这是实数教学过程，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

1. 了解无理数和实数的概念；

2. 能对实数进行按要求分类；

3. 知道实数与数轴上的点 一一对应。

1、为了发展学生的分类意识，引导学生对实数进行两种分类；

2、从有理数到无理数再到实数，了解人类对数的认识是不断发展的。

通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数。

1、通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；

2、敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。

①了解无理数和实数的概念；

本课题是通过了解数系扩充，体会数系扩充对人类发展的作用，促进学生对数学学习的兴趣，培养学生初步的发现能力。

本课题是属于知识型的教学内容，其编写的目的是让学生结合已有的知识，从生活中常见到的数过渡到生活中稀见的数，从数学亲近生活，从生活感受数学。通过学生自己去探讨，去研究，促进每个学生都能以轻松愉快的心情去认识数学领域里各种各样的数，从而产生浓郁的探究热情，加深对数学数域学习的了解。

从常见的数导入 有理数的特征 思考不具备这种特征的数 得到无理数 归纳无理数的特征 指导实数的分类 指导无理数在数轴上的确定 顺利完成本节内容。

1、教师准备：讲学稿、课件、多媒体电脑

2、学生准备：讲学稿、预习本节内容

（一）创设情景，导入新课

1、与学生谈话：（以轻松愉快的气氛进入状态）

师：大家好！你们放心，老师今天所提到的问题你们肯定都会回答的。你们现在读几年级？

生：八年级。（学生异口同声地回答）

师：很好！那到现在为止，你们共读了几年书？

生：十年。（回答的声音越来越大声）

＜老师在黑板上板书：8，10＞

师：这两个数是什么数？

生：整数（正整数）（正数）……（此时，出现有不同的回答）

师：具体来讲是什么数呢？

师：很好！再问你们一个问题：你们知不知道，哈尔滨的冬天一般都是多少度吗？

师：零下5度的温度如何表示？

师：这两种数合称什么数？

师：你们班的男生占全班人数的多少？

师：它的相反数是多少？

师：＜在黑板上板书＞它们合为什么数？

师：那整数和分数是我们之前学过的什么数？（趁热打铁）

师：在我们学过的数中，有没有哪个数是不属于有理数范围的？

师：那它究竟属于什么数呢？这就是我们今天要学习的新内容。

＜评：用轻松愉快的方式使学生觉得数学是生活中处处存在的，从而让学生觉得数学是很容易学习的。＞

2、师生互动：让学生自己去体会，去总结有理数的特征。

（二）讲授新课（揭示课题）

1、让学生回忆 具备的特征；

2、生回答：无限不循环小数。

3、给出无理数定义：无理数就是无限不循环小数。

＜让学生小组之间去研究、去探讨、去发现身边的无理数，然后自己小结无理数的特征＞

4、给出实数的定义：无理数和有理数统称实数。

＜让学生仿照有理数的分类，对实数进行两种分类＞

5、让学生自己去发现两种数的区别。

（三）考验学生的掌握程度（巩固练习题）

学生完成以后，叫学生代表到黑板板演。

（四）小结：（让学生自己去小结，自己去找疑惑）

（五）过关测试：（五分钟完成）

这是一节本校的教学比赛课，这堂课同学们在合作、讨论、展示中愉快地度过。课后，许多同学都反映这堂课让他们在轻松的、愉快的气氛中学会了很多新的内容，而且印象深刻，享受了数学的乐趣。在课后的评课反思总结会上，学校领导以及本备课组的老师都进行了点评，他们高度地赞扬了学生的精神面貌、小组合作意识以及本人的良好个人素质，体现了老师在课堂中所充分发挥的作用，起引导者，参与者，促进者，合作者的作用。

当然，本节课也有很多不足之处。比如有的学生在回答问题的时候比较紧张，语音语调不是很标准，流畅；在做练习的时候，本人没有给与学生充足的思考时间；讲授新课时，有些地方还是欠缺详细…

但我坚信，在以后的课堂教学中，我会和我的学生们与新课程共同成长，让先进的的教育理念扎根大脑，让这股改革春风沐浴我们茁壮地成长。

　　1、使学生了解无理数和实数的意义能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值;.

　　2、体验无限不循环小数的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数

　　夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想。

　　学习重点：无理数及实数的概念

　　学习难点;实数概念、分类.

　　1、写出有理数两种分类图示

　　2、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现?

