谢邀。首先并不觉得美国学生的逻辑水平有文章里说的那么好。我去年TA本科生线性代数，有人学了一个学期的线性代数，死活不理解“如果f(x)=0，那么x=0”和“f(0)=0”这两种说法的区别在哪，要他证某个线性映射是单的，他也给你来一句 因为f(0)=0所以blabla。有些人则始终分不清楚diagonalizable matrices和invertible matrices的区别，这些基本概念的含义上课的时候已经反复强调过无数遍，不知道他们是不是记不住这两个单词，总是会弄混。美国是个跟中国一样大、多样性比中国更丰富的国家，不同地区、不同学校、不同阶层的教育水平都不一样。正如我们不能拿人大附中或者某个乡村中学来代表中国的中学教育水平一样，简单地推断：“美国的中学教育都是怎么怎么样” 也是毫无道理的事情。私立高中、有钱人读得起的中学自然教育质量更好，而公立中学的教育质量真心是没有保证的。而且不同州的教育情况都不一样。先不说数学，我听说在德州的公立中学的历史课内容里，美国建国史不是必讲内容，德州自己的历史才是必讲内容，所以德州的中学生都有可能不清楚美国是怎么建立的。这显然跟中国人眼里的教育观念差距很大——中国各个省份，不管什么科目，教学大纲的主要内容都是差不多的，课程标准和要求 也不会相差太大。而在美国，这种“统一的约束”并不强，好的学校可以教的很好，一般的中学，教得再烂都不奇怪。然后再谈谈两国优秀学生的发展和数学研究的差距问题。我注意到，美国真正想学数学的学生，拥有的资源其实是非常多的—— AMS会组织各种针对高中生、本科生的夏令营或者别的数学活动，中学生也有机会和一流的数学家面对面交流，一流数学家也愿意指导优秀且喜欢数学的高中生。我不知道为什么很多人讨论数学教育的时候会有意无意地忽略 学术资源硬实力差距 的问题。法国俄国能开得起各种数学预科、数学物理中学，是因为他们有这个本钱，他们有足够多的有热情的数学家去做这个事情，美国人搞各种数学夏令营也是因为他们有足够的学术资本。在中国想要复制这一套，首先你请谁来教？国内有足够多的数学家来开展这种数学普及活动么？而且我感觉国内的数学家对数学普及活动也没太多热情，都比较“矜持”，不愿意去和优秀的中学生接触。美国完全不是这样，美国的很多数学教授其实都很热情的，中学生去问他们问题，他不会说“这么蠢的问题你怎么也问的出来”，而是会照顾到对方的知识水平，尽可能把问题解释清楚。说实话，我觉得国内对数学有热情的学生数量是够多的了，然而对数学普及有热情的资质合格的老师不够多，也就是一个供不应求的状况。最后再补充一下：不管哪个国家，学不好数学、不喜欢数学的人肯定都是存在的，没必要拿这种事情去黑这个国家的数学水平不行。就算是被捧上天的法国、俄罗斯，照样有很多学生学不好数学，我还真就看过法国人吐槽数学多么难学，上班了终于不用学数学了多么开心。不要动不动就说“某某国的学生数学水平怎么怎么样”。前几天在quora上回答了一个问题，外国人提问“中国人的数学水平是不是都很好”，我直接在下面回复说，你们见到的中国学生大部分是留学生，本来就需要过五关斩六将通过重重选拔考试拿到好的GPA才能来你们国家留学，本来就属于学习能力相对比较强的学生。那些和你们一样在数学课上挣扎的普通学生，你们可是没怎么见过呢。。}

一、前言 看完本文，你将彻底理解下面这两个图：图 01.图 02.二、正文 一、函数在一点处连续的定义定义内容：沿着任意方向趋近于一个点的极限存在且相等定义说明：由于一元函数是平面曲线，只有“左”和“右”两个方向，因此，对一元函数而言，只要左极限等于右极限就是极限存在；但是，由于二元函数是一个空间曲面，有无数个方向，因此，二元函数一点处连续的几何意义就是无论从哪个方向趋近于这一点，极限都是存在且相等的；准确的说，一个函数 $f(x)$ 若要在点 $x_{0}$ 处连续，则必须同时满足以下三个条件：函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有定义；
函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限存在；
函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限等于该点处的函数值 $f(x_{0})$.
