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单位：东莞市麻涌镇古梅中心小学
作者：古采萍 袁笑珍 张少萍 郑佩珊 罗梦斯
一、研究背景
东莞市在教育发展十三五规划中提出“互联网+教育”的战略构想，打造“智慧教育”品牌，开展“莞式慕课”的试点工作。麻涌镇中小学“信息化小组合作”课改实验正是“莞式慕课”试点工作的重要研究内容，下面以《平行四边形的认识》为例(见下图)，（人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册第五单元第64-65页）探索如何更新教育理念，运用慕课平台下“‘翻转课堂+小组合作’，创数学学习新模式”，将教育信息化、小组合作学习与数学学科教学深度融合，充分发挥全新的软硬件优质资源，利用翻转课堂生本位思想、混合学习策略等方面优势，提高课堂教学效率，提升学生核心素养。
二、提出问题
二年级的时候，学生已经积累了一些有关图形与几何的知识和经验，形成了一定程度的空间感。学生以往的学习中就对平行四边形等有了初步的认识，并且懂得了在四边形中区分平行四边形；而本单元在认识四边形时对平行四边形边、角等特征进一步的加深学习。可以说学生对平面图形的感知已经有一定的基础。本节课《平行四边形的认识》，大部分学生在生活中接触过，对于这部分内容的学习要注意结合学生已有的生活经验，借助学生生活实际有关的具体情境，学生才比较容易掌握。
但是，从生活经验初步认识平行四边形到进一步深入探究平行四边形对学生而言是一种认识上的超越。
主要表现在：一是图形概念的超越，即：将对区分图形的特征观察组合成图形概念的超越；二是图形特征认识的超越，即：将对图形的特征观察点定位在组成图形的点的共同属性上的超越。三是图形的高的超越，即：将四条边中任意一条边作为底时画高的超越。
传统的教学由于受时间、资源、表现方式的限制，很难帮助学生达成这种认识上的超越。怎么办？（见下图）
三、做出假设
如果能运用慕课平台，发挥“翻转课堂+小组合作”学习方式翻转课堂教学优势，先学后教，让学生在家里通过观看微课，利用导学案通过一系列数学实践活动进行预学，先理解和掌握最基本的平行四边形的基础知识，课堂上就能争取时间运用平板、一体机、微课资源等软硬件资源，向学生渗透归纳总结、数形结合、数学模型等数学思想方法，突破学生认识的瓶颈，发展学生的数学思维能力和问题解决能力。（见下图）
四、设计方案
《数学课程标准（2011版）》指出：“数学新课程实施应以学生数学素质的养成为核心目标，课堂教学中学生数学活动经验的获得是学生数学素养养成的必要条件”而“数学活动经验需要在做的过程和思考的过程中沉淀，是在数学活动过程中逐步积累的。” 本节课是在慕课平台下采用“翻转课堂+小组合作”，创数学学习新模式。（详见下图）
教学分为课前、课中和课后三个循序渐进的阶段。
（一）课前预习阶段
1.导学案
通过导学案，让学生根据生活经验观察平行四边形的形状特征，通过学生动手操作量一量、画一画、折一折等方式，研究平行四边形的边的特点、理解高和底的概念及学会画平行四边形的四条边上的高。
2.微课
通过观看微课，尝试画平行四边形的两组高，体会“一条高对应平行四边形的一条底”这种一一对应的思维方式，在画高的过程中，使用类比法代入图形的高就是通过一点作对应底的一条垂线段，并且这条高是一条虚线的关键点。直观感知一组对边之间的距离处处相等，并且平行四边形的高有无数条，从而理解高和底的概念、理解每组高和对应底的关系、理解每组高的长度关系。
（二）课堂教学阶段（课中）
着重让学生通过“翻转课堂+小组合作”学习方式，运用平板、一体机、微课等信息化教学资源进行预学、合学、展学、促学、拓学；并运用推理、想象、思辨等思维活动来概括平行四边形的特征，理解“画高”“不稳定性”的深刻内涵。将抽象内容直观化，实现认识的超越，享受思维的乐趣。
（三）课后巩固阶段
让学生带着问题和方法以小组为单位进行实践操作，达到“做”与“思”的完美结合，从而积累数学基本活动经验，发展空间观念，感受数学思想方法，提高学生对待数学的积极的情感、态度、价值观。
五、实施过程
（一）课前
1.教师部分
（1）确立目标
课前预习目标：①尝试画两组不一样的高，初步学会用垂直的方式画高。②在画一画，折一折，量一量等实践活动过程中，直观感知并尝试概况平行四边形特征。
课堂教学目标：①让学生通过推理、想象、思辨等思维活动来概括平行四边形的概念及特征。② 在认识平行四边形的过程中积累数学活动经验，发展空间观念。③ 运用数学知识解决实际问题，享受思维的乐趣。
（2）布置预学任务（《平行四边形的认识》导学案详见附件）
同学们，你知道生活中有哪些平行四边形吗？你认为平行四边形的对边平行吗？相等吗？对于已有的经验，你觉得平行四边形的高应该是哪一条？下面的导学内容是为了让你更好地读懂课本，请同学们先看一看课本（p57-59页）和微课，再完成“平行四边形的认识”导学案
（3）方法建议：
阅读教材、观看微课、动手操作、对比发现。
