(一) 泰勒级数的物理意义

高等数学干吗要研究级数问题?

        是为了把简单的问题弄复杂来表明自己的高深? No，是为了把各种简单的问题/复杂的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。

问题更复杂了，(1000-5)*(1000-2)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。归纳一下，x*y这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。但是因式分解仍然不够通用，因为我们总是需要通过观察"特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学方法的全部: 特定问题特定的解答方法。那么，到了高等数学，怎么办? 研究一种方之四海皆准的，通用的方法。

        泰勒级数的物理意义是什么? 就是把方程g(x)=0的解，写成曲线方程的形式看看和x轴有什么交点。例如f(x)=x^2=5等价于g(x)=x^2-5=0和x轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近方法(牛顿迭代法)来实现，这就是泰勒级数的物理意义: 点+一次切线+2次切线+...+N次切线。每次切线公式的常数，就是泰勒级数第N项的常数。OK，从泰勒级数的式子可以看到，为了保证两边相等，且取N次导数以后仍然相等，常数系数需要除以n!，因为x^n取导数会产生n!的系数。泰勒级数，就是切线逼近法的非跌代的，展开式。泰勒公式怎么来的，其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶。假设f1(x)=f(x)-f(a)，由牛顿逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2，所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)^2

...就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。

泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=x^100展开以后可以求x=1附近的/group/topic/5308346)，在这个概念的基础上加条件，做演绎，就得到了N多的引申概念和知识。公理体系的建立总是在一些非常基本的概念的属性的基础上得来的，这个从欧式几何就开始了。虽然东方的数学很多具体的知识和结论的获得，都早于西欧，但是公理化体系的形成，形式化的描述，定理的推理和演绎，从来都没有真正的形成过，直到明代的李光启翻译几何原本的时候才感叹西人的高明不在于结论和知识的高超，而是思维和逻辑体系的缜密，问题边界的划分，公论的提出，演绎的严格。

眼光放的尺度大一点，欧式的神学，哲学，数学，其他的科学和学问，无不是建立在公理系统和演绎之上的。一切的法律须从宪法，所有的定理须从公理，必须从一个树根去分型得到整个大树----这样整体和部分才能和谐和没有矛盾；x86的架构的学习不是学Pentium，酷锐，而是从树根8086学起；新的功能的添加保持后向兼容，也就是保持树根不变的情况下继续分型，而不是推倒了重新种一棵大树。公理系统的稳定性，在于公设的强壮性。如果公设可能被轻易推倒，那么整个大厦将倾。儒学如果也是一个公理系统的话，那么它的公设基本就是三字经的第一句话"人之初，性本善"。很可惜，到底什么是"人"都没有定义清楚 (柏拉图认识到了这是社会学研究的根本问题和出发点)，什么是"善恶"都没有定义清楚(到底是一种客观标准还是主观标准)，便开始了四书五经洋洋洒洒的演绎和推论，这套理论是不是像在沙滩上面建房子。房子很漂亮，但是风一吹就倒，于是每隔若干年就不得出重建----而且只是责怪建筑材料自己的质量不好而毫不考虑这房子原来是没有任何坚实的基础的。

第1篇：考研数学高频考点及题型汇总

考研数学中高数不仅所占比重很大，难度系数也是最难的为了使大家对考研数学的题型和知识点更有效准确地把握，下面是小编为大家整理的考研数学高频考点及题型汇总，欢迎大家阅览与学习!

高数高频考点一：函数、极限与连续

求分段函数的复合函数;

求极限或已知极限确定原式中的常数;

讨论函数的连续*，判断间断点的类型;

讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

高数高频考点二：一元函数微分学

求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导*的讨论;

利用洛比达法则求不定式极限;

讨论函数极值，方程的根，*函数不等式;

利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理*有关命题，如“*在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题*经常需要构造辅助函数;

几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间;

利用导数研究函数*态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

高数高频考点：一元函数积分学

计算题：计算不定积分、定积分及广义积分;

关于变上限积分的题：如求导、求极限等;

有关积分中值定理和积分*质的*题;

定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等;

综合*试题。高数高频考点：向量代数和空间解析几何

计算题：求向量的数量积，向量积及混合积;

求直线方程，平面方程;

判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角;

与多元函数微分学在几何上的应用或与线*代数相关联的题目。

高数高频考点：多元函数的微分学

判定一个二元函数在一点是否连：续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续;

求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数;

求二元、三元函数的方向导数和梯度;

求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习;

多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。

高数高频考点：多元函数的积分学

二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;

第一型曲线积分、曲面积分计算;

第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用;

第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用;

梯度、散度、旋度的综合计算;

重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。

高数高频考点：无穷级数

判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;

求幂级数的收敛半径，收敛域;

求幂级数的和函数或求数项级数的和;

将函数展开为幂级数(包括写出收敛域);

将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，要确定其在某点的和(通常要用狄里克雷定理);

高数高频考点：微分方程

求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x与y对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型;

求线*常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;

根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解;

