如何计算投资收益率 - 知乎专栏
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】某些人对绩效评估和分解不屑一顾，认为没必要那么复杂，不就比比谁赚的钱多就行了吗？问题没有那么简单。首先，直观地说，一个人用100万本金赚到了10万，跟一个人只用10万本金赚到10万，显然后者的表现更好。所以第一个结论：在进行绩效评估的时候，不能光看收益额，而要看收益率：相对于其本金的收益。那么，收益率可以被简单理解为收益除以本金吗？也不行，这里面的东西远比想象中复杂。简单地说，如何计算收益率，依赖于你评估的角度。不同的角度得出的结论可能截然相反。下面先给出一个这样的例子。假设有甲、乙两个投资人，分别投资于两只基金A和B，这两只基金都投资于中国A股股市。为了简单起见，我们假设投资为两年期限，恰好为中国A股市场的2007年到2008年。甲在2007年投资了100万到A，然后A这一年赚了120%；甲一看赚了钱，马上追加了200万，结果2008年这只基金亏损50%。显然，甲损失了100+200-(240+200)*50%=80万，平均投入资金为200万一年。乙同样在2007年投资了100万到B，B在这一年赚了100%，但在年末他撤回了50万的本金。B在第二年亏损了60%。那么乙在这两年赚了(50+150*40%)-100=10万。乙的平均投入成本为75万每年。乙用不到一半的成本获得了更高的收益，而甲花了很多钱，最后亏损不少。从这个角度上来说，乙的赚钱能力更强一些。由于投资人的资金实际都是由两只基金的基金经理来操作，那么能否说第二位投资经理要操作的比第一位投资经理好呢？显然不能，第一位投资经理无论在2007年还是2008年收益率都要比第二位投资经理收益率更高。所谓问题归结到：投资者的收益如何计算？基金经理的收益如何计算？金钱加权法（Money Weighted）金钱加权法本质上就是内部收益率法。将初始投入视为现金流入（大于0），期末资产视为现金流出（小于0），那么金钱加权收益率即使得现金流的现值等于0的折现率。我们使用下述公式：\\[ \\sum_{i=1}^T f_{t_i}(1+r)^{-t_i}=0\\]其中\\(f_{t_i}\\)为时间点\\(t_i\\)上的现金流，\\(r\\)为内部收益率。在金钱加权法中，钱在不同时候收益率是一样的。并且它只对期间整体进行定义，分期的收益率和整体的收益率并无直接的关系。上述的定义较为复杂，掩盖了金钱加权法的一些本质。事实上，金钱加权收益率近似等于收益额除以平均占用资金。这里平均占用资金是指各期占用资金的算术平均值。这种近似收益率也被称为Modified Diez Return。Modified Dietz Method假设现金流为\\(f_{t_i}, i=0,1\\cdots, T\\)，其中\\(f_0\\)为期初投资额，期末投资余额为\\(-f_{t_T}\\)，那么金钱加权收益率\\(r\\)为下述方程的解：\\[\\sum_i f_{t_i} (1+r)^{-t_i} = 0\\]注意对\\(r\\sim 0, x\\sim 0\\)有\\((1+r)^x \\sim 1+ rx\\)。上面等式可写成\\[\\sum_if_{t_i} (1+(t_T-t_i)r) = 0\\]解出\\(r\\)：\\[\\begin{array}{rcl}r &=& \\frac{-\\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\\sum_{i=0}^T f_{t_i} (t_T-t_i)}\\\\&=&\\frac{-\\sum_{i=0}^T f_{t_i}}{\\sum_{i=0}^{T-1} (t_{i+1}-t_{i})\\sum_{j=0}^{i}f_{t_j}}\\end{array} \\]此处分子\\(-\\sum f_i\\)为投资盈利额，分母为平均占用资金（因为在时间\\(t_i\\)到\\(t_{i+1}\\)期间，投入资金恰好为\\(\\sum_{j=0}^i f_{t_j}\\)）。时间加权法（Time Weighted）将投资区间分成若干段，每段之间没有现金进出，这样每一段都可以用简单收益率法计算其收益率。时间加权收益率 = （1 + 各段收益率）的连乘 - 1。日内现金流或现金流时间不确定时处理方法时间加权法要求将投资区间分为若干段，每段之间没有现金进出。但在某些时候达到这点比较困难。比如每天日内不停地买卖股票，将每个买卖动作都分隔开，是一个无论在计算上，还是在对数据的要求上，都是一个几乎不可能的任务。一个简单办法是，对于无法细分的时间颗粒（一般是一天），假设颗粒内部还是有现金流流入和流出，那么将流入的现金流都视为一开始就流入，流出的现金流则认为到结束才流出。即：期间收益率 = （期末市值+流出现金-期初市值-流入资金）/（期初市值+流入资金）。实际中使用的时间加权法由于时间加权法要求在每个现金流时点都需要投资组合的精确估值，对于某些投资组合而言，这一点比较困难。那么在实际使用中，通常在固定的期限内，比如每个月，使用金钱加权法，计算这段期限内的收益率，然后再将各个期间的收益率连乘得到整个期间的收益率。比较时间加权法收益率可以理解为在各个时点上的瞬时收益率的累计，而金钱加权收益率可以理解为各个时点上的瞬时收益率，再根据当时投入的资本进行加权的收益率。从这一点上看就很容易理解在什么时候该用什么收益率。对于投资经理来说，每个时点上有多少资本根本不是他所能掌控的，所以对投资经理，只能使用时间加权收益率。而对于投资者而言，他决定了每个时间点上的资本数量，所以对于他的评价必须使用金钱加权收益率。