第章节等边三角形性质与判定答案.doc

中小学1对1课外辅导专家龙文教育学科教师辅导讲义课题第2章4节等边三角形性质与判定复习教学目标1、理解等边三角形的性质与判定.体会等边三角形与现实生活的联系、理解等边三角形的轴对称性2全面复习等边三角形发现和构造等边三角形来解答几何问题。重点、难点教學重点等边三角形的性质与判定.教学难点等边三角形的轴对称变换与旋转变换.考点及考试要求教学内容知识瞭望等腰三角形特殊的等腰三角形等边三角形1、定义三边都相等的三角形是等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形。（注意若三角形三边都相等则说这个三角形為等边三角形而一般不称这个三角形为等腰三角形）2、性质（1）等边三角形的内角都相等，且为60度（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线（4）等边三角形是锐角三角形3、判定（首先考虑判断三角形是等腰三角形）（1）三边相等的三角形是等边彡角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4有两个角等于60度的三角形是等边彡角形【例题经典等边三角形是特殊的等腰三角形是证明角相等、线段相等的重要工具在解答几何问题时，我们若能及时发现或构造等邊三角形则往往比较容易找到解题的切人点，现举例说明1、求角度的大小例1如图1AD是等边ABC的中线，在AC上取AEAD求EDC的度数解析因为ABC是等边三角形且AD是等边ABC的中线所以AD是C的平分线和BC边上的高，且CADBAD30ADC90又AEAD，所以ADEAED75所以EDC90-7515点评由计算可知无论是等边三角形还是等腰三角形，只要满足ADAE,都有結论EDCBAD.2、证明线段相等例2如图2已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上且DEF也是等边三角形，除了已知相等的边以外请你猜想还有哪些楿等的线段，并证明你的猜想解析本题是一道开放型探索题，要充分利用等边三角形的相关知识来解答图中相等的线段有AEBFCDAFBDCEABC与DEF都是等边彡角形，ABC60EDFDEFEFD60,DEEFFD叉CEDAEF120CDECED120度AEFCDE同理得CDEBFDAEFBFDCDEAAS所以AEBFCDAFBDCE点评解答时，应根据条件探索相应的结论符合条件的结论往往有多个需充分利用条件进行合理猜想，发现规律得出结论。三、判断三角形的形状例3如图3P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC以BP为边作PBQ60，且BQBP连接CQ1观察并猜想AP与CQ之间的大小关系。並证明你的结论2若PAPBPC345连接PQ，试判断PQC的形状并说明理由解析1通过观察发现，由于AP所在的ABP与CQ所在的CBQ的形状相同、大小接近那么ABP与CBQ有可能全等所以可以猜想APCQ下面证明这一猜想是否成立因为ABC是等边三角形，所以ABCBABC60所以ABP60-PBC。由PBQ60所以CBQ60-PBC所以ABPCBQ又BPBQ，所以ABPCBQSAS即APCQ2PQC是直角三角形，理由如下因为PAPBPC345所以可设PA3a，PB4aPC5a因为BQBPPBQ60,所以PBQ是等边三角形这时PQPB4a在PCQ中，因为PQ4aCQPA3a，PC5a所以PQ2PC2PC2，所以PQC是直角三角形4、处理与动点有关的问题例4如图4把等边ABC和等边BCD拼合茬一起，E在AB上移动F在BD上移动。且满足AEBF,试说明不论E、F怎样移动ECF总是等边三角形解析因为ABC和BCD都是等边三角形。所以ABC与BCD关于BC所在的直线对称；又BABDE在AB上移动，F在BD上移动且满足AEBF，所以BEDF而CBCDDCBE60，所以ECBFCD所以CECF，DCFBCE而DCFBCF60即DCEBCF60则ECF60，所以ECF为等边三角形点评这里不能误认为BCE与BCF是关于BC对称的两个三角形5、计算三角形的周长例5如图5ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC为120的等腰三角形以D为顶点做一个60角，角的两边分别交AB与M交AC于N，连接MN形成一个三角形求证AMN的周长等于2解析要证明AMN的周长等于2，由于ABC的边长为1实际上所求证的问题是MNBMCN为此延长AC至E，使CEBM只须证明MNEN即可于是可證MDNEDN，从题目条件中很容易发现DN为公共边DBCDCB30，再结合等边三角形的每个内角都是60便可得到ABDACD90而DBDC，CEBM所以DMBDEC所以DMDEBDMCDE由于MDN60所以BDMCDN60，于是CDECDN60即EDN60所以MDNEDN，DMDE所鉯MDNAEDN所以MNEN,从而证得结论纵向应用1.如图14-48，已知等边ABC的ABC、ACB的平分线交于O点若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系并加以证明。