二、单项选择题（每小题4分、本題共28分）

15.设线性无关的向量组α1α2，…αr可由向量组β1，β2…,βs线性表示，则r与s的关系为__________.

17.设4元线性方程组 的三个解α1α2，α3已知 则方程组的通解是__________.

20.设实二次型 已知A的特征值为-1，12，则该二次型的规范形为__________.

三、计算题(本大题共6小题每小题9分，共54分)

21.设矩阵 其中 均为3維列向量且 求

24.设3元线性方程组 ,

(1)确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?

(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求鼡其一个特解和导出组的基础解系表示).

25.已知2阶方阵A的特征值为 及 方阵

26.用配方法化二次型 为标准形并写出所作的可逆线性变换.

四、证明题(夲题6分) 27.设A是3阶反对称矩阵，证明|A|=0.

一、判断题(正确填T错误填F。每小题2分共10分) 1． A是n阶方阵，??R则有?A??A。 （ ）

?1?1?1AB?0(AB)?BA （ ） 2． A，B是同阶方阵且，则3．如果A与B等价则A的行向量组与B的行向量组等价。 ( ) 4．若A,B均为n阶方阵则当A?B时，A,B一定不相似 ( ) ?1,?2,?3,?4?线性相关，则??1,?2,?3?也线性相关 （ ） 5．n维向量组?

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中（ ）不是初等矩阵。

?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100?? (B)??010?? (C) ??001??(D) ??001?? （A）?2．设向量组?1,?2,?3线性无关则下列向量组中线性无关嘚是（ ）。

） A?A?5E?03．设A为n阶方阵且。则

4．设A为m?n矩阵则有（ ）。

（A）若m?n则Ax?b有无穷多解；

（B）若m?n，则Ax?0有非零解且基础解系含有n?m个线性无关解向量； （C）若A有n阶子式不为零，则Ax?b有唯一解； （D）若A有n阶子式不为零则Ax?0仅有零解。

5．若n阶矩阵AB有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量则（ ）

三、填空题（每小题4分，共20分）

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是线性 （填相关或3．向量组，无关）的，它的一个极大线性无关组是

4． 已知?1,?2,?3是四元方程组Ax?b的三个解，其中A的秩R(A)=3?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????，??则方程组Ax?b的通解为 。

四、计算下列各题（每小题9分共45分）。

?121??A??342????122??求矩阵B。 1．已知A+B=AB且

3.已知方程组 有无穷多解，求a以及方程组嘚通解

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

5． A，B为4阶方阵AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么；（3）求|A+3E|。

五．证明题（每题5分共10分）。

1．若A是对称矩阵B是反对称矩阵，AB?BA是否为对称矩阵证明你的结论。

T2．设A为m?n矩阵且的秩R(A)為n，判断AA是否为正定阵证明你的结论。