　　1、阅读课本第11页的思考，想一想怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形?动手试一试，并绘出示意图

　　方法1： 方法2：

　　2、我们已经知道：正数x满足 =a,则称x是a的算术平方根.当a恰是一个数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如， =4;但当a不是一个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢?例如课本第11页的大正方形的边长是 ，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数?你能求出它的值吗?阅读课本第11、12页夹值法探究 ，尝试探究 ，完成填空：

　　像上面这样逐步逼近，我们可以得到：

　　3、用计算器得出 ， 的结果，再把结果平方，你有什么发现?多试试几个。

　　4、什么是无理数?例举我们学过的一些无理数

　　5、无理数有几种分类方法，写出图示。

　　本节课你学到哪些知识?哪些地方是我们要注意的?你还有哪些疑惑?

　　①实数不是有理数就是无理数。( ) ②无理数都是无限不循环小数。( )

　　③无理数都是无限小数。 ( ) ④带根号的数都是无理数。( )

　　⑤无理数一定都带根号。( )

　　2、实数 ， ， ，3.1416， ， ，0.(每两个2之间多一个零)中，无理数的个数有( )

　　3、下列说法中正确的是( )

　　a、a.无理数是开方开不尽的数b.无限小数不能化成分数

　　c.无限不循环小数是无理数d.一个负数的立方根是无理数

　　4、将0，3.14, ， ，， ， ， , ， , 0.分别填入相应的集合内.

　　有理数集合{ 正分数集合{ }

　　无理数集合{ 负整数集合{ }

　　1、在实数范围内，下列各式一定不成立的有( )

　　2、阅读课本第18页 不是有理数的证明。

　　3、根据右图拼图的启示：

　　数学小知识祖冲之和值的计算

　　祖冲之(429～500)，中国南北朝时期著名的数学家和天文学家.他在数学上的主要贡献是：

　　1.推算出圆周率在不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927之间、精确到小数点后7位.

　　2.和祖暅一起解决了球体积的计算问题，得到球体积公式，并提出了幂势既同、则积不容异的原理.

　　祖冲之还找到了两个近似于 的分数值，一个是 ，称为约率，另一个是 ，称为幂率，后者是祖冲之独创的，因此，后人称之为祖率，以纪念这位数学家.

　　本章<实数>是人教版八年级数学上册第三十章内容。学习算术平方根，平方根，立方根之后，为学习实数打下基础；由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，完成了初中阶段数的扩展。运算方面，在乘方的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善。因此，本章是今后学习根式运算、方程、函数等知识的重要基础。

　　通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；会用计算器求算术平方根；使学生理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。学会平方根的表示法和求非负数的平方根；进一步认识实数和数轴上的点一一对应蕴含着数形结合的思想，通过学习不仅是完善了学生的知识结构，而且让学生领会到数形结合的思想，培养了学生的分类意识，使学生养成用多角度思维的思考习惯

　　通过了解平方与开平方的关系，培养学生逆向思维能力；能对具体情景中的数学信息作出合理的解释和推断、解决问题，能由实际问题抽象成数学问题，让学生讨论、类比提出自己的见解，并在探索的同时较好的获得新知；经历在具体例子中抽象出概念的过程，培养学习的主动性，提高数学运算能力。情感态度与价值观

　　通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。

　　重点：算术平方根、平方根、立方根的概念和运算；实数的认识。 难点：算术平方根与平方根联系与区别；有理数与无理数的区别。

　　教师启发引导，学生自主探究，分类比较法，统一归纳法，自学讨论法，小组互动法等教学方法.

　　6.1平方根 3课时

　　6.2立方根 1课时

　　6.3实数 2课时

　　复习与小结 2课时

　　通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根并会用符号表示；

　　通过生活中的实例，总结出算术平方根的概念，通过计算非负数的算术平方根，真正掌握算术平方根的意义。

　　情感态度与价值观：

　　通过学习算术平方根，认识数与人类生活的密切联系，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维，为学生以后学习无理数做好准备。

