刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 l 刚体定轴转动对轴上一点的角动量刚体定轴转动对轴上一点的角动量（自学）（自学） ： 结结 论：论： 一般情况下，刚体定轴转动对轴上一点的角动一般情况下，刚体定轴转动对轴上一点的角动 量并不一定沿角速度（即转轴）的方向，而是与其量并不一定沿角速度（即转轴）的方向，而是与其 成一定夹角；成一定夹角；但对于质量分布与几何形状有共同对但对于质量分布与几何形状有共同对 称轴的刚体，当绕该对称轴转动时，刚体对轴上任称轴的刚体，当绕该对称轴转动时，刚体对轴上任 一点的角动量与角速度的方向相同一点的角动量与角速度的方向相同. 现在讨论力矩对时间的积累效应。现在讨论力矩对时间的积累效应。 对于对于定轴转动质点系：定轴转动质点系： 质点系：质点系： （质点系的角动量定理）（质点系的角动量定理）M dtdL 外 对点：对点： dL M dt 外 l 现在讨论力矩对时间的积累效应。现在讨论力矩对时间的积累效应。 （定轴角动量守恒定律）（定轴角动量守恒定律） （可以不是刚体，也可以是一个或几个刚体）（可以不是刚体，也可以是一个或几个刚体） 如果如果0M 外 ，（角动量守恒定律）（角动量守恒定律）L 常量则则 如果如果 0 z M ，常量常量 z L则则 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1. 刚体定轴转动（对轴）的角动量刚体定轴转动（对轴）的角动量 ii i i mLr v 2. 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 Oi r i m i v dd() dd LI M tt z LI i ii i rm r () 2 () i i i m r = 22 11 2121 d tL tL M tdLLLII 22 11 21 d tL tL M tdLLL 则则 刚体作定轴转动的转动刚体作定轴转动的转动 惯量惯量 保持不变，则保持不变，则 I 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 2 1 21 d t t M tII 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 0MLI 常量，则，则 若若 l 非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理 2 1 2211 d t t M tII l 刚体角动量定理：刚体角动量定理： 作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。 dt dL M z z 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 0MLI 常量，则，则 若若 l 若系统对定轴的外力矩之和为零，则系统对此固定若系统对定轴的外力矩之和为零，则系统对此固定 轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。 -对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动，若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动， 但角动量可在内部传递。但角动量可在内部传递。 c.0onst ii i MI ， 当当 时时 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件:0M 若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.ILII 3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 0MLI 常量，则，则 若若 讨论讨论 exin MM 在在冲击冲击等问题中等问题中 L 常量常量 有许多现象都可以有许多现象都可以 用用角动量守恒角动量守恒来说明来说明. 自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律 2 动量守恒定律动量守恒定律 2 能量守恒定律能量守恒定律 2 角动量守恒定律角动量守恒定律 2电荷守恒定律电荷守恒定律 2质量守恒定律质量守恒定律 2宇称守恒定律等宇称守恒定律等 花样滑冰花样滑冰 跳水运动员跳水跳水运动员跳水 v o v o o m p T R 圆圆 锥锥 摆摆 子子 弹弹 击击 入入 杆杆 o v 以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统 机械能机械能不不守恒守恒 . 