对于二重积分(double integral)的计算，一般通过二次定积分来实现。

对于黎曼积分(Riemann Integral)在区间上的积分值，在可积函数上可用来求被积函数的面积，因此对于二重积分可以求二元函数中空间上的曲面的体积，这里视作定积分的高维有向曲面的推广。

这里我们从几何意义上进行分析。

假定一个二元函数 ，其积分区域D用不等式 表示，且 在 连续

因此依据其二重积分的几何意义，

对于二重积分 ，等于以 为底，曲面 为项的曲顶柱体的体积

且在闭区间 中，取定一点 ,作平行于 面的平面 所截面积为曲面梯形，根据曲面梯形面积求法

此时利用嵌套定积分，已知截面面积求立体体积，有

可看作两次定积分的嵌套形式，此时为先对y，再对x的二次积分，二元函数看作一元函数的函数。

以此推广，对于任意二重积分存在

根据其假定状况 ，但对于一般情况下的二重积分不受此条件限制，以上式子恒成立。

对于其二重积分dx微分形式有（仍以上述条件作为限制）

此时同理为先对x，再对y的二次积分。

例题：计算二重积分 ，被积区域 如图

此为平面直角坐标系，还有极坐标系下的推广

二.极坐标系下的二重积分

比起平面直角坐标系，极坐标系更好的表示其圆形扇形及环形

坐标曲线网对被积区域D进行分割，

以O为圆心， 为半径的圆用 ，O为起点的射线进行无穷分割

设 为 到 及 到 小区域的面积，有

因此我们可以得到该二重积分的极坐标系形式

以上式子由直角坐标系转换为极坐标系，以下介绍详细过程

数学证明小区域求和的极限为零，因此下列步骤可以忽略

在 上取点 ，设该点直角坐标为 ，根据极坐标及直角坐标转换公式有

其中坐标系变换形式如下

下面对此变换形式根据被积区域 的取值，进行分情况讨论

三.利用二重积分注意的问题

在平面直角坐标系下，积分限的确定常常使用几何法

假设积分区域 如图所示，此时在闭区间 内任取一点x，过x轴平行于y轴做一条直线，与区域D存在两个交点，分别为 和 ，此时将x看作常数后进行积分，但由于取于 所以此时上下限视作 。

一般求三维空间内曲面体积的解法：

1.作出该立体的简图,并确定它在 面上的投影区域

2.列出体积计算的表达式(二重积分法)

3.配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算(几何法)

(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示

(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单

此时优先化作极坐标系下的二重积分后进行计算

> >>>>将曲转化成极坐标系的二重积分，并分别写出“先对r后对θ”以及“先对θ后对r”的两个累次积分，其中D是由x2+y2≤2ax