平方根法和改进的平方根法

§2.4 平方根法与改进的平方根法 对称正定矩阵 平方根法 改进的平方根法 * * 定义 一个矩阵 A = ( aij )n?n 称为对称阵，如果 aij = aji 。 定义 一个矩阵 A 称为正定阵，如果 对任意非零向量 都成立。 ?回顾：对称正定阵的几个重要性质 ? A?1 亦对称正定，且 aii > 0 ? A 的顺序主子阵 Ak 亦对称正定 ? A 的特征值 ?i 可知对任意k ? i 有 。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元。 Cholesky分解法 设 由比较法得计算公式 计算顺序： 平方根法 平方根法的优点： 无需选主元,算法稳定; 2. 计算量小,乘除运算量为 ,约为高斯法的一半. 3. 计算过程中所需存储单元少. 缺点: 求L时需n次开方运算，从而增大了计算量。 设 2.4.2改进的平方根法 计算公式 记 方程组求解公式 思考：1.为什么引入平方根法与改进的平方根法？ 2.能否用紧凑格式将对称正定矩阵进行 Cholesky分解和 LDLT分解？怎样分解？ 例　设有方程组 = 解 ：