　　教学重点：算术平方根的概念和求法。

　　教学难点：算术平方根的求法。

　　教具准备: 三块大小相等的正方形纸片；学生计算器。

　　教学方法: 自主探究、启发引导、小组合作

　　问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

　　学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm。

　　接下来教师可以再深入地引导此问题：

　　如果正方形的面积分别是1、9、16、36、

　　学生会求出边长分别是1、3、4、6、2，接下来教师可以引导性地提问：54，那么正方形的边长分别是多25

　　上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。

　　上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。

　　⑴算术平方根的概念：

　　一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。

　　⑵算术平方根的表示方法：

　　a的算术平方根记为a，读作“根号a”或“二次很号a”，a叫做被开方数。

　　例1、 求下列各数的算术平方根：

　　解：⑴因为102?100,所以100的算术平方根是10，即?10； ⑵因为()2?，所以的算术平方根是，即?；

　　⑶因为1?,()2?，所以1的算术平方根是，即? ?；

　　注：①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；

　　②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；

　　③0的算术平方根是0。

　　由此例题教师可以引导学生思考如下问题：

　　你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？

　　归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 即：只有非负数有算术平方根，如果x?a有意义，那么a?0,x?0。 注：a?0且a?0这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。

　　例2、 求下列各式的值：

　　分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。

　　例3、 求下列各数的算术平方根：

　　根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：

　　教师需强调a?0时对两种情况都成立。

　　1、算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿。

　　2、求下列各式的值：

　　3、求下列各数的算术平方根：

　　1、这节课学习了什么呢？

　　2、算术平方根的具体意义是怎么样的？

　　3、怎样求一个正数的算术平方根？

　　课本第75页习题13.1第1、2题

　　本节课是本章的第一节课，主要是要建立算术平方根的概念为了使学生体会引入算术平方根的必要性，感受新数（无理数）的产生是实际生活和科学技术发展的需要，也为了激发学生的学习热情，所以章前图的学习不要省略．能使学生理解引人算术平方根符号的必要性，明确有些正数的算术平方根不能容易地求得，为下节课的学习做准备．

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　　总结是指社会团体、企业单位和个人在自身的某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而肯定成绩，得到经验，找出差距，得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它是增长才干的一种好办法，因此，让我们写一份总结吧。总结一般是怎么写的呢？以下是小编整理的高一数学知识点总结，希望对大家有所帮助。

　　1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.

　　2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况

　　3.你会用补集的思想解决有关问题吗?

　　4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?

　　5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

　　6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.

　　7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.

　　8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.

　　9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.

　　10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法

　　11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.

　　12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

　　13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?

　　14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?

　　(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论

　　15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?

　　16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。

　　17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?

　　18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

　　19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

　　20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?

　　21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.

　　22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.

　　23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a

　　24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?

　　25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。

　　26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?

　　27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。)

　　28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。

　　29.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，若角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相同的角和相等的角的区别吗?

　　30.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?

　　31.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?

　　32.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化同角，异名化同名，高次化低次)

　　33.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是

　　34.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

　　35.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质.你会写三角函数的单调区间吗?会写简单的三角不等式的解集吗?(要注意数形结合与书写规范,可别忘了)，你是否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换得到吗?

　　36.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：

　　(1)函数的图象的平移为“左+右-，上+下-”;如函数的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.

　　(2)方程表示的图形的平移为“左+右-，上-下+”;如直线左移2个个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为，即.

　　(3)点的平移公式：点按向量平移到点，则.

　　37.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)

　　38.形如的周期都是，但的周期为。

　　39.正弦定理时易忘比值还等于2R.

　　本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

　　1、函数单调性的定义

　　2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法 (2)复合函数分析法 (3)导数证明法 (4)图象法

　　二、函数的奇偶性和周期性

　　1、函数的奇偶性和周期性的定义

　　2、函数的奇偶性的判定和证明方法

　　3、函数的周期性的判定方法

　　1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法

　　2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

　　本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。

　　1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

　　2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

　　3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

　　4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

　　5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

　　一、函数的概念与表示

　　(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

　　注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

　　构成函数概念的三要素

　　①定义域②对应法则③值域

　　两个函数是同一个函数的.条件：三要素有两个相同

　　二、函数的解析式与定义域

　　1、求函数定义域的主要依据：

　　(1)分式的分母不为零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

　　(3)对数函数的真数必须大于零;

　　(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

　　1求函数值域的方法

　　①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

　　②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

　　③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

　　④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

　　⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

　　⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

　　⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

　　1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

　　如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

　　①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

　　②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

　　①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

　　1、函数单调性的定义：

　　2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

　　1.“包含”关系―子集

　　注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

　　2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

　　A?① 任何一个集合是它本身的子集。A

　　B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如果A

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

　　1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

　　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

　　(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即 )，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

　　(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

　　(一)指数与指数幂的运算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_.

