我写文章时，倒是不常出现 @孙启航 这种符号不够用的时候，一个原因是我非常喜欢用下标，或者很多下标，我也不介意。但是同样，我也会经常陷入符号上的纠结中。主要原因是数学的各个分支经常使用同一个符号代表完全不同的事。用我最近的一篇文章举例。一般习惯上，群上的左Haar测度计作 \mu 。但是有时候我还要同时用Mobius函数 \mu 。纠结很久之后决定Mobius函数还是 \mu ，左测度改用 \lambda ，彳亍吧。然后，要考虑和集， A+A ，这里 A 是一个集合。这个没问题。但是有时需要考虑 k 个集合相加，就是 A+\dots+A ，有 k 个。一般习惯计作 k A 。而且，我同时还要用集合dilation，就是集合 A 的每个元素都左乘 k ，这玩意一般也记做 kA 。经过思虑，决定 k 个和集还是遵循传统，使用 kA ；但是dilation记作 k\!\cdot\! A 。突然我发现，我还要用群 \mathbb{Z}/k\mathbb{Z} ，但是按照我刚才的记号应该写成 \mathbb{Z}/k\!\cdot\!\mathbb{Z} ，什么鬼。想了一下，决定把这个群记作 \mathbb{Z}/k ，也还行。过了一会儿，文章讨论到了一般的情况，需要在一般群上讨论“和集”。由于一般的群运算是乘法，也就是考虑集合 AA 。好。我发现我需要讨论 k 个集合 A 的乘积集，就是 AA\cdots A 有 k 个。按照惯例我用 A^k 来表示。我突然发现我还要用 A 的 k 维笛卡尔积，一般也写作 A^k 。又思考了很久，决定乘积集还继续使用 A^k ，笛卡尔积改为 A^{[k]} 。我还说服了自己：如果把 [k] 理解成从 1 到 k 的整数集合（这个也是常用记号），那么集合论的角度， A^{[k]} 代表所有从 [k] 到 A 的函数的集合；这个集合刚好与笛卡尔积有一一对应关系，于是我的这个记号并没有和集合论的记号矛盾。动手开始改，把所有笛卡尔积符号改了。改着改着发现，我把 L^p 空间改成了 L^{[p]} 空间。。想了一下，这篇文章咱们就用 L_p 空间好了，别在上标上给我找事。等等。。但是 \mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n 怎么改，难道也要改成 \mathbb{R}^{[n]} ？读者会怀疑人生的。最后思考很久，决定所有的笛卡尔积还是改成
A^{[k]} 这种形式，但是 \mathbb{R}^n 这种留着不改了，读者应该发现不了，应该也不会有人说：“诶按照符号定义 \mathbb{R}^n 是 n 个 \mathbb{R} 乘在一起因此还是 \mathbb{R} ”这种话吧。。至于为什么不用 A^{(k)} ，我把这个符号用作了 k 个 A 的特征函数做卷积，也是一个常用记号。All Good。继续。写到了函数卷积 f*f ，这个还是很常用的，比如函数的energy一般定义为 \mathbb{E}(f*f)^2 。于是 k 个函数的卷积，我按照常规计作 f^{(k)} 。于是接下来需要求 k 阶导数了。。好吧， \frac{\mathrm{d}^k f}{\mathrm{d}x^k} ，还有救。总之花了很大的精力在思考，到底用什么符号，既能让读者很快看懂，还可以不和之前的常规记号矛盾…“Differential Geometry is the study of invariants under change of notations.”微分几何的记号确实多得令人挠头。比如：黎曼曲率张量的定义可以差一个负号，但不论怎么取，总要保证球面的截面曲率和Ricci曲率是正的（要不然没法讨论了，鸡同鸭讲）于是又有了1，3缩并和2，4缩并（啊差点忘了还有1，4缩并....）局部坐标下的协变导数分量记号（\nabla_k T_ij 和 T_ij；k 是两种常见的，还有更奇葩的....）协变导数的记号，\nabla_i还是\partial_i？我个人用前者，因为后者容易理解成对分量函数的偏导。对一个高阶的tensor取trace的时候，到底哪两个指标缩并，没有好的记号表示；很多时候写成Tr（T）....（0，2）型张量 vs （2，0）型张量，到底哪个是g_ij哪个是g^ij？两种用法都很常见。仍然是张量（场）：举例（2，0）型张量（场），很多时候我们要把这玩意看成几种不同的东西（TM tensor TM，或者T*M tensor TM，或者T*M tensor T*M）对应指标的升降。在使用invariant notation（没有指标）的时候不太好区分，得讲清楚是从哪到哪的map.局部坐标法和正交标架法日常打架：scalar curvature在后者表示下是Rii （对i求和），前者不是；前者lie bracket vanish而后者inner product vanish....对应的记号还都喜欢ijk下标（e_i 指的是正交标架还是\partial_i？），得讲清楚用的是哪一种。很多人在这个命题里用一种，下一个命题又换一种....dxdy到底是dx tensor dy，是dx wedge dy，还是dx symmetry product with dy？？我习惯前者，do carmo的书是后者，gtm 82 bott Tu是中间....当你同时看几本教材，每本书的记号都不一样但又高度相似的时候，心态可能要炸裂了。所以我特别 特别喜欢那些在introduction结束后专门开一节讲notations的paper/prof，太可爱了，好人一生平安～现在我自己写东西也继承这个习惯了orz刚开学暂时比较清闲，再吐槽点别的：何止是符号，很多时候数学书的语言也”语焉不详“。比如我一度非常厌恶induce这个词：一个map phi： A \to B induce了另一个map phi*：A* \to B* （这里A和B加星号表示由A和B“诱导（induce）”的结构，比如切丛、余切丛、chain complex、商空间。。。）关键是讲半天也不告诉我到底是如何induce的，别问，问就是只有一种合理的induce（那也得明确讲清楚啊喂！！）对老鸟自然无所谓，对初学者真是要我狗命了。。。。更新：关于Laplacian的特征值的符号。首先，我们熟悉的Laplacian有两种常见的定义：(以二维欧氏空间为例) \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2} ，或者带一个负号。不带负号的称为Geometer's laplacian（我是学几何的，自然我使用这种）；带负号的称之为Analyst's Laplacian。 我能想出来的加负号的原因，大约就是分部积分的时候方便一点： \int f\Delta f= -\int
\nabla f|^2,\forall f\in C_c^{\infty}(M). 如果Laplace本身带负号，公式中的负号就不见了。做方程的人可能用这个公式比较多，的确带负号会方便些。接下来考虑Laplace的特征值问题。常规的想法，仿照线性代数的例子，特征值方程应该是 \Delta u = \lambda u. 此时如果Laplace不带负号，你会发现特征值是负数，which 数学家们不喜欢（但是物理学家好像不介意）。于是几何学家的Laplace特征值方程就是 \Delta u =- \lambda u. 而分析学家的Laplace特征值方程仍然是第一个方程，方程右侧不带负号。不论何种选择，数学家们的特征值总是正的。下面精彩的来了：我参加了一个分析和几何交叉的会议，每一位speaker在报告中提到Laplace特征值问题的时候都会强调（五花八门的）符号习惯。甚至有一位的方程是这么写的： \pm\Delta u = \lambda u. 符号选取全凭信仰；而结论是关于
\lambda
的！！这下大家都笑开了花。。。。}