需要注意的是，“连续”只能说明函数对应的平面图象（一元函数）或空间图像（二元函数）是“致密”的，但并不一定是“光滑”的（光滑就意味着可导）。二、微分的几何意义无论是几元函数，微分的本质来源都是“以曲代直”，因此，对一元函数（平面曲线）而言，微分就是尝试用很多非常“短”的直线代替曲线——当这些直线短到一定程度时，就变成了（可以看作）曲线的一个切线。同样的，对二元函数（空间曲面）而言，微分就是尝试用很多非常小的平面代替曲面，当这些平面小到一定程度时，就变成了（可以看作）曲面的一个切平面。此外，为了和偏导数相区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数——简单的说，可微（可微分）就是全微分存在。三、导数与偏导数一元函数和二元函数都有微分的概念，但是，“导数”只是一元函数独有的概念，二元或者更高元的函数是没有“导数”这一概念的——二元及以上的函数只有“偏导数”的概念。这是因为，导数反应的是切线的变化率，而一元函数由于是位于平面中的，其切线的变化率只能相对于 $X$ 轴正方向发生，因此，一元函数在一点处只有“左导数”和“右导数”这两种导数。但是，二元函数是位于空间中的，其在一点处可能向整个空间中的无数个方向有无数条切线。因此，对于二元函数 $f$，我们通常只研究其平行于 $X$ 轴方向上的偏导数 $f^{\prime}_{x}$ 和平行于 $Y$ 轴方向上的偏导数 $f^{\prime}_{y}$四、为什么连续不一定可微对一元函数来说，“连续”就意味着曲线上没有间断点，对二元函数来说，“连续”就意味着曲面上没有“洞”。同时，我们也知道，要想在平面中唯一的确定一条直线，至少需要两个点（即“两点确定一条直线”）。进而，我们也知道，要想在空间中确定一个平面，至少需要两条直线（“即两线确定一个面”）。但是，对于一元函数而言，如果我们只有一个“尖锐的点”，是没办法找到关于这个点的一个切线的，因为一个点无法确定一条线，这也就是为什么 $y=|x|$ 在 $x = 0$ 这各点处不可微，同时也不可导（在一元函数中，可微必可导，可导必可微，可微与可导等价）。同样的，在二元函数中，如果我们只有一条“锋利的线”，也是没办法找到关于这条线上的某点的切平面的，因为一条线无法确定一个面，这也就是为什么所有位于 $z =
x
+
y|$ 的函数图像四条“锋利的棱”上的点都是不可微的（如下图）。图 03. 该函数图像由 Gnuplot 生成。相关代码见下方的 [附录 01].附录 01（点击可以展开）生成 图 03 的 Gunplot 软件版本为：Version 5.4 patchlevel 8.
