注：保留小数点后四位有效数字；15.12主要市场指数MMI的美式看跌期权，有效；目前的指数水平为484，无风险利率为年率10%，；48r0?,；0.??10,T?0.2q5?,；1T,?,；0.?03,；1?2t?/124170.；由此可计算二叉树的有关参数如下：；417；u?e?e0.?1.0524；11d???0.9502；?t.10?0.03)0.25
注：保留小数点后四位有效数字。
15.12主要市场指数MMI的美式看跌期权，有效期为两个月，执行价格为480。
目前的指数水平为484，无风险利率为年率10%，股票指数年红利收益率为3%，指数的波动率为年率25%。请将该有效期等分为四个时间段，每个时间段为期半个月。用树图方法对该期权定价。 解：已知：
0.??10,T?0.2q5?,
1?2t?/124170.
由此可计算二叉树的有关参数如下：
u?e?e0.?1.0524
11d???0.9502
?t.10?0.03)0.25
a?e(r?q)?e(0??1.0029
a?d1.2p???0.5160u?d1.21?p?0.4840
由图15.7知该期权价格约为14.93美元。
15.13某个股票的美式看涨期权，有效期为6个月，预计在第二个和第五个月的
月末将支付每股1美元的红利。该股价的市价为30美元，执行价格为34美元，无风险利率为年率10%，不支付红利的股价部分的波动率为年率30%。请将该有效期等分为6个时间段，每个时间段为期1个月。用树图方法对该期权定价。并且将这一结果将Black近似方法得到的结果（参见第11.12节）
相比较。用该树图估计该期权的Delta和Theta参数。 解： （1）已知：
S?30,X?34,r?0.10,??0.30,T?6/12?0.50,?t?T/6?0.0833,
??2/12?0.1667,??5/12?0.4167,D?D?1
由此可计算二叉树的有关参数如下：
u?e?e0.0?81.0904
11d???0.9171
a?er?t?e0.1?00.?31.0084
a?dp??0.5268
1?p?0.4732
期权有效期内红利的现值为：
D?De?r??De?r??e?0.10?0.1667?e?0.10?0.美元。
所以S*?S?D?30?1.94?28.06美元。根据以上条件，可以模拟S*的二图如图15.8，根据图15.8得出S的二图如图15.9。由图15.9，得出该
股票的美式看涨期权的价格约为0.91美元，并可估计Delta和Theta参数分别如下：
f11?f101.54?0.22
Su?Sd32.56?27.69f21?f000.42?0.91?????2.92
2?t2?0.0833??
（2）Black近似方法计算该股票的美式看涨期权的价格：
X(1?e?r(?X(1?e
)?34(1?e?0.10?0.25)?0.84?1)?34(1?e
?0.10?0.0833
故存在提前执行的可能。现比较在提前执行期权预提前执行期权的情
况下，该股票的美式看涨期权的价格的大小：
一、假设期权于最后除权日瞬时执行，此时：
S?30?e?0.10?0.
d2?d1????0.51?0.30??0.70
则由B―S公式有：
fBS1?SN(d1)?Xe?r?N(d2)?29.02?0.3050?34?e?0.10?0.1?0.96
二、假设不提前执行，此时有：
d2?d1???0.56?0.30??0.78
则由B―S公式有：
fBS?SN(d1)?Xe?rTNd(2?)280?60.2?.1?00?0.2?177美元1.?04f
故用Black近似方法计算该股票的美式看涨期权的价格为1.04美元。
15.14当使用树图方法时，如何用控制变量技术改进美式期权的Delta估计值？ 解：用控制变量技术改进美式期权的Delta估计值可以依以下步骤进行：
（1）根据正文中的式（15.8），使用通常的二叉树方法估计该美式期权的Delta
值，不妨记为Δ*A。
（2）使用和（1）相同的参数和相同的二叉树图计算对应的欧式期权的Delta
值，不妨记为Δ*E。
（3）使用第十四章计算Δ值的公式，计算欧式期权的真实Delta值，不妨记
由控制变量法的思想知，改进后该美式期权的Delta估计值为
Δ*A+ΔBS―Δ*E
15.15假设用蒙特卡罗模拟方法为某个不分红股票的欧式看涨期权定价，股价的
波动率是随机的。请解释当同时应用控制变量技术和对偶变量技术时，每次模拟计算为什么需要计算6个期权的价值。 解：（1）在本题中，由于股价及其波动率均为随机变量，故蒙特卡罗模拟需要来
自于标准正态分布的两个样本集：第一个样本集用来模拟及产生股价波动率的运动，第二个样本集是在股价波动率运动确定的条件下用来模拟及产生股价的运动。在第二次模拟中使用的控制变量技术假设股价波动率为常数，且使用与第一次模拟中相同的随机数流生成股价的运动，从而对期权价格估计值改进如下：
f1*?f2*?fBS
其中：f1为第一次模拟中算出的期权价值（此时股价波动率随机），f2
为第一次模拟中算出的期权价值（此时股价波动率为常数），fBS为用Black―Scholes期权定价公式中算出的期权价值（此时股价波动率为常
数）。由此可知，单独使用控制变量技术时，需要进行2次模拟。 （2）当使用对偶变量技术时，来自于标准正态分布的两个样本集必须用到每个
股价波动率和股价中去。记股价波动率样本集为?V1?和?V2?（V1与V2为对偶变量，即????,V1(?)??V2(?)），记股价样本集为?S1?和?S2?