角动量守恒；角动量守恒； 动量动量不不守恒；守恒； 以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统 动量守恒动量守恒； 角动量守恒；角动量守恒； 机械能机械能不不守恒守恒 . 圆锥摆系统圆锥摆系统 动量动量不不守恒；守恒； 角动量守恒；角动量守恒； 机械能守恒机械能守恒 . 讨讨 论论 子子 弹弹 击击 入入 沙沙 袋袋 细细 绳绳 质质 量量 不不 计计 下面几种情况系统的动量、角动量和机械能下面几种情况系统的动量、角动量和机械能 是否守恒？是否守恒？ 例例: 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平 位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并并 背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为 m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率小虫应以多大速率 向细杆端点爬行向细杆端点爬行? 0 v 22 0 ) 4 ( 12 1 4 l mml 2 Mm m 1 1 I 22 I0)( M = 0 （对地的角位移）（对地的角位移） 例：例：圆盘质量圆盘质量M, ,半径半径R, ,J=MR2/2, , 转轴光滑转轴光滑, ,人的质量人的质量m, ,开始时，开始时， 两者静止两者静止求：人在盘上沿边求：人在盘上沿边 缘走过一周时，盘对地面转过缘走过一周时，盘对地面转过 的角度的角度 解：解：在走动过程中在走动过程中, ,M),),一端挂在光滑水平轴上，开始时静止一端挂在光滑水平轴上，开始时静止 在竖直位置，有一子弹（在竖直位置，有一子弹（m. .vo o) )水平射入而不复出。求杆与子弹水平射入而不复出。求杆与子弹 一起运动时的角速度一起运动时的角速度. . 解：解： 子弹进入到一起运动，瞬间完成子弹进入到一起运动，瞬间完成. 系统（子弹系统（子弹+棒）棒） 外力：外力：重力、轴的作用力重力、轴的作用力 对轴的力矩为零对轴的力矩为零角动量守恒角动量守恒 动量守恒？动量守恒？ 2 0 1 () 3 mlvmlvMl lmMmv)3/(3 0 ()vl 方向？方向？ 22 12 1 ( ) 3 IIImlMl vo 0 0 mlvI 或或 l 结合本章教材习题结合本章教材习题 7.3.6（打击中心）（打击中心） ，在什么情况，在什么情况 所以，系统所以，系统（子弹与杆）（子弹与杆）的相互作用力作用在打击中心时，的相互作用力作用在打击中心时， 动量在碰撞打击前后保持守恒动量在碰撞打击前后保持守恒. 0 2 3 l mvI系统对轴的角动量守恒系统对轴的角动量守恒 例：例：质量为质量为M，长为，长为l的均匀棒，如图，若用水平力打击在离轴下的均匀棒，如图，若用水平力打击在离轴下 y处，求：轴反力 处，求：轴反力 例题例题 如图所示，一质量为如图所示，一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止的子弹以水平速度射入一静止 悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后，棒，求子弹穿出后，棒 的角速度的角速度 ，已知棒长为，已知棒长为 l ，质量为，质量为 M. 00 3 () 4 fdtm vvmv 子弹对棒的反作用力子弹对棒的反作用力 对棒的冲量矩为对棒的冲量矩为 f ff 由 0 vvm l M 解解 以以 f 代表棒对子弹的阻力，对于子弹有代表棒对子弹的阻力，对于子弹有 f ldtlf dtI 00 39 44 mv lmv IMl 思考题思考题： 1 1、此题可否用子弹和棒的总角动量守恒来作？、此题可否用子弹和棒的总角动量守恒来作？ 2 2、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？、子弹和棒的总动量在水方向上是否守恒？ 3 3、若将杆换成软绳系一质量为、若将杆换成软绳系一质量为 M 的重物，在的重物，在 水平方向上动量是否守恒？水平方向上动量是否守恒？ 4 4、机械能是否守恒？、机械能是否守恒？ l 刚体的重心刚体的重心 重心重心刚体处于不同方位时刚体处于不同方位时,重力作用线都要通过的那一点重力作用线都要通过的那一点. 如图如图,被悬挂刚体处于静止被悬挂刚体处于静止,C为重心为重心,因因C不动不动,可视为可视为 转轴转轴.因为刚体静止因为刚体静止,所以诸体元重力对所以诸体元重力对C 轴合力矩为零轴合力矩为零. x z C i W y A B D W C C A B D W 0)( cii xxW W zW z ii c gmW ii 则重心坐标与质心坐标同，但概念不同则重心坐标与质心坐标同，但概念不同. 