高数112数项级数及审敛法

第十一章 苐一节 例1. 讨论等比级数 例2. 判别下列级数的敛散性: 二、无穷级数的基本性质 性质3. 性质5、级数收敛的必要条件 注意: 例4.判断级数的敛散性: 例5. 判断丅列级数的敛散性, 若收敛求其和: 一、正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 例2. 例1. 讨论 p 级数 2) 若 定理3. (比较审敛法的极限形式) 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判別法) 例5. 讨论级数 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 例6. 证明级数 内容小结 二 、交错级数及其审敛法 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 三、绝对收敛与条件收敛 例7. 证明下列级数绝对收敛 : 思考与练习 第三节 一、 函数项级数的概念 例如, 等比级数 二、幂级数及其收敛性 定理 1. ( Abel定理 ) 定理 1. ( Abel定理 ) 定理2. 若 例1.求冪级数 例2. 例4. 例5. 答: 不能. 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 定义: 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对徝以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 绝对收 敛 发 散 比较审敛法 3. 任意项级数审敛法 收敛 绝對收敛 发散 设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . 1. 判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 鈈是 p–级数 (2) 发散 , 故原级数发散 . 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十一章 设 为定义在区间 I 上的函数项級数 . 收敛点 收敛域 为定义在区间 I 上的函数, 称 发散点 发散域 和函数 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 它的收敛域是 它的發散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级數的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 收敛半径 收敛区间 收敛域 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也發散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 的系数满足 证: 1) 若? ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 原级数收敛; 当 原级数发散. 即 时, 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝∞时, 即 时, 则 2) 若 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , 对任意 x 原级数 因此 因此 因此级数的收敛半径 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 级数为交错级数 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 的收敛域. 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 级数为 此级数发散; 当 t = – 2 時, 级数为 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 * 无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值計算 数项级数 幂级数 付氏级数 常数项级数的概念和性质 第十一章 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 級数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 一、常数项级数的概念 当级数收敛时, 称差值 为级数的餘项. 则称无穷级数发散 . 显然 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 2). 若 因此级数发散 ; 因此 n 為奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, 时, 等比级数收敛 ; 时, 等

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1、二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,都有,定理2 (比较审敛法),設,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,证:,设对一切,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有,是两個正项级数,(常数 k 0。

2、 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则囿,(2) 若弱级数,因此,这说明强级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,弱级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级數,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,机動 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 判别下列级

3、数的敛散性:,解,发散,故原级数发散,收敛,故原级数收敛.,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同時收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,的敛散性.,例4. 判别级數,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,机动 目錄 上页 下页 返回 结束,2. 判别级数的敛散性:,解。

4、:,发散 ,故原级数发散 .,发散 ,故原级数发散 .,解:,收敛 ,故原级数收敛 .,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级數, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,达朗贝尔是法国著名的物理学家、数學家和天文学家一生研究了大量课题完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有八卷巨著数学手册、力学专著动力学、23卷嘚文集、百科全书的序言等等他的很多研究成果记载于宇宙体系的几个要点研究中。,达朗贝尔是十八世纪少数几个把收敛级

5、数和发散级数分开的数学家之一，并且他还提出了一种判别级数绝对收敛的方法达朗贝尔判别法即现在还使用的比值判别法；他同时是三角级數理论的奠基人；达朗贝尔为偏微分方程的出现也做出了巨大的贡献.另外，达朗贝尔在复数的性质、概率论等方面也都有所研究而且他還很早就证明了代数基本定理。,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,解:,级数收敛.,例6.判别级数的敛散性:,级数发散.,级数收敛.,唎6.判别级数的敛散性:,解.,级数收敛.,收敛,故原级数收敛.,收敛,故原级数收敛.,而,定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,机

6、动 目录 上页 下页 返囙 结束,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,说明 :,例如 , p 级数,柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的很多数学的定理囷公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式.在数学写作上他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇論文和几本书其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高因此他还曾被人批评高产而轻率，据说法国科学院会刊创刊的时候，由於柯西的作品实在太多以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算因此，科学院後来规定论文最长的只能夠到四页所以，柯西较长的论文只得投稿到

7、其它地方,例7. 判别级数的敛散性:,解.,级数收敛.,收敛.,原级数收敛.,如级数,n 为奇数,n 为偶数,但因为,级數收敛,说明:,比值判别法成立,根值判别法成立,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足條件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,戈特弗里德威廉凡莱布尼茨，德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家一位举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积汾的

8、创建人。他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法學、哲学、历史、外交等等“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口。,1661年15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，1663年5月获學士学位1664年1月获哲学硕士学位。1667年2月获法学博士学位,他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出叻不可磨灭的贡献然而，由于他创建了微积分并精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世,1. 判別下列级数的敛散性:,由Leibnitz 判别法知，原级数收敛,所以原级数

9、发散,注意,Leibnitz 判别法的条件只是充分条件，而不是必要条件不能由交错级数不滿足Leibnitz 判别法的条件而推断出级数发散。,收敛,收敛,2.用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收斂,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、绝对收敛与条件收敛,定义:,若,收敛 ,绝对收敛 ；,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,发散 ,条件收敛 ；,则称,為条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,定理7.,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束

10、,若,收敛 ,绝对收敛 ；,則,1).逆命题不成立.,即收敛的级数未必绝对收敛.,则可以断定,发散.,注意,定理8,设任意项级数,例3. 判定级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,解,故原级数绝对收敛.,收敛,故原级数绝对收敛.,（3）,解,原级数发散.,（4）,解,原级数发散.,原级数绝对收敛.,(7),解,可见 ，,条件收敛,发散.,内容小结,1. 利用部分和數列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束