1、如何理解小波2/20050010001500200025003000350040004500-1-0.500.511.50200040006000800010000120001400016000-1-0.500.511.56/207/208/20 出版社出版社: :电子工业出版社 出版日期出版日期: :2003年1月1日 作者作者: :飞思科技产品研发中心 ISBN:ISBN:7505381* 定价定价: :26元 该书是作者总结多年研究小波分析的心得，以MATLAB 6.5中的小波分析工具箱（wavelet toolbox）2.2版为基础，在简要介绍小波分析的基础理论之后，重点说明了小波分析2、工具箱的详细使用方法，并以信号和图像处理领域为例展示了如何应用小波分析工具箱来解决工程中的实际问题，以达到使读者快速入门小波分析的目的。9/20空间空间空间的直观理解就是一种集合，其元素可能是函数、矢量等，而元素之间存在一定的关系或性质。函数空间函数空间所谓函数空间，就是由函数构成的集合，并在集合上赋予了一定的代数结构。,( ) ( )*nRZRCZRnx yx t y tdt表示整数集合表示实数集合表示复数集合表示正整数集合表示 为欧氏空间内积距离空间距离空间为距离的距离空间。为以之间的距离，和为则称有三角不等式：对称性：时，当且仅当非负性：而且满足都对应一个实数是任一集合，设),(),()3、,(),(),(,. 3),(),(. 2. 0),(0),(. 1),(,yxXyxyxyzzxyxXzyxxyyxyxyxyxyxXyxX10/20函数空间来定义其长度。量，用范数对于线性空间的任一向结合律及分配律。并且满足加法或数乘的运算），素的加法和元素的数乘中定义了线性运算（元是任一非空集合，在设xXX线性空间线性空间赋范线性空间赋范线性空间xyyxyxyxXyxxxRxxxxXxX),(,. 3,. 200, 0. 1,距离定义为时，当且仅当与之对应，满足存在非负实数为一线性空间，设Banach空间空间空间。为完备的线性赋范空间称中，该空间为完备的。都在都有极限，并且此极限中的任一4、序列设空间BanachXxXZiiHilbert空间空间, ,1.,*2.,3.,0,0,0.,( , ),XXXCx y zXx yy xCxy zx zy zx xxx xXXxx xx yxy xyHilbert 设 为复数域上的线性空间，从到 中定义了函数，满足当且仅当时称为 中的内积， 称为内积空间。范数，距离完备的内积空间称为空间11/20基底张成张成spankkkkkkkkkkkteatgXtgespanXteXZkRatteaXteXte)()(,)()(,);()()(有即张成的线性空间：为由序列称成的集合，即所有可能的线性组合构表示为为一个函数序列，设基底基底为空间的基底是5、唯一的，称式系数是线性无关的，使得上如果Zkkkkteate)()(正交正交(直交直交)yxyxyxXyx正交，记作与称中的两个元素，若为内积空间, 0,标准正交基（规范正交基）标准正交基（规范正交基）中的标准正交系为空间，则称满足：内积空间中元素列Xenmnmeeennmn10,双正交基双正交基 ( ),( )()nlkee t e tlk基底不一定满足正交关系，但是满足正交性体现在展开基和对偶基之间。12/20框架框架：框架：frame紧框架：紧框架：compact frameZjjjZjjZjjZjjZjjfAffAfBABAtfBffABAHfHtHilbertH,)(,0,)(1226、222由此式可推得称此框架为紧框架，则如果分别框架的上、下界。为一个框架，称称使得下述不等式成立：中的一个函数序列，为空间，为一个VvvvvvvveVCvvVeeeCHjj232321232123,),()21,23(),21,23(),1 , 0(,2221221221223122213212有即二维向量空间，取若A=B=1，则此紧框架就退化为规范正交基举例举例13/20常用的函数空间1221/212221.( ,).,( , )() 2. , , ( ): ( ) , ( , )max( )( ) , ; , , 3.( )()( ) ( ):( )nnnniiinRnxx xxx yRx7、 yxyC a bC a bx tx ta bx yx ty tta b x yC a bL RL Rx tx t维欧氏空间维向量的全体所组成的集合定义距离连续函数空间是上的连续函数定义距离平方可积函数空间能量有限空间21/222221212 1/221( , )( )( ),( )4.( ,):( , )() ,RRniiiiidtx yx ty tdtx yL Rllxx xxxx yxyx yl 定义距离平方可和离散序列空间定义距离14/20 傅里叶变换的基本思想是将信号分解成一系列不同频率的连续正弦波的叠加，或者从另外一个角度来说是将信号从时间域转换到频率域。0cos)(kkktAtf8、15/20从泛函的角度看傅里叶变换：dtetfetfFtjtj)(),()(待处理的信号待处理的信号16/20傅里叶变换严重的不足 傅里叶变换时丢掉了时间信息，无法根据傅里叶变换的结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。也就是说，傅里叶变换只是一种纯频域的分析方法，它在频域里的定位是完全准确的（即频域分辨率最高），而在时域无任何定位性（或无分辨能力）17/2022( )( ),( )( )( )(),RtL RCdtMother Wavelet 设，其傅里叶变换满足容许条件称为一个基本小波或者母小波也称为小波母函数小波母函数的性质：( )10lim( )0 、带通性质当时，必须有意义，于是有9、02( )|0( )0( )0j tRRt edtt dt 、零均值和波动性18/20,22,RR,( )1( )()( ,0)( )1E=( )( )( )( )a ba ba ba bttbta bR aaataatdttdttt 将小波母函数经过伸缩和平移后，就可以得到小波序列：通常，称为小波基函数， 称为尺度因子或伸缩因子，b称为平移因子。系数的作用是使伸缩后的函数能量保持不变，即：写成更简洁泛函形式： 19/20222( )(1)tMarrtte公式：20/202*,2( )( )1( , ),( )()CWT11( )( , ) ()fa bRfRRf tL Rt bW a bff10、 tdtaat bf tW a bdadbCaa有了小波基函数，就可以定义连续小波变换：任意的函数的函数内积为定义为函数的连续小波变换，简称(Contiuous Wavelet Transform)如果小波正变换满足容许条件，则逆变换存在：逆变换公式：21/2022/2022( )( )1 ( )(2)RjjtCdt dtAB 构建小波基函数的条件：.满足允许条件：2.满足绝对可和：3.稳定性条件：23/20*,( , )( ),( )( )( )a ba bF j kf ttf tt dtdtetfetfFtjtj)(),()(：24/20,1.( )( )-0,-02.sin()3. j ta bf teWf taat傅立叶变换是把能量有限的信号分解到以为正交基的空间；小波变换的实质是把该信号分解到所构成的空间上去。 意味着从一维时域投影分解成二维尺度 位移平面的信号，由于因此二维小波函数的选用是小尺度 位移平面是的半平面。傅立叶变换用到波分析应用中的一个难的基本函数只有；小波函数具有不唯一性；在频域中，傅立叶变换具有较好点。的局部化能 力，特别是对于频率成分简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示为各}