同济大学课程考核试卷（A 卷）

命题教师签名：周羚君 审核教师签名：

课号：122144 课名：复变函数与积分变换 考试考查：考试

此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷

（注意：本试卷共六大题，三大张，满分100分．考试时间120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）

一、研究方程（10分）

方程2sin =z 在复数范围内是否有解？若有解，求出其所有的解。若无解，说明理由。

二、计算与证明（20分） 1. 已知2

为由1至i +1到i 的折线段。（8分）

在，请说明理由。（5分）

复变函数积分的几种计算方法 第2 1卷 第2期河南机电高等专科学校学报V 0 1.21 No. 2 2 0 1 3 年 3 刀 陈静，贪书杰 (河南机电高等专科学校，河南新乡4 5 3 0 0 0 ) 倡 摘要：复变函数积分是复变函数的重要内容。文章对复变函数积 分的计算方法进行归纳，以典型例题加以说明。主要包括积分曲线的 参数方程法、牛顿一莱布尼兹公式、柯西积分定理及公式、高阶导数 公式、留数定理等计算方法。 关键词：复变函数；复积分；计算方法 中图分类号：0 17 4?5 5 文献标识码：A 文章编号： ( 2 0 1 3 ) 0 2 - 0 0 2 1-03 1引言 复变函数积分理论是复变函数的核心内容，和 实积分一样可以解决很多理论及实际问题，而且是 [1] [2] 研究解析函数的…个重要工具，研究复级数理论的重要基础。复 变函数积分有丰富的理论知识和繁多的计算方法，了解复变函数积分 并能灵活运用复积分计算方法进行复积分计算是很重要的。本文把复 变函数积分的方法进行归纳、分类，并以典型例题加以说明，以便更 系统地理解和掌握复积分的计算。 e x d x + c c y d y = 0 少x d y c —y d x = 2 A故得证。 )对于在给定曲线C上函数f ( z )的积分I =如果已知了曲 i 0 0 2 即计算复积分本质上可以归结为两个第二类曲线积分的计算。进 一步，一些特殊的第二类曲线积分 [3] 可以利用格林公式转化为二重积分来计算。 例1设c为可求长的简单闭曲线，A是C所围区域面积，求证 cjj?zdz = 2 i A 当被积函数f( Z)在简单光滑曲线C上连续时，欲计算积分时 可用参数方程法。此方法使用时更多用于C为非封闭曲线、f (z) 在已给区域不解析的情形。 2用牛顿一莱布尼茨公式求复积分时要注意：（1 ） D 是单连通的；（2 ）积分值与具体的路径无关， 仅与起点、终点有关；（3 ）原函数是初等函数。 利用柯西（Cauchy）积分定理及其推论求复积分 ）柯西（Cauchy）积分定理 设f （ z）在平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条围 线，则少 C f （ z ） dz = O 例4 计算积分4 z | = 1 2 + 4 z +