综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。

第2篇：考研数学的高频考点及命题规律

考研数学已经结束，从今年考题考查的知识点来讲与以往基本保持一致，中规中矩，没有太偏的题，主要还是以基础为主，侧重基本概念的理解以及基本题型、基本方法的掌握。

重要内容重点考查，今年以及最近几年都是如此，因此对常考知识点做如下归纳总结。

3.曲线、曲面积分的计算

5.幂级数求和函数、展开式

3.齐次/非齐次方程组的解的判定与求解

4.求可逆矩阵p或正交矩阵q使其相似于对角矩阵

5.正交变换下求标准形

1.随机事件中相关概率的计算

2.数字特征(求期望、方差、协方差、相关系数)

3.二维随机变量函数求概率密度函数

4.一维/二维正态分布下概率的相关计算

6.点估计(矩估计、最大似然估计)

5.微分方程相关应用题

6.定积分的几何或物理应用

3.齐次/非齐次方程组的解的判定与求解

4.求可逆矩阵p或正交矩阵q使其相似于对角矩阵

5.正交变换下求标准形

3.微分中值定理的相关*

5.导数在经济学中的应用

3.齐次/非齐次方程组的解的判定与求解

4.求可逆矩阵p或正交矩阵q使其相似于对角矩阵

5.正交变换下求标准形

1.随机事件中相关概率的计算

2.数字特征(求期望、方差、协方差、相关系数)

3.二维随机变量函数求概率密度函数

4.一维/二维正态分布下概率的相关计算

5.点估计(矩估计、最大似然估计)

1、等价无穷小替换、泰勒公式

在极限中的计算中，必然会涉及到等价无穷小替换，泰勒公式等，尤其是数二、数三的同学，在极限这块必考大题。

2、某点连续*、可导*、可微*的判定

连续*、可导*、可微*的判定是考研数学的常考知识点，经常以选择题的形式出现。

对第一部分，考生需要掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。对于二阶常系数线*微分方程大家一定要理解解的结构。另一块对于非齐次的方程来说，考生要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。这一类问题就是逆问题。

对于二阶常系数非齐次的线*方程大家要分类掌握。当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方程是相似的，学习的时候要注意这一点。

这一部分数一的同学一般是以小题的形式出现，数二、数三的同学经常出大题，大题中侧重考查二元函数求二阶导。

5、级数敛散*的判定、幂级数求和函数和展开式

级数敛散*的判定一般以选择题的形式来进行考查，重点掌握级数的*质、正项级数的三种判别法、交错级数的莱布尼兹判别法。幂级数求和函数与展开式则以大题的形式来进行考查。

1.低阶或n阶行列式的计算(三对角行列式、爪形行列式、范德蒙行列式)

行列式的计算尤其是n阶行列式的计算一般都是常规的两种解题方式，要么化成上三角或下三角，要么利用行列式的展开式。

考查题型一般以选择题进行考查。

考查方程组解的判定、*质以及求解。

4.求特征值、特征向量

求特征值特征向量抽形型用定义法，实数型用特征方程法。

1.一维/二维随机变量函数的分布

这个要重点掌握连续*变量的这一块。这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。另外是公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限*。

2.随机变量的数字特征

要记住一维随机变量的数字特征都要记熟，数字特征很少单独*考察，往往和前面的一维随机变量函数和多维随机变量函数和第六章的数理统计结合进行考察。特别针对数一的同学来说，考察矩估计和最大似然估计的时候会考察无偏*。

这一点是咱们经常出大题的地方，这一块对数一，数二，数三的考生来讲，包含两块知识点，一个是矩估计，一个是最大似然估计，这两个集中出大题。

常考题型、高频考点似乎是考研数学约定俗成的规律，对于18备考的学生在复习时可以有所侧重，重点内容重点考查，抓重点重基础，自然高分容易成!

第3篇：考研数学一高数重点及题型

考研数学一考试科目包括：高等数学、概率论与数理统计、线*代数，其中高等数学占试卷比例最高，占总分数的56%，考生要合理安排数学复习时间。下面内容由小编为大家带来的2018考研数学一复习资料高等数学重要考点及题型，欢迎大家学习!

考研数学一高等数学重要考点及题型

第一章函数、极限、连续

等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式

函数连续的概念、函数间断点的类型

判断函数连续*与间断点的类型

导数的定义、可导与连续之间的关系

按定义求一点处的导数，可导与连续的关系

函数的单调*、函数的极值

讨论函数的单调*、极值

闭区间上连续函数的*质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理

积分上限的函数及其导数

有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分

计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分

隐函数、偏导数、全微分的存在*以及它们之间的因果关系

函数在一点处极限的存在*，连续*，偏导数的存在*，全微分存在*与偏导数的连续*的讨论与它们之间的因果关系

多元复合函数、隐函数的求导法

格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件

平面第二型曲线积分的计算，平面曲线积分与路径无关条件的应用

二重积分的概念、*质及计算

级数的基本*质及收敛的必要条件，正项级数的比较判别法、比值判别法和根式判别法，交错级数的莱布尼茨判别法

傅里叶级数、正弦级数和余弦级数，狄利克雷定理

将函数展开为傅里叶级数、正弦级数和余弦级数，写出傅里叶级数的和函数的表达式

一阶线*微分方程、齐次方程，微分方程的简单应用

用微分方程解决一些应用问题

第二十届高等数学竞赛试卷专业年级:学号:姓名:成绩:页号一二三四五六七八总分得分说明:转载请标明出处.