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1、专训专训1 1概率应用的四种概率应用的四种 求法求法习题课习题课【学习目标】1归纳出用列举法求概率的随机事件的特征，加深对用树状图和列表法求等可能随机事件概率的体验2能能够恰当应用树状图和列表法解决不同复杂程度的等可能随机事件 概率可以通过大量重复试验中频率的稳定性概率可以通过大量重复试验中频率的稳定性来估计，它反映了事件发生的可能性的大小，需来估计，它反映了事件发生的可能性的大小，需要注意的是：概率是针对大量重复试验而言的，要注意的是：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并不一定出现在每次试大量重复试验反映的规律并不一定出现在每次试验中常见的计算概率的方法有公式法验中常见的计

2、算概率的方法有公式法(仅适用于仅适用于等可能事件等可能事件)、列表法、画树状图法和频率估算法、列表法、画树状图法和频率估算法等等用公式法求概率用公式法求概率 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）种1方法方法 用公式法求概率用公式法求概率1一个不透明的袋中装有一个不透明的袋中装有5个黄球，个黄球，13个黑球和个黑球和22 个个红球，它们除颜色外都相同红球，它们除颜色外都相同 (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；求从袋中摸出一个球是黄球的概率；(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同现从袋中取出若干个黑球

3、，并放入相同数量数量 的的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是是 黄球黄球的概率不的概率不小于小于 ，问至少取出了多少问至少取出了多少个个 黑黑球？球？13(1)P(摸出一个球是黄球摸出一个球是黄球)(2)设取出了设取出了x个黑球，则放入了个黑球，则放入了x个黄球个黄球，由由题意题意得得 解得解得 x .x为正整数为正整数，x最小取最小取9.则则至少取出了至少取出了9个黑球个黑球解：解：28=51,5 13223x 用列表法求概率用列表法求概率 列表法当一次试验涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出

4、所有可能的结果，通常采用列表法2方法方法用列表法求概率用列表法求概率2.【2015潍坊潍坊】某校为了解九年级学生近两个月某校为了解九年级学生近两个月“推推 荐荐书目书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学学 生生，调查了他们每人，调查了他们每人“推荐书目推荐书目”的阅读本数的阅读本数设设 每每名学生的阅读本数为名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档，并按以下规定分为四档：当当n3时，为时，为“偏少偏少”；当；当3n5时，为时，为“一般一般”；当当5n8时，为时，为“良好良好”；当；当n8时，为时，为“优秀优秀”将将调查结果统计后绘制成如下不完整的统计图表

5、：调查结果统计后绘制成如下不完整的统计图表：阅读本数阅读本数n/本本人数人数/人人y1请根据以上信息回答下列问题：请根据以上信息回答下列问题：(1)分别求出统计表中的分别求出统计表中的x，y的值；的值；(1)由题中图表可知被调查学生中由题中图表可知被调查学生中“一般一般”档次档次的的 有有13人，所占比例是人，所占比例是26%，所以所以共调查的学生数是共调查的学生数是1326%50(人人)，则则调查学生中调查学生中“良好良好”档次的人数档次的人数为为 5060%30(人人)，所以所以x30(127)11，y50()3.解：解：请根据以上信息

6、回答下列问题：请根据以上信息回答下列问题：(1)分别求出统计表中的分别求出统计表中的x，y的值；的值；(1)由题中图表可知被调查学生中由题中图表可知被调查学生中“一般一般”档次档次的的 有有13人，所占比例是人，所占比例是26%，所以所以共调查的学生数是共调查的学生数是1326%50(人人)，则则调查学生中调查学生中“良好良好”档次的人数档次的人数为为 5060%30(人人)，所以所以x30(127)11，y50()3.解：解：(2)估计该校九年级估计该校九年级400名学生中为名学生中为“优秀优秀”档次档次 的的人数；人数；(2)由样本数据可知由样本数据可知“优秀优秀”档次

