对偶概念的一切一切的本质是对偶范畴.在同一个范畴里，对象之间通过态射相联系. 而在不同的范畴之间，则通过函子联系：函子把一个范畴里的对象映到另一个范畴里的对象，同时把对象间的态射映到相应对象间的态射. 这性质简直逆天. 我先给出共变函子和反变函子的定义：定义1：设 \mathcal{C} 和 \mathcal{D} 是两个范畴. 从 \mathcal{C} 到 \mathcal{D} 的共变函子(covariant functor) F:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D} 满足两个性质(1)它把 \mathcal{C} 中的对象 A 映为 \mathcal{D} 中的对象 F(A) (2)它把态射 f\in \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(A,B) 映为态射 F(f)\in \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(F(A),F(B)) , 这些映射要满足下列条件:(I) 对于 \mathcal{C} 中的对象 A 都成立 F(1_A)=1_{F(A)} ；(II) F(gf)=F(g)F(f) 对于 \mathcal{C} 中所有使 gf 有意义的态射 f 和 g .定义2：设 \mathcal{C} 和 \mathcal{D} 是两个范畴. 从 \mathcal{C} 到 \mathcal{D} 的反变函子(contravariant functor) G:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D} 满足两个性质(1)它把 \mathcal{C} 中的对象 A 映为 \mathcal{D} 中的对象 G(A) (2)它把态射 f\in \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(A,B) 映为态射 G(f)\in \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(G(A),G(B)) , 这些映射要满足下列条件:(I) 对于 \mathcal{C} 中的对象 A 都成立 G(1_A)=1_{G(A)} ；(II) G(gf)=G(g)G(f) 对于 \mathcal{C} 中所有使 gf 有意义的态射 f 和 g .反变函子就是把共变函子的箭头换个方向.基于这样的想法和以上的概念，对于给定一个范畴 \mathcal{C} , 我们会这样给出对偶范畴(dual category) \mathcal{C}^{op} : 使得 \mathrm{ob}(\mathcal{C}^{op})=\mathrm{ob}(\mathcal{C}) , 且 \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(B,A)=\mathrm{hom}_{\mathcal{C}^{op}}(A,B) .从这个定义就可以看出 \mathcal{C}^{op} 中的共变函子就是 \mathcal{C} 中的反变函子.举个例子：考虑范畴 \mathcal{C} 是域上的有限维向量空间, 态射是向量空间之间的同构映射. 如果 f:V\rightarrow U 是 \mathcal{C} 里的态射, 那么就有它的对偶映射 \bar{f}:U^*\rightarrow V^* 也是 \mathcal{C} 里的态射, 且有 [\bar{f}(u^*)](v)=u^*[f(v)] . 如果定义 G:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C},G(V)=V^{**} , 实际上是一种同构.从范畴角度来讲为什么会经常出现一些对偶的概念, 因为当我们看到 f:A\rightarrow B 这样的关系时总希望箭头反过来也能成立, 由此对偶的概念必然会产生的.有种大炮轰蚊子的感觉。。。。}