　　当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).

　　当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

　　注意：当是奇数时，当是偶数时，

　　正数的分数指数幂的意义，规定：

　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

　　指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

　　3.实数指数幂的运算性质

　　(二)指数函数及其性质

　　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.

　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

　　2、指数函数的图象和性质

　　1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

　　方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

　　3、函数零点的求法：

　　1(代数法)求方程的实数根;

　　2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

　　4、二次函数的零点：

　　1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.

　　2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

　　x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

　　倾斜角的取值范围是0°≤α

　　(1)注意“两个方向”：直线向上的方向、x轴的正方向;

　　(2)规定当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0度。

　　①直线的倾斜角，体现了直线对x轴正向的倾斜程度;

　　②在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角;

　　③倾斜角相同，未必表示同一条直线。

　　当α=90°时k不存在

　　倾斜角为90度，即与X轴垂直

　　一、平面解析几何的基本思想和主要问题

　　平面解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科，其基本思想就是用代数的方法研究几何问题。例如，用直线的方程可以研究直线的性质，用两条直线的方程可以研究这两条直线的位置关系等。

　　平面解析几何研究的问题主要有两类：一是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程;二是通过方程，研究平面曲线的性质。

　　二、直线坐标系和直角坐标系

　　直线坐标系，也就是数轴，它有三个要素：原点、度量单位和方向。如果让一个实数与数轴上坐标为的点对应，那么就可以在实数集与数轴上的点集之间建立一一对应关系。

　　点与实数对应，则称点的坐标为，记作，如点坐标为，则记作;点坐标为，则记为。

　　直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，两条数轴的度量单位一般相同，但有时也可以不同，两个数轴的交点是直角坐标系的原点。在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点集具有一一对应关系。

　　一个点的坐标是这样求得的，由点向轴及轴作垂线，在两坐标轴上形成正投影，在轴上的正投影所对应的值为点的横坐标，在轴上的正投影所对应的值为点的纵坐标。

　　在学习这两种坐标系时，要注意用类比的方法。例如，平面直角坐标系是二维坐标系，它有两个坐标轴，每个点的坐标需用两个实数（即一对有序实数）来表示，而直线坐标系是一维坐标系，它只有一个坐标轴，每个点的坐标只需用一个实数来表示。

　　三、向量的有关概念和公式

　　如果数轴上的任意一点沿着轴的正向或负向移动到另一个点，则说点在轴上作了一次位移。位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称向量，记作。如果点移动的方向与数轴的正方向相同，则向量为正，否则为负。线段的长叫做向量的长度，记作。向量的长度连同表示其方向的正负号叫做向量的坐标（或数量），用表示。这里同学们要分清，，三个符号的含义。

　　对于数轴上任意三点，都有成立。该等式左边表示在数轴上点向点作一次位移，等式右边表示点先向点作一次位移，再由点向点作一次位移，它们的最终结果是相同的。

　　向量的坐标公式（或数量公式），它表示向量的数量等于终点的坐标减去起点的坐标，这个公式非常重要。

　　有相等坐标的两个向量相等，看做同一个向量;反之，两个相等向量坐标必相等。

　　注意：①相等的所有向量看做一个整体，作为同一向量，都等于以原点为起点，坐标与这所有向量相等的那个向量。②向量与数轴上的实数（或点）是一一对应的，零向量即原点。

　　四、两点的距离公式和中点公式

　　1。对于数轴上的两点，设它们的坐标分别为，，则的距离为，的中点的坐标为。

　　由于表示数轴上两点与的距离，所以在解一些简单的含绝对值的方程或不等式时，常借助于数形结合思想，将问题转化为数轴上的距离问题加以解决。例如，解方程时，可以将问题看作在数轴上求一点，使它到，的距离之和等于。

　　2。对于直角坐标系中的两点，设它们的坐标分别为，，则两点的距离为，的中点的坐标满足。

　　两点的距离公式和中点公式是解析几何中最基本、最常用的公式之一，要求同学们能熟练掌握并能灵活运用。

　　坐标法是数学中一种重要的数学思想方法，它是借助于坐标系来研究几何图形的一种方法，是数形结合的典范。这种方法是在平面上建立直角坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线，通过研究方程，间接地来研究曲线的性质。

　　形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。

　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为