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1、精品文档讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】 首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（ 20 分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25 分钟），课堂练习（ 15分钟）。【授课内容】一、

2、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了 n数列x的极限、x（x、）函数 f xnx的极限、 xx0 （ xx0 、 xx0 ）函数 f ( x) 的极限这七种趋近方式。下面我们用.精品文档x 表示上述七种的某一种趋近方式，即nxxxx x0 x x0 xx0定义：当在给定的 x下， f ( x) 以零为极限，则称 f (x) 是 x下的无穷小，即 limfx0 。x 例如 ,lim

3、为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的 x下，f x 无限增大，则称f x 是 x下的 无穷大，即 lim f x。显然， n时， n、 n 2、 n3、 都是无穷大量，x【注意】不能把无穷大与很大的数混淆； 无穷大是极限不存在的情形之一。 无穷小与无穷大是相对的， 在不同的极限形式下， 同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim ex0，lim ex，xx所以 ex 当 x时为无穷小，当 x时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f x 为无穷大，则1为无穷小；反之，如果f x 为无穷小，且 f x0 ，则1为无穷大。f xf x小结：无

4、穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势， 因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3. 无穷小与函数极限的关系 :定理 1 lim f (x) = A ? f ( x)A+ (x), 其中( x) 是自变量在同一变化过x? x0x程 xx0 （或 x）中的无穷小 .证：（必要性） 设 limf ( x) =

5、无穷小，则limf (x) = lim( A+ ( x)Alim (x)A.x x0x x0x x0【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小 );（2） 给出了函数 f ( x)在 x0附近的近似表达式f (x) ? A, 误差为( x).3. 无穷小的运算性质定理 2在同一过程中 ,有限个无穷小的代数和仍是无穷小 .【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 .例如

11limxlim sinx2不存在 . 不可比 .x 0x 0x极限不同 ,反映了趋向于零的 “快慢 ”程度不同 .1定义:设 ,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且1 0.(1)如果 lim= 0, 就说 是比 高

这个经典极限了，我发现自己对这个经典极限的证明也不是很熟悉了。。。

类似的问题！等价无穷小替换太不熟练了！

我用的泰勒展开，但过程中也遇到困难，考试前应当把求导、积分、展开式都记熟，否则考场上太容易出错了。
而且实际上这题用定义+洛必达才是标答。

这个题相当有意思，和后面的分式型积分有异曲同工之妙