初二数学（下）应知应会的知识点

1．二次根式：一般地，式子a,(a?0)叫做二次根式.注意：（1）若a?0这个条件不成立，则 a不是二次根式；（2）a是一个重要的非负数，即；a ≥0.

3．ab??b(a?0,b?0)，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.

5．二次根式比较大小的方法：

（1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

（3）分别平方，然后比大小.

7．二次根式的除法法则：

（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化

因式，使分母变为整式.

8．常用分母有理化因式： 与，?b与a?b， m?nb与m?n，它们

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被

开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.

11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二

12．二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内

的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有

时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

四边形 几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）

一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，

菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.

二 定理：中心对称的有关定理

※1．关于中心对称的两个图形是全等形.

※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

11．S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高） 2

2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）

13．S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线） 2

※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：

2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.

平行四边形n(n?3). 2矩形方菱形

3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ?? ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ?? ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 ?? .注意：线段有两条对称轴.

※5．梯形中常见的辅助线：

※6．几个常见的面积等式和关于面积的真命题：

第二篇：八年级下册数学知识点已整理 2500字

苏科版八年级数学下册知识点总结

7.1用不等号表示不等关系的式子叫做不等式

1不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 7.2不等式的性质：○

2不等式的两边都乘（或除以不为0）正数，不等号的方向不变；不等 ○

式的两边都乘（或除以）负数，不等号的方向改变

7.4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。

7.5用一元一次不等式解决问题

7.6由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。

不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。

7.7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数

当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；

当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。

8.1AB叫做分式，其中

A是分式的分子，B是分式的分母。

8.2分式的基本性质 分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示就是AB=A?M

B?M(其中M是不等于0的整式)

根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。

根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。

8.3同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减

异分母的分式相加减，先通分，再加减。

8.4分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

8.5分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

求分式方程的解，只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母，有时就可以将分式方程转化为一元一次方程来解。

如果由变形后的方程求得的根不合适原方程，那么这种根叫做原方程的增根。 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须检验。

x叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x

的函数，k是比例系数。

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

9.2一般地，反比例函数y=

xkx(k为常数，k≠0)的图象是由两个分支组成的，是双曲线。 (k为常数，k≠0)的图象是双曲线。

当k>0时，双曲线的两分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x增大而减小， 当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大。

9.3反比例函数的应用

c中，我们把b叫做a和c的比例中项

AB10.2如果ABAC，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比值约为

10.3各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形

两个相似三角形对应边的比值叫做它们的相似比

10.4如果一个三角形的两个三角与另一个三角形的两个角对应相等，

那么这两个三角形相似。

平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，

那么这两个三角形相似。

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 10.5

相似三角形周长的比等于相似比

相似多边形周长的比等于相似比

相似三角形面积的比等于相似比的平方

相似多边形面积的比等于相似比的平方

相似三角形对应高的比等于相似比

10.6 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的

两个图形叫做位似形，这个点叫做位似中心。（会画图）

10.7相似三角形的应用

在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影

在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长成比例

在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影

第十一章 图形与证明（一）

对名称或术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义

判断某一件事情的句子叫做命题

如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题

如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命

11.3用推理的方法证明真命题的过程叫做证明。进过证明的真命题称为定理

证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：

（1） 根据命题，画出图形。

（2） 根据命题，结合图形，写出已知、求证；已知部分是已知事项（即命题的条件），求

证部分是论证的事项（即命题的结论）

定理：内错角相等，两直线平行

两直线平行，内错角相等

两直线平行，同旁内角互补

三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于180°

三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

11.4两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了

12.2一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，那么其中的m个结果之一出现时，事件

A发生，那么事件A发生的概率为 P(A)=

12.3等可能条件下的概率（二）

　　1.数的分类及概念

　　说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)

　　2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0)

　　性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

　　3.倒数： ①定义及表示法

　　4.相反数： ①定义及表示法

　　②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

　　5.数轴：①定义(“三要素”)

　　②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

　　6.奇数、偶数、质数、合数(正整数―自然数)

　　偶数：2n(n为自然数)

　　7.绝对值：①定义(两种)：

　　几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

　　②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

　　1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)

　　2. 运算定律(五个―加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]

　　3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左”

　　到“右”(如5÷ ×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

　　三、 应用举例(略)

　　1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│

　　1.代数式与有理式

　　用运算符号把数或表示数的.字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

　　的一个数或字母也是代数式。

　　整式和分式统称为有理式。

　　含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

　　没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

　　有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

　　3.单项式与多项式

　　没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积―包括单独的一个数或字母)

　　几个单项式的和，叫做多项式。

　　说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，=x, =│x│等。

　　区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

　　5.同类项及其合并

　　条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

　　合并依据：乘法分配律

　　表示方根的代数式叫做根式。

　　含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

　　注意：①从外形上判断;②区别： 、 是根式，但不是无理式(是无理数)。

　　⑴正数a的正的平方根( [a≥0―与“平方根”的区别]);

