常用方法:①洛必达法则 ②等价无穷小代换 ③泰勒公式
常用方法:①洛必达法则
②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大
当n=m时,极限等于 ,当n<m时,极限等于0,当n>m时,极限等于+∞.
常用方法:①通分化为 (适用于分式差)
②根式有理化(适用于根式差)
③提无穷因子,然后等价代换或变量代换(t= )、泰勒公式
常用方法:f(x)由分子变为分母,化为 型或 型
②改写成指数 ,用洛必达法则;
这类函数一定是幂指函数,即 ,求解的方法式将其改写为指数形式,从而就化为0 · ∞ 型。
a)两式相加减时考虑:
①提取极限非零的公因子
②拆开后等价无穷小代换
(拆开的条件:加法两式相除的极限≠-1,减法两式相除的极限≠1,
b)看见根号相加减时,考虑有理化
d)幂指函数时:先改写幂指函数为指数函数,再等价代换
与函数极限方法相同,但注意不能直接使用洛必达法则,要先改写为函数极限才可以使用
常用方法 ①夹逼原理 ②定积分定义 ③级数求和
当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级,使用夹逼原理
中1、2为变化部分, 为主体部分。)
当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级,使用定积分定义
3、n项连乘的数列极限
常用方法: ①夹逼原理 ②取对数化为n项和
①当数列具有单调性时:先证明数列收敛(单调有界准则),然后令 ,
等式 两端取极限得A=f(A),由此求得极限A
②当数列不具有单调性或单调性很难判定时:
先令 ,然后等式 两端取极限得A=f(A),由此求得极限A,得到极限初步结果,最后再证明令 .
证明数列极限的“通法框架”:
(引用 来源:跌落的小刀
一个数列极限为A在图形上(即数列的散点图)可表示为①②③三种形态,对①②③三种形态来说,均可使用夹逼定理进行计算,但是对于①②两种形态的数列来说有更为简便的证明方法,即是单调有界准则,而对于③这一种形态的数列来说只能运用夹逼定理进行证明;
我们可以看到数列的极限A在数列的有界性中扮演着重要角色,所以我们需要先求出A。这一步其实很简单,我们可以先假设数列极限存在并为A,利用已知条件解方程求出A即可,之后再证明数列极限的存在就可以了(因为我们是先假设极限存在的)。求出A之后一切就都明了了,我们可以求出数列的前几项的具体数值,然后与A进行比较,就可以知道此数列是①②③中的哪种形态了。然后所有的东西就已经陈列在我们面前:是运用夹逼还是单调有界?是单调增还是减?以及数列的界限在哪也很清楚了。然后我们就可以猜测数列的界限了,当然猜完之后我们还需要证明,也就是许多教科书上运用的归纳法,总的来说单调性的证明就是先猜后证;
单调性的证明方法就是:邻项相减、相除、求导;
当我们判断出所求数列属于①②③中的哪种形态时,就可以知道应该使用哪种方法了。对①②③来说均可以使用夹逼定理;对①②来说既可以使用夹逼也可以使用单调有界,但是具体哪个证明方法更简单,就因题而异了;
第一步:先假设极限存在并设为A,然后利用已知条件求出A(通常是解方程),继而判断出所求数列属于①②③中的哪种形态;
第二步:由第一步判断出所求数列的形态后,就可以根据数列形态猜测数列的界限了,然后运用归纳法对数列界限进行证明;
第三步:当所求数列属于①②形态时既可以运用夹逼亦可以运用单调有界准则,至于哪个更简单可以自主选择;所求数列属于③形态时,只能运用夹逼;
第四步:单调性的证明(只有数列是①②形态时才进行单调性证明),考研考的都是这种,方法是邻项相减、相除、求导;
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