1.定积分的定义：分割，近似，求和，取极限。极限与定积分的转换。I=\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{n \rightarrow ∞}{\sum_{i=1}^{n}{f(\frac{i}{n})}}*\frac{1}{n} 一般的：积分区间[a,b]上的通式为 \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n}
\sum_{i=1}^{n}{ f(a+\frac{b-a}{n}i) }\\ \int_{a}^{b}f(x)dx =\lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n}
\sum_{i=1}^{n}{ f(a+\frac{b-a}{n}(i-1)) }
注意：选取高时可以任意选择，只要保证每个区间选的位置一样均可，比如还可以选每个区间的中点2.可积一定有界（可用积分实质--面积理解）；连续一定可积，可积不一定连续（有限个第一类间断点）。可导，可微，连续，极限存在的关系：3.性质（1） \int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx 。（2）线性性质，区间可加性，保号性，保序性，绝对值不等式略。（3）估值定理：设f(x)在[a,b]上的最大值，最小值分别为M，m，则m(b-a)≤\int_{a}^{b}f(x)dx≤M(b-a) 。证： m≤f(x)≤M ，同时积分即得。（4）积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积且不变号，则至少存在一点 \xi∈[a,b] ，使得 \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx ，特殊情况即g(x)=1，则 \int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a) 。证：利用估值定理以及介值定理。注意：可以 \xi\in (a,b) 略证： \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\begin{equation}
\overset{Lagrange}{=}
\end{equation}F^,(\xi)(b-a) 中值定理可以从几何上理解为曲边梯形 \int_{a}^{b}f(x)dx
的面积等于以[a,b]为底， f(\xi) 为高，所以 \frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{b-a} 称为f(x)在[a,b]上的平均值。4.变限积分：g(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx（1）g(x)为f(x)的原函数且 g^{,}(x)=f(x) ，当变限积分的上下限都有关于x，则进行求导时分别也要对上下限求导。（2）若f(x)为奇（偶）函数，则 \int_{a}^{x}f(x)dx 为偶（奇）函数。（3）需要注意的有几点：①当变量与积分变量t无关时，可以提到积分号前（此处需要注意的就是关于t求导时，是个复合函数求导）。②当被积函数是复合函数，其内不是单纯的被积变量，则需要换元再进行求导，即被积函数不能含有积分上下限的变量。（4）结论：若f(x)在R上连续且有周期T，则 {\color{red}{\lim_{x \rightarrow ∞}{\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=}\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt}} ，代表连续周期函数在整个实轴上的平均值等于一个周期内的平均值。与此类似的题：求极限 I={\lim_{x \rightarrow ∞}{\frac{1}{x^2}\int_{0}^{x}t|sint|dt}} 解：
{\lim_{x \rightarrow ∞}{\frac{\int_{0}^{ n \pi}t|sint|dt}{((n+1)\pi)^2}}}\le I\le
{\lim_{x \rightarrow ∞}{\frac{\int_{0}^{(n+1)\pi}t|sint|dt}{(n\pi)^2}}} 区间再现即得 \frac{1}{\pi} 或者利用下方6.(5)②5.定积分的换元法：注意换元要换限即可。6.定积分的计算（1）对称奇偶性：若f(x)关于a为偶函数，即f(2a-x)=f(x)或f(a-x)=f(a+x)，亦即f(x)的图形关于x=a对称，则 \int_{a-b}^{a+b}f(x)dx=2\int_{a}^{a+b}f(x)dx=2\int_{a-b}^{a}f(x)dx ，特别的a=0，\int_{-b}^{b}f(x)dx=2\int_{0}^{b}f(x)dx ，f(x)为偶函数；若f(x)关于a为奇函数，即f(2a-x)=-f(x)或f(a-x)=-f(a+x)亦即f(x)的图形关于(a,0)对称，则 \int_{a-b}^{a+b}f(x)dx=0 ，特别的a=0， \int_{-b}^{b}f(x)dx=0 ，f(x)为奇函数。（2）周期函数：设f(x)是周期为T的连续函数，则①对任意的常数a，有 \int_{a}^{a+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx②对任意的正整数n，有 \int_{a}^{a+nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx③ \int_{0}^{x}f(t)dt 以T为周期 \Leftrightarrow\int_{0}^{T}f(t)dt=0 注意： \int_{x}^{x+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx 也是成立的。