　　⑵算术平方根与绝对值

　　① 联系：都是非负数， =│a│

　　②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

　　8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

　　化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

　　满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

　　把分母中的根号划去叫做分母有理化。

　　⑴ ( ―幂，乘方运算)

　　⑵零指数： =1(a≠0)

　　负整指数： =1/ (a≠0,p是正整数)

　　二、 运算定律、性质、法则

　　1.分式的的加、减、乘、除、乘方、开方法则

　　⑴基本性质： = (m≠0)

　　⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)

　　3.整式运算法则(去括号、添括号法则)

　　5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

　　6.乘法公式：(正、逆用)

　　7.除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

　　8.因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

　　10.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. .

　　三、 应用举例(略)

　　四、 数式综合运算(略)

　　1.总体：考察对象的全体。

　　2.个体：总体中每一个考察对象。

　　3.样本：从总体中抽出的一部分个体。

　　4.样本容量：样本中个体的数目。

　　5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。

　　6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数)

　　1.样本平均数：⑴ ;⑵若 ， ，…， ,则 (a―常数， ， ，…， 接近较整的常数a);⑶加权平均数： ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

　　2.样本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 (a―接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数);若 、 、…、 较“小”较“整”，则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

　　三、 应用举例(略)

　　一、 直线、相交线、平行线

　　1.线段、射线、直线三者的区别与联系

　　从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

　　2.线段的中点及表示

　　3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)

　　4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)

　　5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)

　　6.互为余角、互为补角及表示方法

　　7.角的平分线及其表示

　　8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)

　　10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)

　　11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。

　　12.定义、命题、命题的组成

　　1.定义(包括内、外角)

　　2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，

　　3.三角形的主要线段

　　讨论：①定义②××线的交点―三角形的×心③性质

　　① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

　　⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

　　4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质

　　⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

　　⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法

　　⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。

　　⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

　　⑴直接证法：综合法、分析法<B

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原文地址（我的博客）：

时我就感叹过生成函数（generating function）是全书最精彩的部分之一，这个漂亮的结构有很多非常有趣的用法。近日在看 时也被迫复习了Racket/Scheme语言所定义的流（stream）结构，偶然想到二者之间似乎存在着十分微妙的联系。所以我在此随手写一篇抄书性质的小结，不作严谨的定义和推导，仅浅谈我对它们的新理解和应用。

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生成函数是离散数学中最神奇且实用的工具之一，它把关于序列（sequence）的问题转换成了关于代数的问题。

简单来说，我们可以构造这样一个关于变量 x 的函数

这种表示法可以在很多问题的解决上给出启发，比如一个由1组成的序列1,1,...可以写成这样的生成函数

就可以得到一个关于级数的重要结论，也是几何级数的计算公式

当然，这只是生成函数应用的冰山一角，接下来会随着编程工具的引入发掘更多，包括很多脱离辅助变量 x 的例子。

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Scheme的函数即lambda表达式的语法糖，封装一个无参函数，把需要求值的部分写在函数体中可以实现延迟求值（delayed evaluation）。流结构正是利用了该特性，用于表示一个特殊的pair或者说list，只有第一个元素的值是已经求值完成的，后面的元素只有当取用时才会安排求值过程。构造一个stream所用的特殊过程cons-stream

可以被理解为等同于这样的一个过程（当然cons-stream的特殊性在于它不会在传入参数前就对第二个参数进行求值）

一个stream通常由第一个已经求值完成的元素<a>和剩下还没有进行求值而被放置的另一个stream也就是上面的形参<b>组成，看上去像是一个天然的递归结构。可以和一般的pair一样定义一些选择器（selector）：

当然，除此之外对于delay还有一个重要的优化，因为这些表达式可能会被调用多次进行多次求值，所以很有必要在被调用前检查它是否在之前的调用中已经被计算过了，如果是，可以直接返回之前的计算结果而不用再次计算。所以实际上会用memo-proc封装一个过程proc，调用proc返回它的结果，并把结果放入本地cache，以备不时之需。

接下来我们用上面流工具来隐式定义（implicitly define）上面那个全为1的序列

这个长度无限的流ones也可以用来表示前文提到的生成函数$G(x)$

同样可以做一些显式的定义，如正整数序列可以定义为

为了方便使用和构造更多的流，我们需要仿照着针对普通list的几个常用函数，给我们的stream定义一些习语（idiom）。

stream-map对流s的每个元素应用一次proc并将结果组成新的流返回

Scheme的内置习语map是一个更复杂的过程，可以使用多个长度相同的list作为参数，参数proc取每个list 相同位置 的元素作为proc的所有参数进行计算，计算结果放入返回list的对应位置。对于流操作，这样的过程仿写为