（4）课堂学习形式预告：
2.学生部分
（1）学生在家通过微课掌上通或其他资源平台，自主观看课本和微课视频。
（2）根据《平行四边形的认识》导学案进行针对性预学。
（3）利用微课掌上通、QQ群、微信群，进行互动交流，质疑问答。（见下图 ）
教师通过课前设置 “预学目标”（同时映射出课堂教学目标）、布置“导学案”预学任务、“方法建议”和“课堂学习形式预告”，可以引领学生有目标地高效预学，在“先学”环节，教师将这些知识点通过微课用“问题”的方式呈现出来，使其成为学生可阅读、可操作的学习载体，能够帮助学生高质量地完成预学任务，达成自主建构。
（二）课中
第一环节：创设情境，引出问题
一问：生活中见过平行四边形吗？
二述：学生举例，老师出示平行四边形在生活中的应用。
三问：同学们想学习平行四边形的什么知识呢？
四引：今天，我们就一起来进入平行四边形的海洋里翱翔吧！
设计意图：结合学生的日常生活，通过问题迎合孩子的年龄和心理特点的教学情境，拉近数学课堂与现实生活的距离，激起学生好奇心和浓厚的学习兴趣，以引导为载体，把学生司空见惯的生活现象提升为探究平行四边形的数学核心大问题，使学生学习情趣高涨，疑问迭生，主动参与到探究平行四边形的奥秘的数学学习活动中来。
第二环节：合学展学，交流汇报
1.探究平行四边形的边和概念
（1）提出对边的概念，学生根据导学案小组内进行合学交流。（见下图）
（2）随机选择小组学习共同体到讲台展学汇报（见下图）,认识平行四边形的边的特征和归纳概括平行四边形的边的定义。
（3)每一个思考的问题展学完毕，其他小组学习共同体进行补充质疑、纠错提示、互助互学。
（4）教师根据学生对平行四边形的边的认识情况，适时提问、质疑。
2.探究平行四边形的高和底
（1）学生根据导学案和课本第64页的内容小组内进行尝试操作（见下图）
（2）随机选择小组学习共同体到讲台展学汇报（见下图）,认识平行四边形的高和底、画平行四边高的方法注意事项。
（3)看微课演示画法、教师画法，订正修改。
（4）教师根据学生的实际情况，适时提问、质疑。
设计意图：引导学生以小组学习共同体为单位通过合学、展学的方式，讨论、交流、整理、反馈预学的收获，解决预学过程中暴露出的疑难问题，发动学生根据自己的体验，用自己的思维方式自由地、开放地去探索新的知识，促使学生之间相互合作、互相帮助，让学生在思想的碰撞中交往互动，达成共识，共同发展。
第三环节：活动归纳，探讨特征
教师根据微课（观察用四根吸管串成长方形到移动成平行四边形，从而总结长度不变，形状改变。）和活动（请一个学生上台拉一拉活动三角板，我拉一拉平行四边形，看看谁是大力水手，可以将手中的图形拉变形？）。从现场操作的情况和实际生活的实例综合归纳：平行四边形容易变形（即：平行四边形具有不稳定性）
设计意图：引导学生通过观察活动思考、类比三角形的稳定性总结归纳平行四边形的不稳定性。让学生体会到实际生活过程中积累数学经验，数学知识可以运用于实际生活。发展学生的空间观念。
第四环节：梳理内化，检测促学
教师根据导学案，运用一体机和微课资源对学生点拨归纳，帮助学生梳理新知。学生在预学的过程中，必然对新知有所疏漏，部分学困生对于知识的重难点，掌握不清，这就需要教师运用多种信息化资源和教学技艺协助学生突破重难点，将新知梳理内化，深化认知，纳入知识网络。新知梳理完毕，再运用平板、一体机等平台通过拍照上传、原笔迹答题、答题卡答题、希沃白板小游戏等方式在线检测学生知识掌握情况，通过大数据统计，及时反馈，把握学情，调整教学，力求取得最佳教学效果。(见下图)
第五环节：辩论论证，解决疑惑
辩论论证：对比三角形的稳定性，平行四边形的不稳定性好还是不好？
师：在生活中，我们有时候挂照片、晾衣服都是运用了三角形的形状。为什么不使用平行四边形的形状？难道因为平行四边形的不稳定性不好？
师：你能举一个使用平行四边形并用学过的知识解释一下，为什么你觉得平行四边形的不稳定好。
学生独立思考，分为两大派别进行辩论，从已有经验理解平行四边形的不稳定性。
师：生活中有很多实物是运用到三角形的稳定性或者平行四边形的不稳定性，平行四边形的不稳定性这仅仅是平行四边形的一个特性。并没有好与不好。
设计意图：小学数学图形的认识，因受限于学生逻辑思维能力发展水平，大多停留在观察与操作层面，缺乏深入的数学思考，让学生尝试通过演绎推理、空间想象、逻辑思辨等思维活动来思考平行四边形的不稳定性，对于开发学生的思考力极富价值。
第六环节：回归生活，拓学延展
教师布置任务：发挥你们的想象力，动手制作一个使用平行四边形的不稳定性的原理的小作品，拍照分享。
（三）课后
1.实践运用
学生以小组为单位实践操作，在课余时间使用平行四边形的不稳定性的原理制作一个小作品，另找时间在班级里开展一次3分钟的欣赏会。（见下图）
2.学习延伸
教师通过微信公众号，微课掌上通，QQ等平台，进行数学微课和相关资源的推送，对课堂进行拓展，学生通过观看微课进行课后温习和延伸。（见下图）
六、结论反思