证：①记 g(a)=\int_{a}^{a+T}f(x)dx ，则 g^{,}(a)=f(a+T)-f(a)=0 ，故g(a)为常数，所以g(a)=g(0)，即证；② \int_{a}^{a+nT}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx+\int_{a+T}^{a+2T}f(x)dx……\int_{a+(n-1)T}^{a+nT}f(x)dx 利用①即证。（3）关于三角函数的一些结论① I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2} ，n为正偶数；I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!} ，n为正奇数。其中n!!表示双阶乘，表示不超过n的同奇偶的正整数相乘。比如5!!=5*3*1=15以上公式的递推关系为 I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2} 证：注意：上图有一处错误，你能发现吗？勘误见评论。②4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{n}xdx=\int_{0}^{2\pi}sin^{n}xdx=\int_{0}^{2\pi}cos^{n}xdx，n为正偶数。证：sinx关于 x=\frac{\pi}{2} 对称，利用周期性及对称性即证。注意：当n为正奇数时， \int_{0}^{2\pi}sin^{n}xdx=\int_{0}^{2\pi}cos^{n}xdx=0 另 \int_{0}^{ \pi}sin^{n}xdx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx , \int_{0}^{ \pi}cos^{n}xdx= \left\{\begin{matrix}
0,&n\in 2m+1\\2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{n}xdx&n\in 2m
\end{matrix}\right. 证明：画图即证。③\int_{\frac{\pi}{2}a}^{\frac{\pi}{2}b}sin^{2}nxdx=\int_{\frac{\pi}{2}a}^{\frac{\pi}{2}b}cos^{2}nxdx=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}b-\frac{\pi}{2}a) ，其中a，b，n为任意的整数，此类积分值都等于积分区间长度的一半。证：利用二倍角公式即证。④三角函数系的正交性：函数集合F={1，cosx，sinx，cos2x，sin2x……cosnx，sinnx……}称为三角函数系，任取F中两个不同的函数，他们的乘积在 [0,2\pi] 上的积分值为零。如 \int_{0}^{2\pi}sin2xcos3xdx=0 ，由于三角函数的周期性，所以对任意区间长度为 2\pi 的积分均成立。证：利用积化和差即证。*⑤ I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{m}xcos^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^nxcos^{m}xdx I=\left\{\begin{matrix}
\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!} \times \frac{\pi}{2} ,&m,n全为偶数\\\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!},&m,n至少一者为奇数
\end{matrix}\right. （4）区间再现：当碰到不易积分的函数或者三角函数与x的积时，可以利用换元（一般是上限加下限减去变量），最终转换为好求的积分以及n倍的原始定积分，n为正整数；即 \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx 碰到x与三角函数的积分就用区间再现。（5）结论：①\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta=\pi 注意到 (b-x)+(x-a)=b-a 故令
\left\{\begin{matrix}
b-x=(b-a)cos^2t\\ x-a=(b-a)sin^2t
\end{matrix}\right. 即得。②设f(x)为连续的偶函数，且以T为周期，则 \int_{0}^{nT}xf(x)dx=\frac{n^{2}T}{2}\int_{0}^{T}f(x)dx 证：区间再现常见为 \int_{0}^{2\pi}xf(cosx)dx=\pi\int_{0}^{2\pi}f(cosx)dx ③ \int_{0}^{\pi}f(sinx)dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx ， \int_{0}^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{ {\pi}{ }}f(sinx)dx ， \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sinx)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(cosx)dx 7.反常积分： \int_{a}^{∞}f(x)dx=\lim_{b \rightarrow ∞}{}\int_{a}^{b}f(x)dx （1） \int_{a}^{∞}\frac{1}{x^{p}}dx