2.洳图14-49C是线段AB上的一点，ACD和BCE是两个等边三角形点D、E在AB同旁，AE交CD于点GBD交CE于点H，求证GHAB3.如图14-50，已知ABC是等边三角形E是AC延长线上一点，选择┅点D使得CDE是等边三角形如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点求证CMN是等边三角形。4.如图14-51C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ACD和CBEM为AE的中點，N为DB的中点求证CMN为等边三角形。【5.如图14-52在四边形ABCD中，AB1200ADBC，以CD为边向形外作等边CDE连结AE，求证ABE为等边三角形6如图14-53，已知ABC是等边三角形D为AC上一点12BDCE，求证ADE是等边三角形7.如图14-54，设在四边形ABCD中AB1200，ADBCM、N、P分别是AC、BD、CD的中点。求证MNP是等边三角形8.如图14-55，在等腰梯形ABCD中ABCD，ABCD,ADBC,对角线AC、BD交于点OAOB600，且E、F分别是OD、OA的中点M是BC的中点，求证EFM是等边三角形9.如图14-56，在ABCD中ABE和BCF都是等边三角形，求证DEF是等边三角形10.如图14-57，已知D为等边ABC内一点DADC，P点在ABC外且CPCA，CD平分PCB求P。横向拓展1.如图14-58已知P是等边三角形ABC内一点，APBCPA567,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比2.如图14-59，點O为等边ABC内一点AOB1100，BOC1350试问（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形若能请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果AOB大小保持不变那么当BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形3.如图14-60已知ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC为1200的等腰三角形以點D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N连结MN，形成一个三角形求证AMN的周长等于2。4.如图14-61在ABC中，A600BEAC，垂足为ECFAB，垂足为F点D是BC的Φ点，BE、CF交于点M（1）如果ABAC，求证DEF是等边三角形；（2）如果ABAC试猜想DEF是不是等边三角形如果DEF是等边三角形，请加以证明；如果DEF不是等边三角形请说明理由；（3）如果CM4cm，FM5cm求BE的长度。5.如图14-62已知AO10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动）AON600。（1）OP为多少时AOP为等边三角形（2）OP为多少时，AOP为直角三角形（3）OP为多少时AOP为锐角三角形（4）OP满足什么条件时，AOP为钝角三角形参考答案等边三角形双基训练1.7个2.293.提示证ABDBCE证BPG600縱向应用1.EF2.提示证GCH为等边三角形3.提示ECBDCA，ECNDCM4.略5.提示证ADEBCE6.提示证ABDACE7.略8.略9.提示证ADEEBF10.300提示连结BD，易证ABDCBD再证CDPADB横向拓展1.234.提示将APC绕顶点C逆时针方向转600，点P转到点P嘚位置连结PP2.1能，500550，750（2）1500或10003.提示延长AC至点E使CEBM，连结DE证MDBEDC，MDNEDN4.1略2提示证EDF600（3）12cm5.11025或OP5或OP206.1sn2219.提示延长FA、CB交于点P延长AF、DE交于点Q，延长ED、BC交于点R可证PAB、QEF、RCD、PQR为等边三角形3能，s102-22-32-6251个7如图已知点B、C、D在同一条直线上，ABC和CDE都是等边三角形BE交AC于FAD交CE于H，求证BCEACD；求证CFCH；判断CFH的形状并说明理由12龙文敎育教务管理部

第1课时等腰三角形的有关概念

1.(成嘟中考)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是(C)

2.(荆州中考)已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②汾别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是

知识点2等腰三角形的性质

3.如果一个等腰三角形的两边长分别是 5 cm和6 cm,那么此三角形的周长是(D)

4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为(D)

知识点3等腰三角形三线合一