前言哈密顿原理、变分法、欧拉-拉格朗日方程经常用，但是没有认认真真的梳理和理解。现在有时间了好好梳理一下。1-3节分别简述了变分的概念、一阶变分推导及变分的运算，4节以简支梁为例子推导控制方程及求解条件。个人理解，难免有误。如有错误，先感谢各位指出！1 预备知识1.1 函数与泛函的概念先要区分函数与泛函，不然开始接触时会多很多困惑（我就是例子）。函数：自变量 x 对应着另一个变量 y ，那么变量 y 称为自变量 x 的函数，可记作 y(x) .泛函：函数的函数，是函数的广义函数。如自变量是函数 y(x) 的一个函数称为泛函，常记作 I\left[ y(x )\right] .函数描述变量与变量的关系，泛函描述变量与函数的关系。1.2 微分与变分的概念变分与微分类似，对比理解更快。微分：自变量的改变量 \Delta x 叫自变量的微分，记作 dx . 设存在一个连续可微函数 y=\phi(x) ，在 x_{0} 处的一阶微分可记作 \phi'(x_{0}) \cdot dx .变分：当 x 为某固定值时，函数 y(x) 的改变量。 如函数 y(x) 从 Y(x)变化至y(x)=Y(x)+\alpha \eta(x) ，那么 y(x)-Y(x)=\alpha \eta(x) 就是函数 y(x) 的变分，记作 \delta y . 即\delta y=\alpha \eta(x)
\tag{1} 2 泛函与函数的一阶变分2.1 类比微分得到泛函的一阶变分假设存在泛函I[y(\cdot)]=\phi(\alpha)=\int_{x_{1}}^{x_{2}}F(x,Y+\alpha \eta,Y'+\alpha \eta')dx \tag{2} 注意上式有对自变量 x 的积分，积分后就变成只有一个参数 \alpha 的函数，这在理解变分法求解微分方程时很重要。此时，对照1.2节微分的概念，(2)式与函数的一阶微分相对应(注意这里没有对 x 微分，而是对自变函数进行处理），有\phi'(\alpha)\alpha=\alpha\int_{x_{1}}^{x_{2}}(\eta \bar{F}_{y}+\eta'\bar{F}_{y'})dx=\int_{x_{1}}^{x_{2}}( \bar{F}_{y}\delta y+\bar{F}_{y'}\delta y')dx
\tag{3}
将上式中 \int_{x_{1}}^{x_{2}}\bar{F}_{y'}\delta y'dx 利用分部积分处理，有\int_{x_{1}}^{x_{2}}\bar{F}_{y'}\delta y'dx=\bar{F}_{y'}\delta y
_{x_{1}}^{x_{2}}-\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{d}{dx}\bar{F}_{y'}\delta ydx \tag{4} 将(4)式代入(3)式，整理有\int_{x_{1}}^{x_{2}}( \bar{F}_{y}\delta y+\bar{F}_{y'}\delta y')dx=\int_{x_{1}}^{x_{2}}( \bar{F}_{y}-\frac{d}{dx}\bar{F}_{y'})\delta ydx+\bar{F}_{y'}\delta y
_{x_{1}}^{x_{2}} \tag{5} 上式右边被称为泛函 I[y(\cdot)] 在 y=Y(x) 上的一阶变分，可记作\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}}( \bar{F}_{y}-\frac{d}{dx}\bar{F}_{y'})\delta ydx+\bar{F}_{y'}\delta y
_{x_{1}}^{x_{2}} \tag{6} 当边界条件满足一定条件时，如边界条件为 y(x_{1})=0 ,y(x_{2})=0 时，(6)式可进一步简化为\delta I=\int_{x_{1}}^{x_{2}}( \bar{F}_{y}-\frac{d}{dx}\bar{F}_{y'})\delta ydx \tag{7} 多说一句，由于 \delta y 的任意性，要上式的积分为零或说 \left( \delta I=0 \right) ，就得括号内部分恒等于零。括号内恒等于零的等式，就是所谓的欧拉-拉格朗日方程。2.2 利用泰勒展开得到函数的一阶变分由1.2节变分的概念可知，当 x 固定，函数 F(x,y,y') 的变分即其自变函数的增量，可定义为\Delta F=F(x,y+\alpha \eta,y'+\alpha \eta')-F(x,y,y') \tag{8} 利用泰勒展开，将 F(x,y+\alpha \eta,y'+\alpha \eta') 展开成如下一阶形式F(x,y+\alpha \eta,y'+\alpha \eta')=F(x,y,y')+F_{y}\alpha\eta+F_{y'}\alpha\eta'\tag{9} 将(9)式代入(8)式可得\Delta F=F_{y}\alpha\eta+F_{y'}\alpha\eta' \tag{10} 又将(1)式代入(10)式，将上式改写为变分形式\delta F=F_{y}\delta y+F_{y'}\delta y'\tag{11} 上式称为函数 F 的变分。对比泛函的变分(3)式与函数的变分(10)式，泛函的变分要多积分一次。