这样最开始的例子中，基金A、B和投资人甲、乙的收益（Performance Measure）评估结果如下：时间加权基金A：10%基金B：-20%金钱加权投资人甲：-40%投资人乙：13.3%从上面可以看到，甲投资的基金A的表现优于乙投资的基金B，但甲的收益却不如乙。为什么会出现这种情况？直观看是因为甲的择时能力太差，在熊市重仓牛市轻仓。接下来绩效分解（Performance Attribution）会介绍一些定量的方法来评估各自的贡献。","updated":"T05:08:29.000Z","canComment":false,"commentPermission":"anyone","commentCount":6,"collapsedCount":0,"likeCount":155,"state":"published","isLiked":false,"slug":"","isTitleImageFullScreen":false,"rating":"none","titleImage":"","links":{"comments":"/api/posts//comments"},"reviewers":[],"topics":[],"adminClosedComment":false,"titleImageSize":{"width":0,"height":0},"href":"/api/posts/","excerptTitle":"","column":{"slug":"zhiqiang","name":"阅微堂"},"tipjarState":"inactivated","annotationAction":[],"sourceUrl":"","pageCommentsCount":6,"hasPublishingDraft":false,"snapshotUrl":"","publishedTime":"T13:08:29+08:00","url":"/p/","lastestLikers":[{"bio":"自然人 地球人","isFollowing":false,"hash":"906d92a625ea61c9b6a7fa07b7788471","uid":235000,"isOrg":false,"slug":"frances-phyllis","isFollowed":false,"description":"","name":"Frances 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】什么是绩效分解在中有一个例子，基金经理的表现挺好，但最后投资人的实际表现却相对较差。这意味着一项投资的最终表现依赖于多个影响因素，而绩效分解便是如何定量的将实际表现分解到这各个影响因素上去。还有一些更复杂的情况。一个公司（以下分析可适用于整个证券公司的自营、一个国家的养老金、甚至一个个人投资者）投资行为如下。首先，这个公司会将可配置的资金分到各种大类资产，比如配置40%到股票交易部，配置60%到债券交易部。然后，股票部门会将资金配置到好几个投资经理，这些投资经理有些跟踪大盘股，有些专门做价值股；债券部分也一样，会配置到货币投资经理、企业债投资经理、高收益债券投资经理等等。这些投资经理都有各自跟踪的基准。这些配置还可能是动态调整的，比如公司可能在年中把更多资金配给股票部门，股票部门又把更多钱配给大盘股。一年下来，公司最终的投资表现，比同类可比公司收益率要高10%，那么如何去理解这10%的超额收益：各个投资经理的收益是来源于大盘上涨呢，还是来源于投资经理的个人能力（比如择时比较好，或者选择的股票比较好）。部门收益来源于投资经理表现好呢，还是因为部门在各个板块上上的配置比较好（比如当年高配蓝筹股，恰好赶上蓝筹股的爆发上涨）。公司的收益来源于部门表现好呢，还是因为在大类资产上配置得好（比如当年牛股熊债，恰好在股票上投入更多资源）。这便是收益分解(performance attribution)所需要干的事情。Brinson模型Brinson模型是最常用的绩效分解模型，由Brinson和Fachler在论文《Measuring Non-US Equity Portfolio Performance》提出。它的一个最大的优点是简单直观，这个优点在实际操作中的重要性不用多说。在介绍Brinson模型前，我们先简化问题。假设我们需要评估的是一个股票基金投资经理的表现，并且这个投资经理仅投资于国内的股票，并且一直保持满仓。我们想知道这个投资经理的收益来源多少来源于大盘（账户基准）的涨跌，多少来源于对行业的选择，多少来源于对个股的选择。这个场景虽然简单，但同样的思想和处理方式很容易扩展到其它场景。在第三部分我们将介绍这些扩展。单期Brinson模型这里的单期是指投资经理在这期间没有交易，没有现金流入和流出。为此假设实际组合在这一期的收益率为\\(r_p\\)，各个行业的权重和收益率分别为\\(w_{p,i}\\)和\\(r_{p,i}\\)；同样时间内，账户基准的收益率为\\(r_b\\)，各个行业权重和收益率分别为\\(w_{b,i}\\)和\\(r_{b,i}\\)。我们目前有两个资产组合，实际组合\\(P\\)和基准组合\\(B\\)。为了计算投资经理的资产配置收益和个股选择收益，我们建立两个虚拟组合，它们分别被称为配置组合\\(A\\)和选股组合\\(S\\)：在配置组合里，我们只使用实际组合的资产配置权重，不考虑投资经理选股的差异；在选股组合里恰好相反，组合的资产配置权重和基准一样，但每个行业里配置的股票和实际组合保持一致，即每个行业的收益率和实际组合一样。