特征向量定义为使的向量 一般来说，二阶矩阵有2个特征向量。根据矩阵乘法的右分配律，我们有如果
分别是矩阵两个方向上的特征向量，且
分别是
对应的特征值，则矩阵对向量的乘法就相当于：
一般情况下，我们并不需要这种分解方法，但是如果我们需要求矩阵的幂，那么我们就可以把上式变为：这便是特征向量分析法的意义——快速求矩阵的幂。动画演示（脑补）：斜方向向量分解为水平和垂直方向的向量，对2个方向的向量分别放大缩小，然后再加起来得到斜方向的向量经过矩阵变换后得到的幂。做动画还是交给@马同学 吧。我只能用文字描述。来看一下斐波那契数列的矩阵表示法。我们对左边的矩阵进行分析。首先如果
是矩阵
的特征向量，那么
也是矩阵
的特征向量，这意味着特征向量相对于矩阵来说是齐次的，看上去有二维，实际上只有一维。为了没有奇点，我们设特征向量为
其中 现在我们用左边的矩阵
乘以
要求
和
共线，也就是要求它们组成的行列式为0，也就是
根据行列式的定义化简：解得 由于特征向量对于矩阵来说是齐次的，我们不必解下去，直接令kcosθ=1，即可得到两个方向上的各一个特征向量。我们求a,b，而代进去，得到也即现在我们令 这需要解二元一次方程组，也可以用矩阵来表示。解得这时我们可以重新调整一开始的特征向量。于是，我们最后得到了斐波那契数列通项公式的矩阵形式：我们只考虑
，可得：
把n+1替换为n，即得：于是我们用矩阵法求出了斐波那契数列的通项公式。以上是计算矩阵的幂乘以向量的结果，我们可以先用分配律把向量拆成2个方向上的特征向量的和，再分别求幂后加起来，那么，如果矩阵单独存在，那我们又该怎么办呢？很简单，乘以一个未定向量
，然后将这个未定向量拆成2个方向上的特征向量，然后表示为
的形式。此刻，右边的向量应该是
的形式，其中
是关于
的二元线性函数。
接着我们便可以得出右边的向量是 此时我们再通过
的二元线性函数的系数，就能反推出
的形式了！
举个例子：首先乘以不定向量 我们来解特征向量即可得出2个方向上的特征向量：再代回去，求特征值。求好了特征值和特征向量，我们再把
拆成2个方向上的特征向量。
由于是特殊的
两条直线，我们很容易猜到2个方向上的特征向量是
不过其他情况下，我们可能就要列方程分解向量了。于是我们终于可以写总的计算过程了。于是我们便得到了注意：1.2个方向上的特征向量和2个特征向量是有区别的，前者无歧义地指线性无关的2个特征向量，后者包含了2个特征向量共线的情况。2.这种算法要求向量可以拆成矩阵的2个方向上的特征向量的和，如果矩阵的特征向量共线，张成的空间是一维的（秩为1），甚至只是个点（秩为0），就无法用这种算法求幂了。比如下面这个矩阵试图求特征向量时，会得到因此得出矩阵的特征向量是两条重合直线 于是，对于一般的向量，我们便不能将其拆成2个方向上的特征向量之和，因此也就无法用这种算法求幂了。不过特征向量的秩为1和列向量的秩为1是2个概念。对于下列矩阵很显然你可以看出它的行列式为0，秩为1。但是它的特征向量的行列式不为0，秩为2。所以如果特征向量的秩为1，就不能用这种方法了。我们把列向量张成的空间的维度称为列秩，那么特征向量张成的空间就称为特征秩吧。列秩不满是可以用这种方法求幂的，但是特征秩不满就不能用这种方法求幂了。这种特征向量分析法，不仅适用于二阶矩阵，应该还适用于三阶和以上的矩阵。通过分析特征向量，我们便可以求出矩阵的幂的通式。而从此，我们打开了新世界。
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