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本文为2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题填空部分的解答，大部分为关耳叔原创，解法虽多，但有雷同之处可以理解。
1、题1之解法2，方法巧妙，可谓神来之笔，多谢朋友吴正提供；
2、题5使用向量法解立体几何问题；
3、题6转化为复向量，使计算更自然；
4、题7引入倒数多项式的概念；
5、题8、题9的解法2中，引入母函数计数方法，并编写计算机程序验证其正确性；
6、题10使用了配对计数原理。
以下，通过考题，详细解析各个知识点与技巧，希望能有所奉献。
题1 设为方程的解，则以为其解的首项系数为1的整系数一元三次方程为______
解法1(韦达定理) 设的三个根为，根据韦达定理有如下关系式：
上三式可以推导如下三式。
解法2(多项式理论，吴正提供) 0=
上式令,且关于的奇数次项系数为零，得：
所以，方程 (1.4)有根为
评注 (1.5)的构造乃神来之笔，谢谢吴正提供。
解 令是一个分段函数，如下：
题3 某竹竿长为24米，一端靠在墙上，另一端落在地面上。若竹竿上某一节点到墙的垂直距离和到地面的垂直距离都是7米，则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为______米，或_____米。
解法1 如图3-1，为墙，为竹竿，，且。
设竹竿靠墙的端点到地面的垂直距离,触地点到墙的距离为
为讨论方便，令，得两个极值点为：
通过单调性讨论（从略），可以验证，当时，
当时，方程(4.2)有实根当且仅当：
题5 在四面体中，棱两两垂直，且分别为线
段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为________
解(向量法) 不妨设，把置于空间坐标系中，令各点的坐标为：
问题转化为求夹角（锐角）的余弦值，如下：
所以，直线与平面所成角的正弦值为。
评注 本题使用平面法向量与空间两射线角的余弦公式。
1.法向量：垂直于平面的向量，称为平面的法向量。
2.空间两向量夹角公式：
空间原点为有两点，那么向量的夹角余弦公式为：
题6 设平面上不共线的三个单位向量满足。若，则的取值范围为______
解 把向量转化为复向量：
这样构造的向量满足条件，且不妨碍一般性。
利用上三式，可以做如下运算：
由及二次实函数的性质，可得：
题7 设为复数，且。当取得最小值时，则此时复数z=______或______
以上当时等号成立，取得最小值
评注 多项式为倒数多项式，这是解本题的快速突破口。什么是倒数多项式？定义如下：
定义7.1 若方程的所有根两两互为倒数，那么多项式称为倒数多项式，方程称为倒数方程。
可以证明，次倒数多项式的系数是对称的，也就是
本题中，利用倒数多项式系数对称性，提取最中间的项，则另一个因式为： ，其对称位置互为倒数，这样就可以利用共轭关系进一步变形。
题8 已知由6个正整数组成的六位十进制数中，其个位上的数字是4的倍数，十位和百位上的数字都是3的倍数，且六位数的数码和为21,则满足上述条件的六位数的个数为__________
解法1 设六位数为，是不为0的十进制数字，为4的倍数，为3的倍数，且满足：
对倍数的条件，分如下情况讨论：
上述7种情况无重复无漏算，故本题答案为：
评注1 注意，以上计数利用以下命题：
命题8.1 是正整数，那么关于方程
解法2 (母函数结合计算机) 该问题的组合母函数为：
展开后，的系数即为所求的答案。
展开后，的系数即为所求的答案。经电脑计算（用python之sympy计算），的系数为126。
根据式(8.1)，编写sympy程序，计算的系数，结果为126，符合预测。
