1.为什么要广义积分的判别法？判定一个广义积分的收敛性，是一个重要的问题。当被积函数的原函数求不出来，或者求原函数的计算过于复杂时，利用广义积分的定义来判断它的收敛性就不适用了。因此，我们需要它方法来判断广义积分的收敛性。2.这里可能有人问，什么是广义积分？广义积分就是反常积分，是对普通定积分的推广，①指含有无穷上限/下限②或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷区间限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。3.直接引出广义积分的判别法（汤家凤辅导讲义）广义积分判别法大家可能当初和我看到的一样，这是什么啊。别急。一步步来，首先把这四个定理分为两个部分。定理1和定理2是关于无穷区间广义积分的判别法，定理3和定理4是关于瑕积分的判别法。其中，需要知道的是，定理3的瑕点为a，定理4的瑕点为b。（ps：瑕点如果不知道，可以自行百度。不严谨的说就是让分母为0的点）4.阿尔法如何取得？这步十分关键，直接关乎到你是否对广义函数的敛散性的判断。1.对于无穷区间的反常函数，我们要做的是，把x带入分母为无穷的项给“消去”。比如： \int_{2}^{+∞}\frac{dx}{（x-1）\sqrt{x^{2}-2x}}的敛散性，
因为\lim_{x \rightarrow +∞}{x^{2}}·\frac{1}{（x-1）\sqrt{x（x-2）}}=1
上限为正无穷，我们要“消去”分母会变成无穷的函数。再依据判别式的定理得出是否收敛。注：如果函数的区间是正无穷到负无穷，那就把积分拆分为两部分，两部分必须都收敛才为收敛函数。2.对于无界函数的反常积分，我们要做的是，把x带入后分母无意义的项“消去”。比如：\sqrt{x} 在下限0处无意义，所以要把它”消去“。 \sqrt{1-x} 在上限1处无意义，所以要把它”消去“注：上限和下限积分有差别，下限是（x-a），且在a的右边。上限是（b-x），且在b的左边。同时注意这个对阿尔法的判别与无穷区间反常函数刚好相反。（对分母尽量先化简）}

我们总结一下判断无穷级数收敛与发散的方法。常用极限下面是常用的几个极限：\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\ln~n}{n}=0\lim_{n \rightarrow + \infty}\sqrt[n]{n}=1\lim_{n \rightarrow + \infty}x^{\frac{1}{n}}=1(x > 0) \lim_{n \rightarrow + \infty}x^n=0(|x|<1)\lim_{n \rightarrow + \infty}\Big(1+\frac{x}{n} \Big)^n=e^x(任何x)\lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{x^n}{n!}=0(任何x)第一步：a_n是否趋向于零第一步，我们需要判断\lim a_n是否等于零。如果不存在或不等于零，那么级数是发散的。如果等于零，进入第二步。第二步：是否是几何级数判断 a_n 是否是一个等比数列，如果是，公比|r|<1则收敛，|r|\geq 1则发散。第三步：是否是类似 \sum \frac{1}{n(n+1)} 的压缩级数类似 \sum \frac{1}{n(n+1)} 的压缩级数，可以拆分成两个部分，在展开时可以与后面的项，实现相互抵消。它是收敛的。如 \sum \frac{1}{n(n+1)}=\sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}第四步：是否是形如 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} 的级数形如 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} 的级数收敛。第五步：是否是p-级数形如\sum \frac{1}{n^p}的p-级数，p>1时收敛，否则发散。第六步：能否应用直接比较判别法直接比较判别法的规则是： 1. 如果 a_n \leq b_n，其中\sum b_n级数是收敛的，那么\sum a_n也收敛 2. 如果 a_n \geq b_n，其中\sum b_n级数是发散的，那么\sum a_n也发散。应用直接比较判别法的技巧，是看a_n能否通过简单地转换，变成第二、三、四、五步中已知的发散或收敛级数，把这个转换后的级数作为b_n，利用直接比较判别法规则来判断a_n收敛性。第七步：能否应用极限比较判别法极限比较判别法的规则是：如果 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=c，0 \lt c \lt \infty，则 \sum a_n和\sum b_n同时收敛或同时发散。如果 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=0，如果\sum b_n收敛，则\sum a_n收敛如果 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\infty，如果\sum b_n发散，则\sum a_n发散应用极限比较判别法的技巧，是看a_n能否通过简单地转换，变成第二、三、四、五步中已知的发散或收敛级数，把这个转换后的级数作为b_n，计算 \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n} 的值，然后根据极限比较判别法的规则来判断a_n收敛性。第八步：能否使用积分判别法积分判别法的规则是：a_n是一个正数项序列，把a_n的表达式看成一个连续的、正的、递减函数f(n)（由于第一步中保证了a_n是趋于0的，所以在这里只考虑a_n是一个正数项序列就行），则有\sum_{n=N}^\infty a_n和积分\int_N^\infty f(x) \mathrm{d}x 同时收敛或同时发散。应用积分判别法的技巧是观察a_n能否简单地求积分。第九步：能否使用比值和根式判别法如果\sum a_n是一个正项级数，并且有\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho\\如果\rho < 1，则级数收敛如果\rho > 1 如果\rho =1，则无法确定是收敛还是发散。应用这种方法的技巧是观察 \frac{a_{n+1}}{a_n} 是否是一个足够简单的式子。一般应用在形如含有a^n或n^a或n!的级数中。第十步：能否使用n次根判别法如果a_n是正项级数，且\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}=\rho\\如果\rho < 1，则级数收敛如果\rho > 1 如果\rho =1，则无法确定是收敛还是发散。一般应用在含有a^n或n^a的级数中。其中 \sqrt[n]{a^n} 可以被简化为a，而\sqrt[n]{n^a}=(\sqrt[n]{n})^a，而根据上面的常用极限表第四个，\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1，因此\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^a}=\lim_{n\rightarrow \infty} (\sqrt[n]{n})^a=1。第十一步：它是一个交错级数假设交错级数为：\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots \\看\sum_{n=1}^\infty
a_n|是否收敛，使用上面的第一到第十步的方法去判断。如果它是收敛的，那么原级数一定是收敛的，而且是绝对收敛。如果不是收敛的，那么原级数有可能是条件收敛，或者是发散，转到下面第2步。是否存在一个整数N，使得u_N\geq u_{N+1} \geq \cdots？如果不存在，则无法确定级数是收敛还是发散，如果存在，转到下面第3步u_n是否趋向于0，是的话级数收敛，否则发散。第十二步：继续修炼或使用CAS如果还无法判断级数是否收敛或发散，则需要使用CAS等工具来探索或者去学更高等的教材。总结流程图}