质心是质量质心是质量 中心，其运动服从质心运动定理中心，其运动服从质心运动定理. 重心是重力合力作重心是重力合力作 用线通过的那一点用线通过的那一点. W xW x ii c W yW y ii c 若取若取 典型例子典型例子 例题例题如图如图(a)表示半径为表示半径为R的放水弧形闸门，可绕图中的放水弧形闸门，可绕图中 左方质点转动，总质量为左方质点转动，总质量为m,质心在距转轴质心在距转轴 处，闸处，闸 门及钢架对质点的总转动惯量为门及钢架对质点的总转动惯量为 ,可用钢丝可用钢丝 绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架绳将弧形闸门提起放水，近似认为在开始提升时钢架 部分处于水平，弧形部分的切向加速度为部分处于水平，弧形部分的切向加速度为a=0.1g，g为为 重力加速度重力加速度,不计摩擦不计摩擦,不计水浮力不计水浮力. 2 9 7 mRI R 3 2 图图(a) （1）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力）求开始提升时的瞬时，钢丝绳对弧形闸门的拉力 和质点对闸门钢架的支承力和质点对闸门钢架的支承力. （2）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门）若以同样加速度提升同样重量的平板闸门图图(b) 需拉力是多少？需拉力是多少？ T F W z Ra zcy 3 2 起动时起动时 根据质心运动定理根据质心运动定理 即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ，质点，质点O 对闸门钢对闸门钢 架的支承力竖直向上，大小等于架的支承力竖直向上，大小等于29mg/90. mg 90 67 T F W 图图(b) mgF y 90 29 N mgF 90 67 T 0 N x F (2) 用用 表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛表示提升平板形闸门所用的拉力，对闸门应用牛 顿第二定律，得：顿第二定律，得： T F mgF 10 11 T 比较上面结果，可见提升弧形闸门比较上面结果，可见提升弧形闸门 所用的拉力较小所用的拉力较小. mamgF T 例题例题如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。待 测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上， 线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定，线的另一端通过定 滑轮悬挂质量为滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得，并测得 m自静止开始下落自静止开始下落 h 高度的时间为高度的时间为 t ,求待测物体的转动求待测物体的转动 惯量惯量I，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线，不计两轴承处的摩擦，不计滑轮和线的质量，线 的长度不变的长度不变. h I I0 r m 解解 分别以质点分别以质点 m 和转动系统和转动系统 I+I0 作为研究对象，受力作为研究对象，受力 分析如图分析如图. x y O N F 1T F T2 F W maFmg 2T )( 01T IIrF 2T1T FF ra 2 2 1 gth 0 2 2 )1 2 (I h gt mrI 例题例题 如图所示，将一根质量为如图所示，将一根质量为 m 的长杆用细绳从两端水平的长杆用细绳从两端水平 地挂起来，其中一根绳子突然断了，另一根绳内的张力是多少？地挂起来，其中一根绳子突然断了，另一根绳内的张力是多少？ 解解 设杆长为设杆长为2l ，质心运动定理和转动定理给出绳断的一刹，质心运动定理和转动定理给出绳断的一刹 那的运动方程：那的运动方程： c mgTmamglI 式中转动惯量式中转动惯量 。因在此时刻。因在此时刻 悬绳未断的一端的速度为悬绳未断的一端的速度为0，从而在质心，从而在质心 的加速度和角加速度之间有的加速度和角加速度之间有 2 (2 ) 3Im l 如下关系：如下关系： c al 4.Tmg

在大学普通物理中,都要讲到物理学中存在三大守恒定律,而且是这样讲解的:由牛顿第二定律——(?)=(dp)/(dt),当作用于体系的合外力等于零或体系不受外力作用(孤立体系)时((?)=0),有(dp)/(dt)=0,此式说明体系的总动量与时间无关,这就是体系的动量守恒定律;同样由牛顿第二定律——F=(d(?))/(dt),两边用质点的位矢(?)去叉乘,有