复合函数就是多个函数把它嵌套起来。复合函数关键理解就是：内层函数的输出是外层函数的输入。

复合函数的求导法则：链式法则

因为复合函数是一层一层的由内向外的复合而得；那么复合函数的求导链式法则就是由外层向内层逐步的求导，即一层一层的求下去。

对于一般的映射可以理解成输出是一个向量，这个映射满足  其中是的雅克比矩阵，这个矩阵的第一行第一列呢因为是一个映射，这个第一行第一列是关于求偏导。第一行第二列是关于求偏导。第二行第一列就是关于求偏导，第二行第二列就是关于求偏导。如果有了复合函数h的雅克比矩阵，其实是拿到了这个映射h的整个的复合函数求导。整个复合函数的求导等于的雅克比矩阵乘以的雅克比矩阵。

由外向内在求导，第一层是y关于求偏导，内部一层就是关于在求偏导。

在向量中，雅可比矩阵是一阶以一定方式排列成的，其行列式称为。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于的。

2、重积分：连续的分割求和取极限。

             一元积分(一重积分)是想求的曲边梯形的面积。即分割求和取极限(把它分割成一个个的小矩形，让这些矩形的宽度趋于0，算这些矩形的面积)

              二重积分：求体积(曲面下曲边柱体的体积)(先求曲线下每一小块的面积，再求每一小块对应的高度，最后求体积；思想：分割求和取极限)。

              三重积分：（分割定义域，分割成一小块一小块的，每一小块的体积叫做，每一小块的体积乘上这一小块的位置所处的函数值，乘完之后后，求和取极限这个就是三重积分。）

三重积分的应用，有一个铁块，知道每一小块的密度之后，求铁块的质量，f就是密度，他随着每一小块的位置不同密度不一样，想要计算这个铁块的质量就得使用三重积分。

二重积分可以算面积，三重积分可以算体积，如何算体积呢？答：对这个区域做积分，被积的函数等于1。如下：

微分：局部线性化。求微分就是局部线性化。

如果一个函数他是可以微分的，这就说明这个函数在局部(这个小的局部放大的看就是近似一个平面，平面的方程是，假设我们取的点是那么在这个点附近我们可以使用平面来代替，就变成了一个局部坐标系，之后让都趋近与0，把写成，这个函数的全微分就是其中A和B就是平面方程的两个系数，此时其实是和的函数，而且是一个线性函数，因为是一个平面，要求A的话就让等于0，对求导，也就是偏z和偏x，就是偏导；B同理。)

一元函数的话，局部线性化之后就是一个一次函数；如果是二元函数的话，局部线性化之后就是一个平面。

一元函数的导数他是一个数，多元函数的导数他是一个矩阵，叫做雅克比矩阵。

雅克比矩阵描述的是说：在这一点局部的坐标变换最接近于哪一个线性变换，这就是雅克比矩阵的几何意义。

雅克比矩阵行列式。雅克比矩阵的行列式就叫雅克比值。

重积分换元一定要乘以一个雅克比，来保证他们的面积是相同的。类比于一元积分换元时要多乘以一个导数。这个导数确实就是雅克比矩阵行列式（1x1矩阵的行列式就是这个数字本身了）。

极坐标与直角坐标：极坐标就是一个圈一个圈的跟雷达似的。

PS：多元函数微分的宗旨就是局部线性化，求全微分。输出量就是输入量的线性组合，组合的系数就是求偏导数。