应用stream-map可以定义两个流对应位置的元素相加产生新的流的过程add-streams，这个操作也等同于把两个生成函数直接相加。

最后，可能需要用以显示前n个元素的打印过程

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用生成函数表示计数问题

德川和我修院来到一家高级雪食餐厅，喝完迎宾酒后主菜还没有做完，于是侍者主动提出可以先上 n 块曲奇，但只有巧克力味和原味两种口味，我修院认为原味非常新鲜非常美味，而德川更喜欢巧克力口味，于是开始为了这 n 块曲奇应该如何点而争执起来，请一共有多少种可能的点法？

这个计数问题很熟悉，如果 n=1 只有两种可能性， n=2 时有三种可能， n 块曲奇中巧克力味的数量为 [0,n] ，剩下的都是原味，所以共有 [0,n] 种取法。

现在可以构造一个生成函数 Cookie(x) 来表示这样的计数问题， x^n 项前的系数为两种口味从取出$n$块曲奇的取法总数。

塘埔冰室的烧仙草可以加入不同类别不同数量的配料，但不同的配料在数量上有一些限制：珍珠只能加3的整数倍颗，葡萄干只能加奇数粒……

如果以一个生成函数 f(x) 表示 n 颗珍珠怎么取，实际上只有0和1两种系数，当 n 为3的倍数时 x^n 的系数为1，否则为0

同理，葡萄干的生成函数为

现在有一位蜘蛛侠来到了冰室点了一杯烧仙草，并准备加入数量为 n 的配料，请问他一共有多少种方案？

这个问题先放一下，虽然我猜很多人看到这已经算出答案了或者知道做法了，但为了更完整的解法，还是需要再引入一些工具。

为了把更多关于 x 的函数转换成与生成函数形式相似的，关于 x 的多项式函数，需要借助Taylor级数在 x=0

等式右边这样多项式的写法对于求导或积分非常有利，以积分为例，如果有一个形如这样的生成函数或Maclaurin级数

常数 C 需要根据具体情况确定。现在试着计算出从 x 项开始的系数序列，假设$f(x)$的各项系数按顺序用stream表示，那么integrate-series函数返回这个生成函数的积分除了常数项以外的所有部分

接下来我们可以隐式的定义和计算出更多函数的Maclaurin级数，比如众所周知有

，这两个函数的第一项可以确定了，那么剩下的只需要再这样隐式的定义即可

上面是一个很典型的互递归（mutual recursion）定义，sine-series和cons-stream的定义中都带有另一个。虽然函数（过程）的定义中这样互递归的场景很多，但对于非过程的变量这样做需要十分谨慎，因为变量的求值一般是遵循及时求值（eager evaluation）的，好在这里的cons-stream保证了对第二个参数的延迟求值。

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铃木，木村和三浦三位同学在空手部社团活动结束后来到一家新开的拉面店为社团 n 位同学预定 n 份拉面，已知每种拉面的选择都遵循相应的生成函数……

假设a拉面的点对应的生成函数为

相应的， n 份b拉面有 b_n 种取法。

现在需要从a和b两种拉面中选出 n 份，那么可以是0份a+n份b，1份a+n-1份b，2份a+n-2份b，……，n-1份a+1份b，n份a+0份b，所以取法共有

的卷积（convolution）序列，在信号处理和控制论中可以看到卷积序列的很多应用，这里就不展开详谈了。卷积序列的计算可以直接用上面那个求和公式计算每一项，也可以为了编写程序方便而把它看成

这样只需要将 A(x) 的每项系数乘以 B(x) 并按顺序错位相加就可以得到 A(x) \cdot

计算(convolute-series ones ones)可以发现结果等于integers，这也是符合上面对于计数问题的解释的：从没有数量限制的A和B中一共取 n 个，取法共有 n+1 种。当然，反过来说，也可以用类似于前文对几何级数所做的错位相减计算出integers所代表的生成函数

这也正好是两个ones所代表的生成函数的乘积。

根据结合律，这个规则也可以推广到多个两两不相交的集合。

假设拉面一共有 k 种口味可选，需要从中点 n 份，一共有多少种选法？这个问题用普通的计数问题视角可以转化成另一个与之双射的问题：长度为 n 的序列中需要插入 k-1 个间隔，第 i 个间隔和第 i+1 个间隔间的全部元素都是第 i 种口味的拉面，也就是说需要在 n+(k-1) 长度的序列中选择 (k-1) 个元素作为间隔，剩下的元素自然的可以标记为确定口味的拉面，那么显然总共可以有

接下来再试着用生成函数的思路看待这个问题：每种口味的拉面对应的生成函数都可以用ones序列表示，即 1/(1+x) ，那么从 k 种拉面中选取项的生成函数等于它们的乘积即

