课时作业( 四十三) [第 43 讲 立体几何中的向量方法(二) ——空间角与距离求解][时间：45 分钟 分值：100 分 ]基 础 热 身1．点 M 在 z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 s＝(1 ，－1,1)的直线 l 的距离为，则点 M 的坐标是( )6A．(0,0，±2) B．(0,0 ，±3)C．(0,0，± ) D．(0,0，±1)32．若
a＝(1,2,1)，b＝(－2,0,1)分别是直线 l1，l 2 的方向向量，则 l1，l 2 的位置关系是( )A．平行 B．异面C．相交 D．相交或异面3．两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝( －1,0,1)，则两平面间的距离是( )A. B. C. D．332 22 3 24．方向向量为
s＝(1,1,1) 的直线 l 经过点 A(1,0,0)，则坐标原点 O(0,0,0)到该直线的距离是( )A. B. C. D.3 262 63能 力 提 升5．如图 K43－1，长方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，底面是边长为 2 的正方形，高为 1，则异面直线 AD1 和 C1D 所成角的余弦值是 ( )图 K43－1A. B．－ C. D.55
55 15 256．在平行四边形 ABCD 中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线 AC 折起，使AB 和 CD 成 60°角(如图 K43－2) ，则 B、D 间的距离为( )图 K43－2A．1 B．2 C. D．2 或2 27．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长度分别为 6,4,4，则其顶点到底面的距离为( )A. B．2 C. D.143
17 62211 21738．在棱长为 1 的正方体 ABCD－A 1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 AA1、BB 1 的中点，G 为棱 A1B1 上的一点，且 A1G＝λ (0≤λ≤1)，则点 G 到平面 D1EF 的距离为( )A. B. C. D.322 2λ3 55图 K43－39．如图 K43－3，四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD
是矩形，PD ⊥平面 ABCD，且PD＝AD＝1， AB＝2，点 E 是 AB 上一点，当二面角 P－EC－D 的平面角为 时，AE＝( )π4A．1 B. C．2－ D．2－12 2 310．已知三棱锥 O－ABC 的侧棱 OA，OB ，OC 两两垂直， E 为 OC 的中点，且OA＝1， OB＝ OC＝2，则平面 EAB 与平面 ABC 夹角的余弦值是
________．11．如图 K43－4，已知四棱柱 ABCD－A 1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1 长为 b，且 AA1 与 A1B1，A 1D1 的夹角都是 60°，则 AC1 的长等于________．图 K43－4图 K43－512．如图 K43－5，AO⊥平面 α，BC⊥OB ，BC 与平面 α 的夹角为
30°，AO＝BO＝BC＝ a，则 AC＝________.13．如图 K43－6，在空间直角坐标系中有棱长为 a 的正方体 ABCD－A 1B1C1D1，点M 是线段 DC1 上的动点，则点 M 到直线 AD1 距离的最小值为________．图 K43－614．(10 分) 如图 K43－7，放置在水平面上的组合体由直三棱柱 ABC－A 1B1C1
与正三棱锥 B－ ACD 组成，其中，AB⊥BC.它的正视图、俯视图、侧视图的面积分别为 2 ＋1,22＋ 1,1.2(1)求直线 CA1 与平面 ACD 所成角的正弦值；(2)在线段 AC1 上是否存在点 P，使 B1P⊥平面 ACD？若存在，确定点 P 的位置；若不存在，说明理由．图 K43－715．(13 分)[2011·安徽师大附中三模] 如图
K43－8，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面ACD，△ACD 为等边三角形，AD＝DE ＝2AB，F 为 CD 的中点．(1)求证：AF∥平面 BCE；(2)求证：平面 BCE⊥平面 CDE；(3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值．图 K43－8难 点 突 破16．(12 分)[2011·湖北卷] 如图 K43－9，已知正三棱柱 ABC－A
1B1C1 的各棱长都是4，E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1 上，且不与点 C 重合．(1)当 CF＝1 时，求证：EF ⊥A 1C；(2)设二面角 C－AF －E 的大小为 θ，求 tanθ 的最小值．图 K43－9课时作业(四十三)【基础热身】1．B [解析] 设 M(0,0，z)，直线的一个单位方向向量 s0＝ ，故点 M 到(33，－
33，33)直线的距离 d＝ ＝ ＝ ，解得 z＝±3.
OM→
2－
OM→ ·s0|2 z2－ 13z2 62．D [解析] 根据共线向量定理，显然 a，b 不平行，所以 l1，l 2 的位置关系是相交或异面．3．B [解析] 两平面的一个单位法向量 n0＝ ，故两平面间的距离(－ 22，0，22)d＝
·n0|＝ .OA→ 224．D [解析]
直线 l 的一个单位法向量 s0＝ ，向量 ＝(1,0,0)，故点 O 到(33，33，33) OA→ 直线 l 的距离为d＝ ＝ ＝ .
OA→
2－
OA→ ·s0|2 1－ ( 33)2 63【能力提升】5．C [解析] 建立如图所示的空间直角坐标系．则 A(2,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C1(0,2,1)，
1＝(－2,0,1)， ＝(0,2,1)，故异面直线 AD1 和 C1D 所成角的余弦值为|cos〈AD→ DC1→ 1， 1〉|＝ ＝ .AD→ DC→
AD→ 1·DC→ 1
AD→ 1
DC→ 1
156．D [解析] ∵∠ACD＝90°，∴ · ＝0.AC→ CD→ 同理 · ＝0 ，BA→ AC→ ∵AB 和 CD 成 60°角，∴〈 ，
〉＝60°或 120°.BA→ CD→ ∵ ＝ ＋ ＋ ，BD→ BA→ AC→ CD→ ∴ 2＝ 2＋ 2＋ 2＋2 · ＋2 · ＋2 ·BD→ BA→ AC→ CD→ BA→ CD→ BA→ AC→ AC→ CD→ ＝ 2＋ 2＋ 2＋2 ·BA→ AC→ CD→ BA→ CD→ ＝3＋2×1×1×cos〈 ， 〉BA→ CD→ ＝Error!∴
＝2 或 ，即 B、D 间的距离为 2 或 ，故选 D.BD→ 2 27．C [解析] 设三棱锥为 P－ABC ，且 PA＝6，PB ＝PC＝4，以 P 为原点建立空间直角坐标系如图，则 P(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,4) ， ＝(6,0,0) ， ＝(－6,4,0) ，PA→ AB→ ＝(－6,0,4) ，设面 ABC
的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则 n⊥}