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2020年数学考试结束后到现在的7月，各路平台上一直在谈论考题的难易。

有人说题目简直难爆了，有人说与往年持平，有人说题目新颖没见过，有人悲观地鼓吹"真题无用论"……总体来说，认为考题难的声音更多一些。

但，无论如何评价真题的难度，都只是个人的主观感受，与个人的复习水平有关，不够客观。不能因为说难的人多，就受从众心理影响，自己也跟着认同，从而对考研数学产生畏惧。克服从众心理，独立客观地分析问题，才是难能可贵的。

我认为，评测真题难易程度的一个重要客观指标是：是否在历年真题中出现过类似真题。

历年真题，相当于一个对每个人都开放的公共题库，如果在历年真题中出现的类似题型的数目比较多，就可以断言，真题很有用！

接下来，会以2020年数学一真题为例，先统计类似真题情况并数据可视化，再给出结论，最后，详细给出每一道题的思路、详细解析、难易度、创新度、类似真题。

为什么要做这项工作？一是给21年考数学的考生一颗定心丸，甚至不少考生都被20年真题吓得改了目标专业；二是想告诉大家，你们一直坚持的观点是没错的——真题是最有价值的习题！

一、绝大多数题目（21道）都有“原型”；
二、很多比较创新的题目与早期（2008年以前）的真题题型非常相似。

本文通篇看完你会发现，当范围放大到更早年份的真题时，今年的很多貌似新颖的题目并不是十分地“创新”。

当然，2008年以前大纲一直在做调整，整体难度要比之后的年份略高一点。

那还需要什么考前押题班？真题就是了啊，你想要的都在真题中！有兴趣的同学可以在下文的真题详细解析part对比一下。下面继续来看分值比例。

有类似真题的（高相似度）：16道题，共102分；
有类似真题的（中相似度）：5道题，共27分；
没有类似真题的：2道题，共21分。

从饼状图可以看出，如果真题做的非常纯熟，最高能拿到有高相似度的类似真题的题目分数（102分），题型和思路都是高度相似的，努努力，过国家线应不成问题；

如果头脑能稍微转个弯，能举一反三的，进一步能拿到有中相似度的类似真题的题目分数（27分）；

剩下没有类似真题的题目分数（21分），只能靠平时积累的基本功力，具体问题具体分析了。其中，第19题是高数压轴题，确实难，第一问略难，只要想到用拉格朗日，就有可能推出来，第二问很难，这5分可以放弃。第22题很新颖，但说实话并不难，思路与一维随机变量函数的求法简直一样。

换句话说，如果把真题练得十分纯熟，凭借历年真题中的相似题型就能在2020年的考试中拿到最高129分。

从上述分析中，可见真题的重要性。真题的复现率很高，是最有价值的习题册。复习中，应越早训练真题越好，训练的遍数越多越好。

当你真正做完各种xxx题、冲刺x套卷等习题和模拟题后，会发现只有真题的难度是最恰当的，其他题库中很大比例的题，要么简单、要么太难、要么综合性不够。甚至有的题目难到让人崩溃，看答案都看不明白思路，平白做了很多无用功。所以说，真题的题目质量远超任何题库。

每年的数一真题有23道左右，30多年就是690余道，加上数二数三中相同范围的题目，共1000多道适合训练的好题，数量和题型足够。

真题是一个近在手边的宝藏！很多同学知道这个道理，但在实际中却往往不够重视真题。

因为不少人选择的策略是先苦后甜，总是喜欢把好东西留到最后享用，认为要先达到一定水平后再训练真题，认为太早做真题会浪费真题的价值。结果，直到10月前一直都在做其他习题，10月后匆匆做上一遍真题就上考场了。各类题目倒是做了不少，但质量不够，且做得泛而不精！对知识框架和思维定势的培养并不到位。