基于慕课平台下“‘翻转课堂+小组合作’，创数学学习新模式”。借助翻转课堂理念，充分利用互联网、微课等手段，将一些学生通过预学能看懂、能学会的知识，留给学生自主学习，课中着重运用平板、一体机、资源平台、微课等资源进行预学、合学、展学、促学、拓学，并运用操作、推理、想象、思辨等思维活动来突破重难点，运用平板课堂在线检测，有利于教师根据大数据统计结果调整教学的策略和方向……实践证明运用“翻转课堂+小组合作”创数学学习新模式能进一步调动学生学习积极性，减轻学生学习负担，促进学生深化感知、内化新知，感受数学思想方法，享受数学思维与学习的乐趣，提高课堂教学效率。
但是，慕课平台下“翻转课堂+小组合作”创数学学习新模式容易受一些主客观因素的影响，主要表现在：学校教育信息化软硬件教学设施设备必须配备齐全，且不断更新，教学资源平台丰富、共享才有利于慕课教学改革走向深入；对教师的教学理念、专业能力，教学技艺，媒介信息素养，微课录制能力，组织协调能力，都提出了更高的要求；“翻转课堂+小组合作”创数学学习新模式既要与传统教学方法有机结合，更要将教育信息化与数学学科教学深度融合，不断创新，才更有利于激发学生学习兴趣，提升学生核心素养。
附（《平行四边形的认识》导学案）：
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细节决定成败的例子-
2020年11月27日发(作者：范从振)小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结第一单元小数乘法1、小数乘整数：意义——求几个相同加数的和的简便运算。如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5的和的简便运算。计算方法：先把小数 扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数 点。2、小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。如：1.5×0.8就是求1.5的十分之八是多少。1.5×1.8就是求1.5的1.8倍是多少。计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘 法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。注意： 计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。3、规律（1）：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。4、求近似数的方法一般有三种：（P10）⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角。6、小数四则运算顺序跟整数是一样的。7、运算定律和性质：加法：加法交换律：a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法：减法性质：a-b-c=a-(b+c) a-(b-c)=a-b+c乘法：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c【(a-b)×c=a×c-b×c】除法：除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c)第二单元小数除法8、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3，求另一个因数的运算。 < br>9、小数除以整数的计算方法：小数除以整数，按整数除法的方法去除。，商的小数点要和被除数 的小数点对齐。整数部分不够除，商0，点上小数点。如果有余数，要添0再除。10、除数 是小数的除法的计算方法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按“除数是整数的小 数除法”的法则进行计算。注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。 11、在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求 出商的近似数。12、除法中的变化规律：①商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同 的倍数（0除外），商不变。②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。③被除数不变，除数缩小，商扩大 。13、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出 现，这样的小数叫做循环小数。循环节：一个循环小数的小数部分， 依次不断重复出现的数字。