7、所占的比例档次所占的比例是是 0.088%.所以所以，估计该校九年级，估计该校九年级400名学生中为名学生中为“优秀优秀”档次档次的人数为的人数为4008%32(人人)解：解：3 150(3)从被调查的从被调查的“优秀优秀”档次的学生中随机抽取档次的学生中随机抽取2名名 学生学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法方法 求求抽取的抽取的2名学生中有名学生中有1名阅读本数为名阅读本数为9的概率的概率(3)用用A，B，C表示阅读本数是表示阅读本数是8的学生，用的学生，用D表示表示 阅读阅读本数是本数是9的学生，列表如下：的学生，列表如下：解：解：ABCDA(A，

8、B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)由列表可知，共有由列表可知，共有12种等可能的情况，其中所抽取种等可能的情况，其中所抽取的的2名学生中有名学生中有1名阅读本数为名阅读本数为9的有的有6种种所以所以，抽取的，抽取的2名学生中有名学生中有1名阅读本数为名阅读本数为9的的概率概率P61.122=用画树状图法求概率用画树状图法求概率 当一次试验涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法当次试验涉及两个因素时，也可采用画树状图3用画树状用画树状

9、图法求概率图法求概率方法方法3体育课上，小明、小强、小华三人在踢足球，体育课上，小明、小强、小华三人在踢足球，足足 球球从一人传到另一人就记为踢一次从一人传到另一人就记为踢一次 (1)如果从小强开始踢，经过两次踢球后，足球如果从小强开始踢，经过两次踢球后，足球踢踢 到到了小华处的概率是多少？了小华处的概率是多少？(1)画树状图如图：画树状图如图：解解：P(足球踢到小华处足球踢到小华处)1.44用频率估算法求概率用频率估算法求概率方法方法在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面个，小颖做摸球实验，

10、她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：一组统计数据：(1)请估计：当请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近很大时，摸到白球的频率将会接近_；(精确到精确到01)(2)假如摸一次，摸到白球的概假如摸一次，摸到白球的概率率P(白球白球)_；(3)试估算盒子里黑、白两种颜试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只色的球各有多少只?专训专训2 2利用概率判断游戏利用概率判断游戏 规则的公平性规则的公平性习题课习题课 通过计算概率判断游戏是

11、不是公平是概率知通过计算概率判断游戏是不是公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点解决识的一个重要应用，也是中考考查的热点解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平戏不公平1训练角度训练角度利用概率判断摸球游戏的公平性利用概率判断摸球游戏的公平性1在一个不透明的口袋里装有分别标有数字在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次每次试验前先搅拌均匀试验前先搅拌均匀

12、(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为为 多少多少？不透明的口袋里装有分别标有数字不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的的 四四个球，球上的数字为偶数的是个球，球上的数字为偶数的是2与与4，从中任取一球，球上的数字为偶数的概率从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为为解：解：21.42=画画树状图如图：树状图如图：解：解：(2)若从中任取一球若从中任取一球(不放回不放回)，再从中任取一球，再从中任取一球，请请 用用画树状图或列表格的方法求出两个球上的画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字数字 之之和为偶数的概率和为偶数的概率共有共有12种等

13、可能的结果，两个球上的数字之种等可能的结果，两个球上的数字之和和 为为偶数的有偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共共4种情况，种情况，两个球上的数字之和为偶数的概率两个球上的数字之和为偶数的概率为为41.123=解：解：(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的的 数字数字之差的绝对值为之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问时甲胜，否则为乙胜，请问这这 种种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由两个球上的数字之差的绝对值为两个球上的数字之差的绝对值为1的有的有(1，2)，(2，3)，

14、(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共共6种情况，种情况，P(甲胜甲胜)P(乙胜乙胜)P(甲胜甲胜)P(乙胜乙胜)，这种游戏方案对甲、乙双方公平这种游戏方案对甲、乙双方公平61,122=61.122=2训练角度训练角度利用概率判断转盘游戏的公平性利用概率判断转盘游戏的公平性2.【2016营口营口】如图是一个转盘，转盘被平均分成如图是一个转盘，转盘被平均分成4等等 份份，即被分成，即被分成4个大小相等的扇形，个大小相等的扇形，4个扇形分别个扇形分别标标 有有数字数字1，2，3，4，指针的位置固定，转动转盘，指针的位置固定，转动转盘后后 任任其自由停止，每次指针落在每一扇形的其自由停止

