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展开全部 非零特征值的个数与秩的关系：如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。对于方阵而言，秩不小于非零特征值的个数。 矩阵的秩和特征值个数的关系 关系： 1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。 2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。 证明： 定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。 定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0恰为A的n-k重特征值。 定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），则λ=0至少为A的n-k的重特征值。 定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ=0恰为A的n-k重特征值。 定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）=k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ=0恰为f（A）的n-k重特征值。 矩阵的秩的变化规律及证明 1、转置后秩不变 2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵 3、r(kA)=r(A),k不等于0 4、r(A)=0 <=> A=0 5、r(A+B)<=r(A)+r(B) 6、r(AB)<=min(r(A),r(B)) 7、r(A)+r(B)-n<=r(AB) 证明： AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵
AB O
O En
A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有
AB A
0 En
右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有
0 A
-B En
所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B) 即r(A)+r(B)-n<=r(AB)
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咨询记录 · 回答于2023-06-22特征值的个数和秩有关系吗是的，特征值的个数与矩阵的秩之间存在一定的关系。对于一个n × n的方阵，它的特征值的个数取决于该矩阵的秩。具体而言，一个方阵的特征值的个数可以分为两种情况：非零特征值：一个方阵的非零特征值的个数等于该矩阵的秩。零特征值：一个方阵的零特征值的个数等于该矩阵的维度减去秩。特征值是矩阵的一个重要特性，表示矩阵在线性变换下的特定缩放因子。矩阵的特征值与其秩有关，秩反映了矩阵所包含的线性独立信息的维度。因此，特征值的个数与秩之间存在一定的联系。需要注意的是，特征值与矩阵的秩之间的关系并不是直接的一一对应关系。一个矩阵的特征值的个数可能与其秩不完全相等，因为特征值可以是复数，并且重复特征值可能存在。综上所述，特征值的个数与矩阵的秩之间存在某种联系，但并非简单的相等关系，而是涉及到特征值的类型和重复性等复杂情况。
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