如6.3232……的循环节是32.14、小数部分的位数是有 限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。第三单元观察物体15、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的；观察长方体或正方体时，从固定位置 最多能看到三个面。第四单元简易方程16、（P45）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。17、a×a可以写作a·a或a ，a 读作a的平方。 2a表示a+a18、方程：含有未知数的等式称为方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。19、解方程原理：天平平衡。等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。20、10个数量关系式：加法：和=加数+加数 一个加数=和-两一个加数减法：差=被减数-减数 被减数=差+减数 减数=被减数-差乘法：积=因数×因数 一个因数=积÷另一个因数除法：商=被除数÷除数 被除数=商×除数 除数=被除数÷商21、所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。22、方程的检验过程：方程左边=……23、方程的解是一个数；解方程式一个计算过程。=方程右边所以，X=…是方程的解。第五单元多边形的面积23、公式：长方形：周长=(长+宽)×2——【长=周长÷2-宽；宽=周长÷2-长】 字母公式：C=(a+b)×2面积=长×宽 字母公式：S=ab正方形：周长=边长×4 字母公式：C=4a面积=边长×边长 字母公式：S=a平行四边形的面积=底×高 字母公式： S=ah三角形的面积=底×高÷2 ——【底=面积×2÷高；高=面积×2÷底】字母公式： S=ah÷2梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 字母公式： S=（a+b）h÷2【上底=面积×2÷高－下底，下底=面积×2÷高-上底；高=面积×2÷（上底+下底）】24、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移25、三角形面积公式推导：旋转平行四边形可以转化成一个长方形；两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，长方形的长相当于平行四边形的底；平行四边形的底相当于三角形的底；长方形的宽相当于平行四边形的高；平行四边形的高相当于三角形的高；长方形的面积等于平行四边形的面积，平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷226、梯形面积公式推导：旋转27、三角形、梯形的第二种推导方法老师已讲，自己看书两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形， 知道就行。平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷228、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。29、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。30、组合图形：转化成已学的简单图形，通过加、减进行计算。第六单元统计与可能性31、平均数=总数量÷总份数32、中位数的优点是不受偏大或偏小数据的影响，用它代表全体数据的一般水平更合适。第七单元数学广角33、数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。34、邮政编码：由6位组成，前2位表示省（直辖市、自治区）0 5 4 0 0 1前3位表示邮区前4位表示县（市）最后2位表示投递局
35、身份证码： 18位1 3 0 5 2 1 1 9 7 8 0 3 0 1 0 0 1 9河北省 邢台市 邢台县 出生日期 顺序码 校验码倒数第二位的数字用来表示性别，单数表示男，双数表示女。