收敛当且仅当p＞1，收敛于 \frac{1}{p-1} 。（2）线性性质；大敛小也敛，小散大也散；绝对，条件收敛略（注意整体收敛当且仅当部分收敛）。（3）若反常积分 \int_{-∞}^{+∞}f(x)dx 收敛，且f(x)为奇函数，则 \int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=0 （注意若少了反常积分收敛的条件，则结论不成立，例如f(x)=sinx）。第二行最后一个式子x改为t8.瑕积分：设f(x)在(a,b]上连续，且 \lim_{x \rightarrow a^{+}}{f(x)}=∞ ，任取 c＞0,a+c∈(a,b] ，称 \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{c \rightarrow 0^{+}}{\int_{a+c}^{b}f(x)dx} 为无界函数在(a,b]上的反常积分（瑕积分），a称为瑕点。（1）单一型反常积分：积分区间有且只有一个瑕点或者∞（注意综合型需要分解成单一型求解）（2） \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{p}}dx
收敛当且仅当p＜1，收敛于 \frac{1}{1-p} 一般的有 \int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx,\int_{a}^{b}\frac{1}{(b-x)^p}dx收敛当且仅当p＜1 （有限区间的p积分）（注意与7（1）区分）基本性质同上。（3）判定法则：级数的比较判别法的极限形式，此时x趋于瑕点。（4）基本结论对瑕点为b的瑕积分 \int_{a}^{b}f(x)dx 设 f(x) 在 [a,b) 上连续且 f(x)\ge0 ①存在 0< m<1 使得 \lim_{x \rightarrow b^-}{(b-x)^mf(x)=k,}0\le k<+\infty, 则\int_{a}^{b}f(x)dx收敛②存在 m\ge1 使得 \lim_{x \rightarrow b^-}{(b-x)^mf(x)=k,}0< k\le+\infty,
则\int_{a}^{b}f(x)dx发散对瑕点为无穷大的瑕积分 \int_{a}^{+\infty}f(x)dx 在此区间内无瑕点则①存在 m>1 使得 \lim_{x \rightarrow +\infty}{
x ^mf(x)=0} 则\int_{a}^{+\infty}f(x)dx收敛②存在 m\le1 使得 \lim_{x \rightarrow +\infty}{
x ^mf(x)=\infty} 则\int_{a}^{+\infty}f(x)dx发散 \int_{1}^{+\infty } \frac{1}{x^p(lnx)^q} dx
收敛, p>1,q<1
①积分区间一致，被积函数不一致，则与级数判断一致②积分区间累加（不一定只是0），被积函数一样，根据定义当且仅当两者收敛才收敛，注意此处发散加减发散一定发散9.欧拉积分（可跳过）（1） \Gamma 函数（伽马函数）： \Gamma(s)=\int_{0}^{+∞}x^{s-1}e^{-x}dx，s＞0 ①递推公式 \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) ，对于正整数n有 \Gamma(n+1)=n! ，特别 \Gamma(1)=0!=1 ， \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi},\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}!=\frac{\sqrt{\pi}}{2} ②高斯积分： \int_{-∞}^{+∞}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi} 。证：证③： \int_{-∞}^{+∞}e^{-x^{2}}dx= \sqrt{\pi}\int_{-∞}^{+∞}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\frac{1}{2}}}e^{-\frac{x^{2}}{2(\sqrt{\frac{1}{2}})^2}}dx =\sqrt{\pi} 其中为正态分布密度函数（2）B函数（贝塔函数）： B(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx,p,q＞0 ①对称性B(p,q)=B(q,p)。②递推公式：B(p,q)=\frac{q-1}{p+q-1}B(p,q-1) B(p,q)=\frac{p-1}{p+q-1}B(p-1,q) B(p,q)=\frac{(p-1)(q-1)}{(p+q-1)(p+q-2)}B(p-1,q-1) ③\Gamma 函数与B函数的关系：
B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} 就先写到这么多，后期碰到好的再更，欢迎补充。}

引言：在数学分析学习过含参量反常积分之后，有两类特殊重要的含参量反常积分，它的表达形式如下：\Gamma(s)=\int_{0}^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx,(s>0) B(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx,(p>0,q>0)由于这两类特殊的含参量反常积分最早是由数学家欧拉 (Euler) 整理得出的，因此就将其称之为 Euler 积分，其中的 \Gamma(s) 称之为伽马函数，另外的一个 B(p,q) 称之为贝塔函数.利用这两类特殊的含参量反常积分能够解决许多定积分的计算问题，这类问题往往很有技巧性，需要通过换元的方式转化为伽马函数或者贝塔函数进行求解，关于 Euler 积分的公式也很多，记忆起来也比较费力，同时也容易遗忘，需要进行归纳总结，陈纪修老师关于 Euler 积分部分的网课讲的非常细致，因此，我将陈纪修老师网课中的 Euler 积分的部分做了笔记，方便复习与回顾。第一页第二页第三页第四页第五页第六页编辑于 2021-07-07 09:41}