15、，每次指针落在每一扇形的机会均等机会均等 (若指针恰好落在分界线上则重转若指针恰好落在分界线上则重转)(1)图中标有图中标有“1”的扇形至少绕的扇形至少绕圆心圆心 旋转旋转_度能与标有度能与标有“4”的的 扇形扇形的起始位置重合的起始位置重合；90(2)现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定现有一本故事书，姐妹俩商定通过转盘游戏定输输 赢赢(赢的一方先看赢的一方先看)，游戏规则是：姐妹俩各，游戏规则是：姐妹俩各转动转动 一一次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的次转盘，两次转动后，若指针所指扇形上的数数 字字之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上之积为偶数，则姐姐赢；若指针所指扇形上的的 数

16、字数字之积为奇数，则妹妹赢这个游戏规则对之积为奇数，则妹妹赢这个游戏规则对双双 方方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由公平吗？请利用树状图或列表法说明理由解：解：(2)列表如下：列表如下：由表可知由表可知共共有有16种等种等可可能能的结果的结果，且且指针所指扇形上的数字之积为偶数的有指针所指扇形上的数字之积为偶数的有12种，种，奇奇数数的有的有4种，则指针所指扇形上的数字之积为偶数的种，则指针所指扇形上的数字之积为偶数的概率概率是是 ，指针所指扇形上的数字之积为指针所指扇形上的数字之积为奇奇数数的概率的概率是是 ，则游戏不公平则游戏不公平 12341(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)2

17、(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)64=3训练角度训练角度利用概率判断统计事件的公平性利用概率判断统计事件的公平性3.【2016天水天水】近年来，我国持续的大面积的雾霾近年来，我国持续的大面积的雾霾天天 气气让环境和健康问题成为焦点，为了调查学生对让环境和健康问题成为焦点，为了调查学生对雾雾 霾霾天气知识的了解程度，某校在学生中作了一次天气知识的了解程度，某校在学生中作了一次抽抽 样样调查，调查结果共分为四个等级；调查，调查结果共分为四个等级；A.非常了解；非常了解；B.比较比较了解；

18、了解；C.基本了解；基本了解；D.不了解根据调查不了解根据调查统计统计 结果结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表对雾霾天气对雾霾天气了解程度的了解程度的统计表：统计表：对雾霾天气的了解程度对雾霾天气的了解程度百分比百分比A.非常了解非常了解5%B.比较了解比较了解15%C.基本了解基本了解45%D.不了解不了解n请结合统计图表，回答下列问题：请结合统计图表，回答下列问题：(1)本次参与调查的学生共有本次参与调查的学生共有_人人，n_；(2)扇形统计图中扇形统计图中D部分扇形所对应的部分扇形所对应的圆心角圆心角

19、补全条形统计图；请补全条形统计图；调查调查的结果为的结果为D等级的人数为等级的人数为：，故补全的条形故补全的条形统计统计图如图如图所示，图所示，解：解：(4)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞竞 赛赛，某班要从，某班要从“非常了解非常了解”程度的小明和小刚程度的小明和小刚中中 选选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规规 则则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从从 袋袋中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三中随机摸出一个球，另一个人再从剩下的三个个 球球中随机摸出一个球若摸出的两个球上的中随机摸出一个球若摸出的两个球上的数字数字 和和为奇数，则小明去，否则小刚去请用树状为奇数，则小明去，否则小刚去请用树状图图 或或列表法说明这个游戏规则是否公平列表法说明这个游戏规则是否公平解：解：(4)由题意可得，画树状图如图所示，由题意可得，画树状图如图所示，P(数字和为奇数数字和为奇数)P(数字和为偶数数字和为偶数)故故游戏规则不公平游戏规则不公平82,123=41.123=

在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（   ）