真题的价值只考前过一遍就能显现出来吗？这也是影响最终考研成绩的一个重要的认识分歧！通过真题，一方面可提炼、熟悉常考题型，另一方面可完善知识框架和思维定势。这都是需要反复、多轮、深入研究真题才能做到的！

正所谓，滴水能穿石，铁杵磨成针，专一的力量是强大的！

举个例子，2020年数一第3题（题目见下文）。看选项求的都是二重极限，在头脑中马上调出知识框架，二重极限的求法有如下方法：①化简（四则、等价无穷小代换、根式有理化、提非零因子，等等）；②利用“无穷小量×有界量=无穷小量”； ③夹逼定理；④通过变量替换,转化为一元函数极限；⑤利用可微的充要条件求特定形式的极限。好，挨个儿把这五个方法都试验一遍，快速排除不可能的，最终一定有一个方法好使！这就是建立在完善知识框架上的穷举法。练真题达到一定境界后，遇到问题，头脑中各种知识框架、思维定势背得熟练，信手拈来，这才算出师。

选最棒的题目，做最精的训练！

进入强化阶段以后，如果你开始复习比较晚，那么真题更应放在前面，作为主力训练题，其他习题册和模拟题册应放在后面，作为补充训练，会更有效一些。这种复习策略可能与很多人的认知不符，但特别适合那些复习时间不够用的同学。

无论如何选择训练题目，拿笔算一下时间，xxx题做完要用几个月？真题做完要用几个月？做个时间表，在考前给真题预留下足够的时间！

下面是一些小小的战术细节：

• 如果你在9月初还在做各种各样的习题，还没开始啃真题，最好尽快开始啃，真题值得反复啃到考试前夕；
• 如果真题只啃一遍，一个月后印象会变淡，甚至连思路可能都记不起了，只记得曾经做过。所以，每一道真题都值得反复揣摩三遍以上，最大程度强化记忆；
• 如果你的真题书很单薄，只有10或15年，最好花点钱，买一本更全年份的，30多年的最好了；
• 如果你的真题书不是分类、分题型解析的，最好再花点钱，买一本分类解析的，有利于归纳题型；
• 如果你啃完一套只有单一解法的习题书，不妨换一套以多种解法为特点的真题书再啃一遍；
• 如果你已经啃了三遍以上真题，无题可做时，可以买其他类别的相同范围的真题来做（比如考数一的买数二数三来做），绝对会大有裨益。
• 如果啃分类题型时，为了细嚼慢咽而放慢了节奏，是否可以考虑在冲刺阶段用套卷来训练速度？提前适应考场节奏？

当上述这些 “精练” 都做完以后，再回头来看，自己的水平是不是扎扎实实地提高到了让自己都惊讶的地步？踏上考场时，还会担心今年题目难吗？

四、附上2020年数学一真题的超详细解析（可能是最细致的解析）

数二、三统计后续发，可关注同名公号，之前发过一篇辅导教材的评测，7月中下旬会发一篇关于真题辅导书的评测和关于真题解题思维的文。暑假会在知乎直播，研究真题及其背后的知识框架。

【分析】开门见“山”，开卷就遇到一道貌似很复杂的题，搞不定的话会压力山大。遇到少见题型，怎么办？知识框架+思维定势！先在头脑中的知识框架中搜索相关考点，“无穷小量中最高阶”显然是考“无穷小阶的比较”嘛，OK，这是一个求除式极限的问题，马上想到用“洛必达法则”上下同时求导，而且四个选项都是变上限积分函数，立马思维定式：遇到变上限积分，先求导再说！那么思路有了吧，无穷小量比较+洛必达法则+变上限积分求导，动笔……

【总结】带有变上限积分的无穷小量比较问题，多年未考了，如果只做近15年真题，可能会遗憾错过。所以，建议买一本20年或30年的更全的真题，早期题的重现率最近几年有所上升。
【相似真题】相似度：高