3 变分的运算变分的运算与微分类似，在这个基础上要特别注意变分运算的两个性质（1）变分与微分的运算顺序可交换，如\delta y'=\delta(\frac{dy}{dx})=\alpha\eta'=\frac{d}{dx}(\alpha\eta)=\frac{d}{dx}(\delta y) \tag{12} （2）变分与积分运算顺序可交换，如\delta\int_{x_{1}}^{x_{2}}F(x,y,y')dx=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\delta F(x,y,y')dx \tag{13} 其他变分运算与微分类似，如\delta(F+g)=\delta F+\delta g \tag{14} \delta(F\cdot g)=g\cdot\delta F+F\cdot\delta F \tag{15} 4 哈密顿变分原理推导控制方程简单示例在弹性力学中，哈密顿变分原理常用来推导系统的控制方程，只要确定了系统的能量泛函，可以借助软件很快推导出控制方程及自然边界条件。一个简单的例子：简支梁的横向弯曲受迫振动控制方程及边界条件的推导。已知简支梁的长度、抗弯刚度、轴向线密度、横向分布载荷分别为 L，EI，\rho，q .线性受迫振动，只考虑横向位移 w 时，系统的动能与势能(应变能)分别为\Phi=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\rho\left( \frac{\partial w}{\partial t} \right)^2dx \tag{16} \Psi=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}EI\left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \right)^2dx \tag{17} 分布载荷 q 做功\Upsilon=\int_{0}^{L}q\cdot wdx \tag{18} 将(16)-(18)式对应的能量代入下式(利用哈密顿变分原理）有\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left( \Phi-\Psi \right)dt+\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\Upsilon dt=0 \tag{19} 整理可得\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\int_{0}^{L}\left[ \frac{1}{2} \rho\left( \frac{\partial w}{\partial t} \right)^2-\frac{1}{2} EI\left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \right)^2+q\cdot w\right]dxdt=0 \tag{20} 对上式进行变分运算后化简即得对应的控制方程、边界条件及初始条件（注意，这里不是只有一阶导数，出现了二阶导数，要适当的变通）。为简化推导过程，可以先推导出对应的变分通式。先令F\left( x ,w_{xx},w_{t}\right)=\frac{1}{2} \rho\left( \frac{\partial w}{\partial t} \right)^2-\frac{1}{2} EI\left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \right)^2+q\cdot w \tag{21} 根据变分原理及分部积分法，可得控制方程通式(欧拉-拉格朗日方程）为\frac{\partial F}{\partial w}+\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left( \frac{\partial F}{\partial w_{xx}} \right)-\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial F}{\partial w_{t}} \right)=0 \tag{22} 边界条件通式为\left\{ \left[ -\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial F}{\partial w_{xx}} \right) \right]\delta w+ \frac{\partial F}{\partial w_{xx}} \delta w_{x} \right\}_{0}^{L}=0 \tag{22} 起始条件通式为\left[ \frac{\partial F}{\partial w_{t}} \delta w\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=0 \tag{23} 剩下的步骤就简单了，对 F 进行相应的求导运算，然后代入到对应的通式中，即可得到对应的控制方程、边界条件及起始条件。内容差不多了，以后有空在这个基础上写写伽辽金法求解对应的控制方程。}