我们可以建立以下表格： 基准行业权重\\(w_{b,i}\\)实际行业权重\\(w_{p,i}\\)基准行业收益率\\(r_{b,i}\\)基准组合B\\(r_b=\\sum r_{b,i}w_{b,i}\\)配置组合A\\(r_a=\\sum r_{b,i}w_{p,i}\\)实际行业收益率\\(r_{p,i}\\)选股组合S\\(r_s=\\sum r_{p,i}w_{b,i}\\)实际组合P\\(r_p=\\sum r_{p,i}w_{p,i}\\)这样选股组合B和基准组合B的收益差异为组合的选股超额收益率\\(r_{p,S}\\)。配置组合A和基准组合B的收益差异即为组合的配置超额收益率 \\(r_{p,A}\\):\\[r_{p,S} = r_{s} - r_{b} = \\sum (r_{p,i}-r_{b,i}) w_{b,i}\\]\\[r_{p,A} = r_{a} - r_{b} = \\sum (r_{b,i}-r_b)(w_{p,i}-w_{b,i})\\]将选股收益和配置收益之外的收益成为交叉收益(Interactive Return)，那么组合相对于基准的超额收益可分解为这三项之和：\\[\\begin{array}{rcl}r_{p} - r_b &=& r_{p, S}+r_{p, A} + r_{p,I} \\\\ &=&\\sum (r_{p,i}-r_{b,i}) w_{b,i} + \\sum (r_{b,i}-r_b)(w_{p,i}-w_{b,i}) \\\\ &&+ \\sum (r_{p_i} - r_{b_i}+r_b)(w_{p,i}-w_{b,i})\\end{array}\\]而且，从这个式子可以看出，我们不单能得到组合整体的选股和配置收益率，我们还能得到具体是哪些行业配置得好，哪些行业选股选得好。交叉收益的处理方式在上面的分解中，交叉收益的出现极不直观。如果高配的行业同时表现好，低配行业表现差，将有比较高的交叉收益；如果相反，高配的行业表现不好，低配的行业表现好，交叉收益便会是负的。上面三个分解项中，这一项最让人困惑。一种解决办法是，根据配置思路，将交叉收益合并到选股收益或者配置收益中去。如果投资经理使用自下而上的配置方法，先选个股，再决定权重，那么交叉收益可合并到配置收益中去。这时候，配置收益为实际组合和选股组合的收益之差，含义为配置给选股组合所带来的超额收益。如果投资经理使用自上而下的配置方法，先配置行业权重，再挑个股，那么交叉收益和合并到选股收益中去。这时候，选股收益为实际组合和配置组合的收益之差，含义为个股的选择在当前配置基础上所带来的超额收益。通常来说，后面这种情况会比较多。多期Brinson模型上面只考虑了一期的情况，在这期间组合的各个行业的配置权重不变。而在实际投资中，由于投资经理的操作，外部现金流的流入流出，行业配置权重经常在改变。所以我们需要构建多期的Brinson模型。思路和单期Brinson模型一模一样。假设实际组合在这一期的收益率为\\(r_{t, p}\\)，各个行业的权重和收益率分别为\\(w_{t, p,i}\\)和\\(r_{t, p,i}\\)；同样时间内，账户基准的收益率为\\(r_{t, b}\\)，各个行业权重和收益率分别为\\(w_{t, 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选股收益这样整个公司谁的贡献大，谁的贡献小一清二楚。","state":"published","sourceUrl":"","pageCommentsCount":0,"canComment":false,"snapshotUrl":"","slug":,"publishedTime":"T21:11:09+08:00","url":"/p/","title":"Brinson绩效分解模型和应用","summary":"【数学公式显示不全，请参阅 <a href=\"http://zhiqiang.org/blog/finance/school/performance-attribution-brison-model.html\" class=\"\" data-editable=\"true\" data-title=\"Brinson绩效分解模型和应用 <Brinson绩效分解模型和应用 << 阅微堂】什么是绩效分解在中有一个例子，基金经理的表现挺好，但最后投资人的实际表现却相对较差。这意味着一项投资的最终表现依赖于多个影响因素，而绩效分解便是如何定量…","reviewingCommentsCount":0,"meta":{"previous":null,"next":null},"commentPermission":"anyone","commentsCount":1,"likesCount":45}},"annotationDetail":null,"commentsCount":6,"likesCount":155,"FULLINFO":true}},"User":{"zhiqiang.org":{"isFollowed":false,"name":"zhiqiang","headline":"博客： http://zhiqiang.org/blog/","avatarUrl":"/e9b2e6e82_s.jpg","isFollowing":false,"type":"people","slug":"zhiqiang.org","bio":"量化投资爱好者 zhiqiang.org","hash":"82d0de053aedabdd8c2c4a","uid":24,"isOrg":false,"description":"博客： 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