【分析】题干没太多有用信息，看选项都是围绕“可导”。 是可导的充分条件，属于“利用导数定义判断可导性”类题型； 是可导的必要条件，属于“利用导数定义求极限”类题型。另外，选项中带有根号和绝对值，应与极限存在的充要条件有关。

【总结】凑导数定义时，先添项凑出标准形式，再补项使之恒等。常考题型，不应失分。
【相似真题】相似度：高

【分析】先看四个选项，求的都是二重极限，马上调用知识框架，二重极限的求法有：①化简（四则、等价无穷小代换、根式有理化、提非零因子，等等）；②利用“无穷小量×有界量=无穷小量”； ③夹逼定理；④通过变量替换,转化为一元函数极限；⑤利用可微的充要条件求特定形式的极限。
按理来说，要挨个儿把这五个方法都试验一遍，但题目条件给了“可微”，可以做出合理推断：应该是利用了可微的充要条件来计算极限。条件还给出了 点的法向量 ，以及切平面上的某向量。先把每个选项的点乘和叉乘展开再说。

【总结】本题考点：向量代数+可微的定义+函数绝对值的极限。其实本题不用做，就能直接看出答案来！因为 选项都是求向量外积的模，这个求起来计算量太大了，选项 是内积，但 却该向量又没具体给出，所以只可能是 。当然为了保险起见，验证一下 的正确性就行了。
【相似真题】相似度：中

【分析】首先，发现变量换了个写法——把常见的幂级数的 直接换了个写法 ，实在是为了求新而求新啊。观察题目，已知收敛半径，要求相关区间的敛散性问题，马上反应出这是一个关于阿贝尔定理的问题。

【总结】考察对收敛半径定义掌握的准确程度，这种问题的关键在于 处点的收敛性。
【相似真题】相似度：中

【分析】一打眼就是考察矩阵的有关初等变换的定理，很容易得出答案。

【总结】常考题型，很简单。
【相似真题】相似度：高

【分析】“相交于一点”这个条件能推出什么结论呢？就是联立两个方程，但这个方程是点向式的，转化为参数式才方便联立。选项都是关于线性相关性和线性表出的，利用定义，找出关系即可。

【总结】空间解析几何与线性代数结合的题型，考察的内容并不深入，但需要正确变换才能得到结果。
【相似真题】相似度：高

【分析】这类概率题的思路就是算一步看一步，算到中间某步，会用到已知条件，得出结果。另外，此类题，有个思维定势：看到 ，一般会有 的一个子集，其概率为 。

【总结】事件的运算+概率的性质。注意，题目中出现概率为 或 的时候，一定要加以利用。
【相似真题】相似度：高

【分析】本题直接考察中心极限定理，可以直接背公式，也可以记住原理，现场推导。

【总结】大数定律和中心极限定理的公式，建议双管齐下，既死记硬背，又记牢原理，忘了也能分分钟推导出来。这么多年以来第一次在数一中考察大数定律，但数三曾多次考过。
【相似真题】相似度：高

【分析】先直接代入，是 型，再调用知识框架，该类型的处理方法通常有四种：①通分；②有理化；③提因子；④变量代换（尤其是倒代换）。此题是分式，故通分。接下来，进一步化简，化到不能再化简后，运用洛必达法则，搞定。

【总结】送分题，要保证正确率。
【相似真题】相似度：高

【分析】参数方程求二阶导的题型。代入公式直接求即可。

【总结】送分题，必拿分。
【相似真题】相似度：高

【分析】属于罕见题型，没什么套路，所以用“条件结论分析法”。看条件，有个高阶微分方程，马上想到可能要求通解；再看结论，是个广义积分，求出原函数，代入极限即可，但关键是：抽象函数求不出原函数啊！所以，抽象函数只能抽象来算，找抽象关系式。条件中正好有一个关系式，可以代入试试，正好能求出原函数。