（S1与S2为对偶变量，即????,S2(?)??S1(?)）, 由此可知，单独使用
对偶变量技术时，需要进行4次模拟。
（3）当同时使用控制变量技术和对偶变量技术时，可以进行以下，模拟：
模拟1：保持股价波动率为常数，使用样本?S1?。
模拟2：保持股价波动率为常数，使用样本?S2?
模拟3：使用样本?S1?和?V1?。
模拟4：使用样本?S1?和?V2?。
模拟5：使用样本?S2?和?V1?。
模拟6：使用样本?S2?和?V2?。
记fi为第i次模拟时算出的期权价格（i?1,2,3,4,5,6），则第3次和第4次
模拟得出期权价格的估计值为0.5(f3?f4)，当使用控制变量法并结合第一次模拟得出的估计值，得到改进后的期权价格估计值为：
0.5(f3?f4)?f1?fBS
同理，第2次、第5次和第6次模拟得出的期权价格的改进值为：
?)f2?fBS 1
综上所述，期权价格的的最佳估计值为：
3?(f4?f)1?BfS?1
0.f55?(f6?f)2?BSf
15.16请说明用有限差分方法为美式货币看涨期权定价时，式（15.25）和式
（15.28）的变动情况。
解：美式货币看涨期权的价格满足的随机微分方程为：
?f?f122?2f?(r?rf)S??S?rf
使用本章的记号可得上式对应的差分方程为：
fi?1,j?fij,fij?,?1fi?(r?rf)j?Sj?,
?,2f1ij?fi,j?
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《金融工程》主讲人：刘玉灿南京理工大学经济管理学院第十章B-S期权定价模型第十章期权定价第一节股价行为模型第二节Black—Scholes期权定价方法第三节期权价值的灵敏度分析第四节期权的平价定理及其性质第五节隐含波动率第一节股价行为模型一、标准布朗运动z的增量由一个标准正态分布随机变量和时间长度的平方根的乘积构成，即经过时间?t，z增加其中，ε～N(0,1)。则也称为维纳过程。二、证券价格变化过程股票价格遵循几何布朗运动：其中S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利计算的期望收益率（又称预期收益率），?表示证券收益率单位时间的标准差，即证券价格的波动率，dz遵循标准布朗运动。三、股票价格的对数正态性质假设股票的价格为S在较短的时间间隔?t,股票的回报服从正态分布: 这里μ是年期望收益率，?为收益率的年标准差。1、对数正态性质股票价格服从下列分布：因为ST的对数是正态的，所以ST服从对数正态分布。对数正态分布图2、连续复利回报x的分布期望回报股票价格的期望价值为S0eμT股票的期望回报是μ–?2/2，而不是μ这是因为是不一样的：μ和μ-?2/2假设有一个数月的日数据序列μ是以日计回报的算数均值。μ-?2/2是这一时间区间的期望回报。3、波动率波动率是一年连续复利回报的标准差。在时间?t的回报标准方差为。如果股票价格是10元，它的波动率为25%/年，那么它的日价格变化的方差为多少？四、从历史数据估计方差观察数：n+1股票价格序列：S0,S1,...,Sn以（多）年计时间间隔的长度：t计算每一间隔i的连续复利回报计算ui的标准差s；历史波动率?估计为：波动率的特点估计的标准误差约为：日数据：90-180天收盘价计算。如果给2年期期权定价，
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