{+\infty} ，发散；（3）当 a\ne0,b=0 时，反常积分为 \int_{0}^{+\infty}e^{-ax}dx a.若 a>0 ,则反常积分 \int_{0}^{+\infty}e^{-ax}dx=-\frac{e^{-ax}}{a}=\frac{1}{a} ,收敛；b.若 a<0 ,则反常积分\int_{0}^{+\infty}e^{-ax}dx发散。（4）当a\ne0,b\ne0 时，区间再现，有\int_{0}^{A}e^{-ax}cosbxdx=\frac{e^{-aA}}{a^2+b^2}(bsinbA-acosbA)+\frac{a}{a^2+b^2} a.若 a>0 ,则反常积分 \lim_{A \rightarrow +\infty}[{x}\frac{e^{-aA}}{a^2+b^2}(bsinbA-acosbA)+\frac{a}{a^2+b^2}]=\frac{a}{a^2+b^2} ,收敛；b.若 a<0 ,则反常积分\lim_{A \rightarrow +\infty}[{x}\frac{e^{-aA}}{a^2+b^2}(bsinbA-acosbA)+\frac{a}{a^2+b^2}]不存在，发散。综上所述，当 a>0,b 任意时，反常积分收敛。极简做法（向无穷级数看齐）：将其作为连续型的无穷级数看待，则根据无穷级数收敛性质可知，令\lim_{x \rightarrow +\infty}{}u_{x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}{}e^{-ax}cosbx=0 时级数收敛的必要条件，因此，当a>0,b 任意时， \lim_{x \rightarrow +\infty}{}u_{x}=0 ，显然，此时，级数必收敛，结果易得。从这里，我们引出了关于无穷级数的敛散性判别，这又是另一个万能公式的开始了！具体请参照14课冲刺课或我的专栏考研数学如何取得145+的分数？！}