代码如下（将下面的代码保存为以 .gp 或 .plt 为扩展名的文件，即可在 Gnuplot 中运行）：
set term wxt size 800,600
# 设置绘图窗口尺寸
set xlabel "{/:Bold=15 x}" textcolor rgb "orange"
# 设置x轴标签
set ylabel "{/:Bold=15 y}" textcolor rgb "orange"
# 设置y轴标签
set zlabel "{/:Bold=15 z}" textcolor rgb "orange"
# 设置z轴标签
set view 60, 30
# 设置视角
set hidden3d
# 启用3D隐藏线算法
set style line 1 lc rgb "green" lw 2
# 设置函数图象线条样式
set border lc rgb "orange" lw 2
# 设置边框样式
set tics textcolor rgb "orange"
# 设置刻度线标签颜色
set key off
# 关闭图例
set style fill transparent solid 0.5
# 设置背景透明度
# 定义函数
f(x, y) = abs(x) + abs(y)
# 绘制图形
splot [-5:5] [-5:5] f(x, y) with lines ls 1
需要注意的是，上面的代码在 Windows 11 下运行后，导出的 SVG 格式文件并不是透明的，还需要将该 SVG 格式文件中的 fill="rgb(100%, 100%, 100%)" 修改为 fill="none" 才能使背景变为透明。
由于二元函数是没有“导数”这一概念的，二元函数只有比“导数”这一概念更弱一些的“偏导”概念——偏导“包含在”导数内。但是，假设我们认为二元函数也有导数这一概念，那么，二元函数的可微就意味着可导，也就是意味着可偏导，但由于“偏导”更弱一些，因此，可偏导不一定可导，也就不一定可微——换句话说，二元函数的可微意味着一定存在切平面，而存在切平面就一定存在各个方向上的切线，因此，也一定存在平行于 $X$ 轴和 $Y$ 轴的切线，即可偏导。总的来说，在一元函数中，只有光滑的弧形和直线才可微，在二元函数中，只有光滑的曲面和平面才可微——凡是尖锐的点和锋利的棱都是不可微的。五、为什么偏导数存在且连续就可微，但反过来却不成立？
Tips:
通过下面的分析大家将发现，对于二元函数而言，证明偏导数不连续，进而得出不可微的结论是很容易的，但如果要直接证明偏导数连续，进而得出可微的结论是不可能的，但好在我们有公式可以用于证明可微：《证明二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处是否可微》
首先，我们来想一个问题：为什么在一元函数中可导和可微是等价的？仔细想一想可以发现，在一元函数中，一个点只有左右两个导数，只要这两个导数相等，我们就说函数在该点处可导——此时的可导就证明了曲线在该点处是光滑的，因此也就是可微的。但是，在二元函数中，一个点处并不是只有两个导数（准确的说是“偏导数”），而是存在无数个（偏）导数——也就是说，如果这无数个（偏）导数都存在，我们就可以说函数在该点处是可微的。
Tips:
在实际做题时，我们当然没办法直接证明无数个偏导数都存在，但是，我们可以使用放缩的方式证明偏导数在一点处的连续性，相关内容可以参阅这篇文章：《二元函数偏导数的连续性可以被直接证明吗？当然可以！》
但是，一般情况下，我们所说的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 指的都是分别平行于 $X$ 轴和 $Y$ 轴的偏导数，即是说，点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数就可以表示为：$$\lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0} \\ y \rightarrow y_{0}}} \frac{\partial z}{\partial y}$$但是，以上述这两个偏导数为“基准”，我们还可以把点 $(x_{0}, y_{0})$ 位于曲面 $z(x, y)$ 其他方向上的偏导数也写出来（这样的偏导数有无数个），例如，沿 $y=x$ 方向上的偏导数在 $(x_{0}, y_{0})$ 点的极限表达式为：$$\lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{+} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{-} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial x} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{+} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial y} \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow x_{0}^{-} \\ y=x}} \frac{\partial z}{\partial y}$$因此，假如这无数个偏导数都存在，也就等价于偏导数连续（来自各个方向上的极限都相等），那么就能说明可微，但仅仅说 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 这有限个偏导数存在，并不能推出可微。换个思考角度就是，一点处的偏导数存在且连续，就意味着该点任意方向都是光滑的（可导等价于“光滑”），但由可微为什么推不出偏导数连续呢？因为，一旦一点处可微了，则该点处的切平面也就唯一确定了，那么，除了这个切平面之外的其他地方是可以有“锋利的折痕”的，也就其他地方的偏导数可以不连续，因此，由一点处可微就不能推导出该点处的偏导数处处连续。图 01.图 02.高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。让考场上没有难做的数学题！
作者
荒原之梦发布于 2023年8月22日2023年8月24日分类 考研数学、高等数学标签 考研数学二、高等数学基础
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