# sympy是个符号运算包，可以作代数运算。
评注2 解法2最后计算量大，要用到电脑，在此用它来验算解法1。 组合母函数是比较常用的计数方法，其法始于大数学家欧拉，在组合数学中占据重要地位。一个最简单的计算组合数的母函数是二项式，通过二项展开，容易证明如下组合恒等式：
题9 一个正整数若能写成形式，则称它为“好数”。则集合{1,2,…，200}中好数的个数为______
解法1 本题使用如下命题：
命题9.1 为的最大公约数，则关于的不定方程有整数解的充分必要条件为。
命题9.1的证明可以参考一般数论教材，在此只利用它的结论。
题9的关键在于求所有在中的整数,使关于的方程
因，根据命题9.1，方程(9.1)有非负整数解
当时，，经验证，能使方程(9.1)有非负整数解，总共有个；
当时，，经验证，能使方程(9.1)有非负整数解，总共有个；
当时，，经验证，能使方程(9.1)有非负整数解，总共有个；
当时，，经验证，能使方程(9.1)有非负整数解，总共有个；
容易验证，当时，满足条件的已经包含在上述四种讨论中。
综上所述，使方程(9.1)有非负整数解的整数有：48+42+35+28=153个，这也是本题要求的答案。
解法2 (母函数结合计算机) 该问题的组合母函数为：
问题转化为求的次数为1~200的单项式的个数，经电脑计算（用python之sympy计算），其值为153。
以下程序根据母函数编制，目的计算系数不为零且次数在的单项式的个数，计算出来的值为153，与预测值一致。
# sympy是个符号运算包，可以作代数运算。
#计算1~200不为零的单项式个数：
题10 .设是集合的一个排列。如果存在且，则称数对为一个逆序，排列中所有逆序数对的数目称为此排列的逆序数。比如，排列1432的逆序为43,42,32,此排列的逆序数就是3。则当的所有排列的逆序数为________
解 先证明命题10.1：
命题10.1 设，则集合的所有排列中，逆序对的数量和为。
命题10.1的证明 为了叙述方便，我们称：一个排列中，不是逆序对的数对为顺序对。
显然，称排列为的逆排列。
显然，当时，一个排列与它的逆排列是不同的排列，且。
并且命题10.1等价于：
其中为排列的逆序对数量。
设排列的逆序对与顺序对的数目分别为。
显然，逆序对数与顺序对数的和等于组合数，即：
另外，关键的一点，的逆序对与中的顺序对一一对应，反之亦然，所以：
这就证明了命题(10.1)
回到题10，集合满足的所有排列中，把逆序对分成两类：
1类为不含有4的逆序对，设有对；
2类为逆序对，设有对；
3类为逆序对，设有对。
那么题10转化为求上述三类逆序对数目之和。
第一步，先计算。根据命题，可以得出
第二步，再计算。为了方便计算，把满足条件的排列分为如下2个类型：
1型：有且只有一个元素在{5,6}中，可以按照如下步骤生成排列：
先选之一置于，有中方法；
再把另一个元素置于中，有种方法；
剩余的3个位置作全排列，有种方法。
以上每种排列有1对要计入的逆序，根据乘法原理，可得逆序对
2型：，可以按照如下步骤生成排列：
剩余的位置可作全排列，有种方法。
以上每种排列有2对要计入的逆序，根据乘法原理，可得逆序对
第三步，再计算。为了方便计算，把满足条件的排列分为如下3个类型：
这种情况下，每个排列有3对逆序要计入，共有个排列，根据乘法原理，共有逆序对
2型：集合与有且只有2个元素相等，可按如下步骤生成排列：
先选之一放入，共有种方法；
再选之一放入，位置无可选(有一位被上一步占据)，共有2种方法；
最后，剩余的3个元素作全排列，有种方法。
以上每个排列有对逆序要计入，根据乘法原理，得2型逆序对有
3型：集合与有且只有1个元素相等，这时，可以按照如下步骤排列：
先选之二排入，共有种方法；
最后，剩余的3个元素对做全排列，共有种方法。
以上每种排列有1个要计入的逆序对，根据乘法原理，得到3型的逆序对共有
第一步到第三步是分类计数，无重复无遗漏，所以
所以本题答案为912。
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