【总结】本题确实又新颖又难，需要讨论，计算量比较大，会耗时6-10分钟。16年曾经出现过一次类似题型，如果对真题熟悉，最起码会有思路！
【相似真题】相似度：高

【分析】这是个常见题型——被积函数同时含有上限变量 和积分变量 的变限积分的求导。但又有所创新，又结合了混合偏导数的计算。首先，把这个变限积分求出来，利用知识框架，核心思想是让被积函数中只含有积分变量，而不含 。又分为两种情况：①情形一：被积函数中的 可分离，则把含 的表达式提到积分号外。②情形二：被积函数中的 不可分离，则需要做换元处理。此题显然属于情形二，要做换元。

【总结】一道很新颖的“混合了上限的变上限积分”+“混合偏导数计算”题目。

【相似真题】相似度：中

【分析】利用知识框架，数值型行列式有两类解题思路：(1)利用行列式的性质，将所求行列式化简，通常转化为上述几类特殊特殊行列式(尤其是上下三角行列式)或变形出尽可能多的零元素；(2)利用行列式展开公式，把行列式的阶数降低（有时会用到递推法）。通常这两类解题思路可以配合使用。
对于低阶行列式，先利用行列式的性质，变形出尽可能多的零元素，最好是某一行只含1或2个零元素，于是就可以按这一行展开，转化为三阶行列式，而三阶行列式是有公式的。

【总结】低阶数值型行列式的处理方法要心中有数。当然本题利用性质化简还有很多种解法。
【相似真题】相似度：高

【分析】本题考察协方差的性质和计算，并不难，中间步骤肯定会用到求随机变量的期望或随机变量函数的期望。

【总结】协方差公式+期望计算。
【相似真题】相似度：中

【分析】一道非常标准的多元函数求无条件极值问题，非常简单。利用知识框架，必要条件求范围，充分条件再筛选。

【总结】送分题，要保证正确率。
【相似真题】相似度：高

【分析】利用知识框架，第二类曲线积分的计算有“三大基础性方法”(包括直接计算、格林公式、积分与路径无关定理)和“两小技巧性方法”（包括曲线方程代入被积函数、对称性）。简单验算一下，发现 为零，故我们选用格林公式。但要注意格林公式的条件，一是曲线 必须封闭且正向；二是 这四个函数在平面闭区域 上必须连续。本题满足第一条，但不满足第二条，有一个不连续点 ，该点处分母是零。相应的解决方法是“挖洞法”，且根据分母形式来找“洞”，即找一个小封闭曲线 ，使得积分容易处理。

【总结】这是一道非常典型、常见的考题，甚至和一些辅导书的原题几乎一模一样，这个分数应该是必拿的，但此题唯一的难处在于计算量，如果不熟练的话，用时会超出平均时间。
【相似真题】相似度：高

【分析】先证明后计算。仔细阅读这个证明题，其实也是一个求幂级数的收敛区间的计算题。利用知识框架，马上想到求收敛半径的两种手段：一是一般幂级数 情形（可能有缺项）；二是标准幂级数 情形（不缺项）。本题这两种手段都可以，我们用第一种。用比值法 ，令 ，即可得到幂级数的收敛区间。这一问，并不难，属于必会题。

但求和函数比较难，利用知识框架，求和函数有两种手段：一是利用幂级数的性质（四则运算、逐项求导、逐项积分）；二是微分方程法。本题中系数是由递推关系式给出的，利用性质行不通，故考虑第二种方法。微分方程法是对原幂级数的和函数求一阶导，甚至二、三阶导，把它们进行四则运算，如果能得到一个关于它们的关系式，即微分方程，那么求和函数问题就转化为了求微分方程的问题。

【总结】本题用到的 微分方程法，但历年考研中也曾几次考察过，如果对真题熟悉，思路应该能想到，但本题算是其中最难的，因为需要自己找到关系式！本题主要难在这儿！
【相似真题】相似度：高

