三角函数由于其性质的特殊性 [1]，使得这类积分往往是比较困难的。在三角函数积分的计算中，我们教材中提到一般是用万能变换和变量替换的方法。但对于某些题目来说，经过变化就会更为复杂，更不利于积分的计算了。所以我们需要根据被积函数的特征，选取适合的方法进行求解。本文介绍了几种常用的积分计算方法，有利于化简被积函数从而提高做题效率。

2. 一般区间上的三角函数的定积分的算法

2.1. 利用三角函数恒等变形 [2]

当不定积分中的被积函数都是三角函数时，一般说来，不易直接看出求解方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何去变形，则需从实践中不断总结经验，变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式等。

等，通过转化被积函数就转化为含有新的变量的函数。一般形式如 ${}^{}{}^{}\sqrt{{}^{}{}^{}}\sqrt{{}^{}{}^{}}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}$ 等可以用变量代换的方法。

，此类积分一般通过万能替换 $\frac{}{}$

注意：万能换元法，不要滥用万能公式。例如 ${}^{}\frac{}{}$ 用万能公式做反而麻烦，用三角恒等变形和变量的方法，则更为简单。

2.4. 利用被积函数奇偶性

考虑被积函数在积分区间上的奇偶性可以减少计算步骤，大大提高做题效率。

0 0 0

$0_{\frac{}{}}^{}{\frac{}{}}_0^{}{0}_{\frac{}{}}^{}$

0

0 0 0 0

$\frac{}{}{0}_{\frac{}{}}^{}\frac{}{}{0}_{\frac{}{}}^{}\frac{}{}\frac{}{}{0}_{\frac{}{}}^{}\frac{}{}\frac{}{}$

0

0 上是偶函数，故可以写成 $0_{}^{}\frac{}{}\frac{}{}$

$0_{}^{}\frac{\frac{}{{}^{}}}{\frac{{}^{}}{{}^{}}}{0}_{}^{}\frac{}{{}^{}}\frac{\sqrt{}}{}\sqrt{}\begin{array}{c}\\ 0\end{array}\frac{}{\sqrt{}}$

2.5. 利用递推公式

例 [5]：计算积分若 ${}_{}^{}{}^{}{}^{}0$

$\begin{array}{c}\frac{{}^{}{}^{}}{}\frac{}{}0\\ \frac{{}^{}{}^{}}{}\frac{}{}0\end{array}$

0

$\frac{{}^{}{}^{}}{}\frac{}{}0$

3. 一类特殊区间上的三角函数定积分的算法

0

证明：由于刚才而基础知识可以知道

$\begin{array}{c}{\frac{{}^{}{}^{}}{}}_0^{\frac{}{}}\frac{}{}\frac{}{}0\\ {\frac{{}^{}{}^{}}{}}_0^{\frac{}{}}\frac{}{}\frac{}{}0\end{array}$

0 0 0 0 ，经过反复的递推就可以得到了。

注意：我们这个公式所的区间必须是要求在 $0\frac{}{}00$ 我们通过三角函数的对称性就可以得到了。

0

0

关于三角函数的定积分的计算技巧有很多种，因为方法灵活多样，就需要我们今后在练习中不断发现、积累、总结，达到能够根据被积函数的特征，选取最合适的方法进行求解。同时也希望我们在今后的学习中能探究更多的解题方法，提高三角函数定积分解题的效率。

¹李扬数学分析强化讲义[Z]，2021。