高一数学求值域方法
　　高一数学求值域方法，高一数学函数求值域的方法其实很简单，下面就为大家整理了高一求值域方法及例题，希望可以帮助大家!
　　高一数学函数值域解题技巧[1]
　　一.观察法
　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
　　例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。
　　点拨:根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。
　　解:由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，
　　故3+√(2-3x)≥3。
　　∴函数的知域为 .
　　点评:算术平方根具有双重非负性，即:(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。
　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
　　练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0，1，2，3，4，5})
　　二.反函数法
　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
　　点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
　　解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。
　　点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
　　练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})
　　三.配方法
　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
　　例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。
　　点拨:将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
　　解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]
　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
　　点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
　　练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})
　　四.判别式法
　　若可化为关于某变量的.二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
　　例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
　　点拨:将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
　　解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
　　当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得:2
　　当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2
　　点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
　　练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。
　　五.最值法
　　对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
　　点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
　　解:∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
　　当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4。
　　∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。
　　点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
　　练习:若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 ( )
　　A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)
　　(答案:D)。
　　六.图象法
　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
　　例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
　　点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
　　解：原函数化为 -2x+1 (x≤1)
　　y= 3 (-1
　　2x-1(x>2)
　　它的图象如图所示。
　　显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，+∞]。
　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象
　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。
　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
　　七.单调法
　　利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
　　例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。
　　点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
　　解：设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x
　　在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3｝。
　　点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
　　练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：{y|y≥3｝)
　　八.换元法
　　以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
　　例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
　　点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
　　解：设t=√2x+1 (t≥0),则
　　x=1/2(t2-1)。
　　于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
　　所以，原函数的值域为{y|y≥-7/2｝。
　　点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
　　练习：求函数y=√x-1 –x的值域。(答案：{y|y≤-3/4｝
　　九.构造法
　　根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
　　例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。
　　点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
　　解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
　　作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
　　正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
　　KC=√(x+2)2+1 。
　　由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共
　　线时取等号。
　　∴原函数的知域为{y|y≥5｝。
　　点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。
　　练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案：{y|y≥5√2｝)
　　十.比例法
　　对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。
　　例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。
　　点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
　　解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)
　　∴x=3+4k,y=1+3k,
　　∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
　　当k=-3/5时，x=3/5,y=-4/5时，zmin=1。
　　函数的值域为{z|z≥1｝.
　　点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
　　练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案：{f(x,y)|f(x,y)≥1｝)
　　十一.利用多项式的除法
　　例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。
　　点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
　　解：y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。
　　∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
　　∴函数y的值域为y≠3的一切实数。
　　点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
　　练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案：y≠2)
　　十二.不等式法
　　例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。
　　点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
　　解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],
　　由对数函数的定义知 x/(1-x)>0
　　1-x≠0
　　解得，0
　　∴函数的值域(0，1)。
　　点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。
　　以下供练习选用：求下列函数的值域
　　1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3｝)
　　2.Y=2x/(2x-1)。 (y>1或y<0)
　　高一数学求值域方法[2]
　　1.确定函数定义域的主要依据:
　　(1)当f(x)是整式时，定义域为R;?
　　(2)当f(x)是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合;?
　　(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值的集合;
　　(4)当f(x)是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数非零或大于0的x取值范围;?
　　(5)当f(x)是对数式时，定义域是使真数大于0的x取值的集合;?
　　(6)正切函数的定义域是{ };余切函数的定义域是{x|x≠kπ，k∈Z};?
　　(7)当f(x)表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x取值的实际意义.
　　2.求函数值域常用的方法有配方、换元、不等式、判别式、图像法等等.
　　题型示例 点津归纳
　　【例1】 求下列函数的定义域:
　　(1)y= ;
　　(2)y= ;?
　　(3)y= ;?
　　(4)y=log2004(tanx).
　　【解前点津】 使整个解析式有意义的x取值集合即为所求.
　　【规范解答】 (1)由 .
　　(2)令1-2sinx≥0，则sinx≤ 利用单位圆可求得定义域为[2kπ- π，2kπ+ ]，k∈Z.
　　(3)由 知x是第一象限角或角x的终边在x轴正向或y轴正向上，故其定义域为
　　[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.
　　(4)由tanx>0知x是一、三象限角，故为:(kπ+ ，kπ+π)，k∈Z.?
　　【解后归纳】 求函数定义域常常要解不等式(或不等式组)，理解并掌握集合的“交”“并”运算是一项基本功.含三角式的不等式求解，要么利用单位圆，要么利用函数的图像及周期性.
　　【例2】 当a取何实数时，函数y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1，2)?
　　【解前点津】 可转化为:确定a值，使关于x的不等式-x2+ax+2>0的解集为(-1，2).
　　【规范解答】 -x2+ax+2>0 x2-ax-2<0，故由根与系数的关系知a=(-1)+2=1即为所求.
　　【解后归纳】 解一元二次不等式，常联系一元二次方程的根或二次函数的图像.
　　【例3】 已知函数f(2x)的定义域是[-1，2]，求f(log2x)的定义域.
　　【解前点津】 在同一法则f下，表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”.
　　【规范解答】 ∵-1≤x≤2，∴ ≤2x≤4故 ≤log2x≤4即
　　log2 ≤log2x≤log216 ≤x≤16.
　　【解后归纳】 已知F(g(x))的定义域为A，求F(h(x))的定义域，关键是求出既满足g(x)∈B，又满足h(x)∈B的x取值集合，在此例中，A=[-1，2]，B=[ ，4].【高一数学求值域方法】相关文章：求函数值域的方法总结10-17求值域的方法总结10-17数学求最值方法总结10-23数列求极限的方法总结04-28函数求极值的方法总结04-27函数求极限的方法总结10-17数列求通项的方法总结10-17求定积分的方法的总结10-17高一数学学习方法归纳01-07高一数学学习方法分享03-26}