【分析】调用知识框架，第二类曲面积分的计算有如下方法：三大基础性方法”（包括直接计算、合一投影法、高斯公式）和“两小技巧性方法”（包括曲线方程代入被积函数、对称性）。其中，被积函数中含有抽象函数导致高斯公式使用不便，且分面投影的直接计算法也不可行，所以，可以锁定解决方法为：合一投影法。合一投影法本质上是利用两类曲面积分之间的关系，先转化为第一类曲面积分，再转化为某一坐标面上的二重积分。

【总结】对于第二类曲面积分，历年考研大多考察高斯公式，但本题另辟蹊径，被积函数是抽象函数，适合用合一投影法。只要思路有了，会发现实际计算并不难。
【相似真题】相似度：高

【分析】观察第（1）问，含有一个中值的导数，可以分析出本题应该用到拉格朗日中值定理。本题给了三个点 以及使得 取到最大值 的 ，那么肯定应该是在这三个点构成的两个区间上分别应用中值定理。第（2）问属于特别难那种证明题。结论中含有 ，故可考虑用反证法。

【总结】本题第一问中规中矩不算难，拉格朗日套用上，讨论一下就行了，做不出来只能怪自己基础不牢了。但第二问是证明题中的难题，把拉格朗日和莱布尼茨公式结合起来用，这种思路很难想到，所以这5分实在不能强求。

【分析】本题比较新颖， 经正交变换到 ，两个二次型矩阵是什么关系？要熟悉原始的推导过程： ，可见，两个二次型矩阵的关系是：既合同 又相似 （因为 是正交矩阵）。通过合同和相似的一些性质，就能求出系数。第二问求正交矩阵，这个需要转换思路，我们只会求 和 时的正交矩阵，但由于 相似，有相同的特征值，故都可化为同一个对角矩阵 ，所以分别求出两个正交矩阵，通过 得到关系式，最后变换为 的形式，即可得到结果。

【总结】第一问是两个矩阵相似，利用性质求矩阵中的未知量，与2015年和1998年的真题非常相似。第二问是求 中的可逆矩阵 ，这与2015年的第二问相似但有一些差别。与其解题思路一致的是2002年的第三问。
【难度】★★★☆☆ 中等
【创新】★★★★☆ 比较新颖
【相似真题】相似度：中

【分析】利用知识框架，矩阵可逆的证明方法常用的有：①定义；②行列式不为零；③ ；④行（列）向量组线性无关；⑤构成的方程组有唯一解；⑥特征值全不为零；⑦ 是正定矩阵。挨个试一下，本题中条件比较少，而且不是具体向量，所以我们选择④，判断列向量组是否线性无关。用线性无关的定义，结合已知条件，很容易证得。第二问较难一些，很多同学卡在了开头的关键思路上，此题最关键的思路是：由于矩阵 是抽象的，其逆矩阵求不出，所以若求 ，只能做变形处理，即 。这是个常见的处理方法，特征值、特征向量的求法就来源于此。

【总结】本题计算量不大，但很新颖，关键思路较难想到。但曾经有一年真题考过十分类似的题型，其解决方法是一样的。
【相似真题】相似度：高

【分析】第一问求联合分布函数，与一维情况一样，先写出分布函数定义，再进行事件的运算化简。题中一个离散型，两个连续型，可推断出一定会用离散型作为完备集来分割全集。思路选对了，具体实施起来会发现，本题并不难。

【总结】求二维随机变量的分布函数的题型，之前的真题中从未出现过，但其思路与求一维随机变量函数的分布十分类似。

【分析】已知分布函数，可以求任意事件的概率，第一问很简单。第二问也是一个中规中矩的求最大似然估计的问题。对最大似然函数，先取对数，再求导，最后求得极值，标准一套流程。

【总结】没想到以如此简单的一道题结尾。而往往考生卡在中间难题，没有时间做后面的概率题。所以，强烈推荐一个解题策略：高数和线代可能会出现难题，碰到难题，立马搁置，优先把相对简单的概率题目做完，然后回过头来再解难题。
【相似真题】相似度：高