就是我们刚才用普通的计数法算得的结果。

把之前的问题完整的延伸开来

蜘蛛侠来到塘埔冰室购买一杯烧仙草，冰室主人梁启超允许他加入数量为 n 的配料，已知配料的选择必须遵循以下原则：
1. 珍珠的数量为3的倍数
2. 葡萄干的数量必须为奇数
3. 最多能放2粒花生米
4. 最多能拿一个和别人不一样的勺子（勺子包含在配料内）
那么蜘蛛侠可以选择多少种不同的搭配方案？

和别人不一样的勺子的生成函数

那么计算它们组合出的计数就可以按照卷积规则直接相乘得

x^n 前的系数为 n ，也就是说蜘蛛侠一共有 n 种方案去搭配出数量为 n 的配料。

在上面烧仙草的例子中可以看到最后得到生成函数的代数形式有时是可以互相约分消去的，比如ones写为 1/(1-x) 意味着它在形式上与 1-x 满足交换环（commutative ring）的性质，令 S 表示生成函数 f(x) 对应的序列，如果有一个生成

其中 I 为初始项为1其他项为0的单位元，那么可以说 R 是 S 的乘法逆元。当且仅当 S 的初始项不为0时， S 存在相应的乘法逆元 S^{-1} ，直接计算 S^{-1} 可能会有些困难，但可以通过关系隐式定义，假设 S 的初始项为 S_0 ，初始项后面的部分为 S_R (除了初始项为0，其他部分与 S 一致)，那么有

根据上面的表达式可以直接隐式的递归定义逆运算为

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多个生成函数相乘得到的结果，有时并不像烧仙草问题那样在形式上工整熟悉容易展开，也可能同时不像拉面问题/曲奇问题那样性质良好适合重复求高阶导数算Maclaurin级数。最后需要面对的可能是一些更一般的形式，虽说借助上面定制的编程工具convolute-series直接硬算卷积也没什么可麻烦的，不过技不压身，完全可以多学习一些算术技巧去解决它们。

部分分式方法（partial fraction method）利用这个等式关系把多项式的商转化成和的形式。举个例子，假设我们得到的某个结果为

现在要把它转化为普通的生成函数那样幂级数的形式，首先把分母因式分解，利用一元二次方程求根公式得到 1-x-x^2=0 的两个根为

上面是一种比较一般的形式，有时会遇到更特化的形式：分母在因式分解后存在重复的分式。也就是分母存在重复根，那么展开为分式的和的形式时可以存在这样的项：

其中 \alpha 为 k 个重复根 r 的倒数，计算这个式子的展开形式并不困难，在拉面问题中已经看到了

再用 \alpha x 代替 x 并在整个式子前面乘以系数 c ，就可以得到整个分式展开后 x^n 前系数为

再加上其他分式展开后的系数就是最终的计算结果了。

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在解线性递推（linear recurrence）问题时，我们常常会找连续几项的关系，并用对应的 x^n 代表它们，然后形成一个特征方程求解。这样的方法从生成函数的角度也是可以找到依据的。以求解Fibonacci序列的通项为例，令 F(x) 表示它的生成函数，即 f_n 为第 n

与Binet公式一致。

顺带一提，根据演示的递推关系，即第二行与第三行的和从第二项开始与Fibonacci序列一致，可以隐式的定义出一个表示Fibonacci数的stream

一个更一般的线性递推式关系表现为

其中 d 表示递推的次数， c_i 为常数， h(n) 表示非齐次项。

从生成函数的角度来看，要使得这些 f(n),f(n-1),\cdots,f(n-d) 像刚才那样“对齐”到同一个位置，需要在生成函数前乘 x^i 并乘以系数 相关的内容，高次部分只剩下 h(n)x^n ，那么当 h(n) 的生成函数也可以被表示为多项式的商的形式时，这个线性递推问题可以用类似前面的部分分式法把它分解为多个生成函数的线性组合。

当然，解线性递推问题已经有了像特征方程那样成熟的工具，直接使用就可以了。从生成函数视角开始一步步求解只是为了方便理解为什么可以那样做。

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通过生成函数，我们在离散的序列问题与连续的代数问题之间建立了联系。 x^n 乃至 x 本身在函数中都只起了占位作用，在不理解由序列构造的生成函数本身的物理意义的前提下，在构造出的幂级数往往并不收敛的情况下，用代数的方法求解忽略限制求解计数问题。stream数据结构是生成函数和它们对应的无限长度的序列的良好容器，可以应用于表达幂级数，通过编写相关计算函数工具，也给形式并不特殊的生成函数问题提供了求解的可能性。

[1]: 假设 x \ne 1 ， x 取值并不重要所以这里和以后涉及这个断点时也不再强调这个不等式约束。