青岛版四年级数学上册应用题1、春芽鸡场星期一收的鸡蛋，18千克 装一箱。装好8箱后还剩16千克。星期一收了多少千克鸡蛋？2、王叔叔从县城开车去王庄 送化肥。去的时候每小时行40千米，用了6小时，返回时只用了5小时。返回时平均每小时行多少千米 ？3、一辆旅游车在平原和山区各行了2小时，最后到达山顶。已知旅游车在平原每小时行5 0千米，山区每小时行30千米。这段路程多长？4、公路两边植树，每边每千米要植树25棵，这条路 长120千米，一共植树多少棵？5、学校准备发练习本，发给15个班，每班144本，还 要留40本作为备用。学校应买多少练习本？6、一棵树苗16元，买3棵送1棵。一次买3棵，每棵便宜多少钱？7、洗发水每瓶15元，商场开展促销活动，买4瓶送1瓶。一次买4瓶，每瓶便宜多少元？8、一只熊猫一天要吃15千克饲料，动物园准备24袋饲料，每袋20千克，这些饲料够一只 熊猫吃30天吗？9、汽车从甲地到乙地送货，去时用了6小时，速度是32千米/小时，回 来只用了4小时，回来的速度是多少？10、小明上山用了4小时，每小时行3千米，下山的速度加快 ，是6千米/时，下山用了多长的时间？11、车间原计划每天生产15台机器，24天就可 以完成，实际每天生产18台，实际只要几天就可以完成任务？12、实验小学要为三、四年 级的学生每人买一本价格为12元的作文辅导书。已知三年级有145人，四年级有155人，两个年级 一共需要多少元？13、有370人去旅游，每辆汽车坐30人，要几辆汽车才能拉完？ < br>14、水果店以每箱32.9元的价钱批发来8箱苹果，每箱重17.5千克。苹果按每千克3. 2元出售，这些苹果全部卖出后，可赚多少元钱？15、一个长方形和一个正方形的周长相等，已知长 方形的面积是48平方厘米，宽4厘米，正方形的面积是多少平方厘米？16、两个工程队同 时从两段开凿一条隧道，甲队平均每月挖95米，乙队平均每月挖105米，经过一年零十个月完工。这 条隧道长多少米？ 17、修一段长960米的公路，修了6天完成了全长的一半，余下的平均 每天修80米，修完这段公路一共需要多少天？18、永丰制衣厂做200套校服，上衣每件成本1 8元，裤子每条成本12元。一共需要成本多少元？（用两种方法解答）19、 煤气公司铺 设煤气管道，如果每天铺60米，15天完成任务；如果要求10天完工，那么平均每天要铺多少米？20、 一块正方形草坪的周长是360米，它的面积是多少平方米？21、两艘轮船同时从 两个港口相对航行，甲轮船每小时航行28千米，乙轮船每小时航行35千米，经过12小时还相距30 千米，两个港口之间的航程是多少千米？ 22、修一条长960米的水渠，原计划24天完 成任务。实际每天修48米，实际可提前几天完成任务？23、一瓶油，连瓶中700克，吃了油的 一半后，连瓶还重450克。油重多少克？瓶子重多少克？24、 甲工程队每天修路128米，乙工程队每天修路236米，丙工程队每天修路136米，丁工程队每天修路264米。现有一条50 0米的路，要求一天修完，选择哪几个工程队合修比较合适？25、计划生产一批零件，王师 傅每天生产90个，12天才能完成。结果每天比原计划多生产18个，可以提前几天完成？26、一筐桔子连筐重26千克，卖出桔子的一半后，连筐重14千克，桔子和筐各有多少千克？ 27、一段公路原计划20天修完．实际每天比原计划多修45米，提前5天完成任务．原计划每天 修路多少米？28、一箱苹果的批发价是54.5元，零售价是58.8元，小明卖苹果赚了 86元，他卖了多少箱苹果？29、甲乙两地相距400千米，一辆汽车从甲地开往乙地，计划8小时到达，因为天气原因，实际每小时比计划少行10千米，实际多少小时到达？30、两数相除的 商为3，余数为10，被除数、除数、商和余数的和是143，求被除数和除数。31、5个工人6天修路900米，平均每个工人每天修路多少米？32、3件上衣和7条裤 子共430元，同样的7件上衣和3条裤子共470元，每件上衣和每条裤子各多少元？3 3、玉山农场新建一座温室，室内耕地面积是285平方米，全部栽种西红柿，一茬平均每平方米产12 千克。每千克按0.65元计算，一共可以收入多少元？青岛版四年级数学上册知识点归纳一、按照我国的计数习惯，从个位起，每四位为一级。个级包括个位、十位、百位、千位，个级表示多少个“一”；万级包括万位、十万位、百万位、千万位，万级表示多少个“万”；亿级包括亿位、十亿位、百亿位、千亿位，亿级表示多少个“亿”。二、个、十、百 、千、万、十万、百万、千万、亿······都是计数单位。每相邻两个计数单位间的进率都是十，这 种计数方法叫做十进制计数法。三、万以上数的读法：1、对照数位顺序 表，从高位到低位，先读亿级，再读万级，最后读个级。2、读亿级或万级时，先按个级数的读法来读， 再在后面加一个“亿”字或“万”字；3、数中间有一个0或连续几个0，都只读一个“零”； 每级末尾不管有几个0，都不读。四、读数方法可以概括为一句话：“一画二看三说四读”。“一画”是指按四位一级画虚线；“二看”是指这个数包含哪几级；“三说”是指说出最高位上 是几;“四读“是指读出这个数。五、万以上数的写法：1、一个数含有万级和亿级，应从最高位写起，一级一级地往下写。2、写数时哪一位上是几 就在那一位上写几，遇到哪一位上一个单位也没有，就在那一位上写0占位。六、比 较两个数的大小：1、如果位数不同，位数多的那个数就大，位数少的那个数就小；2、如果位数相同， 就从最高位开始比较，最高位数大的那个数就大；如果第一位相同就看下一位，以此类推。七 、整万、整亿数的改写：1、改写成以“万”为单位的数，把万位后面的4个0去掉，加上一个 “万”字即可。2、改写成以“亿”为单位的数，把亿位后面的8个0去掉，加上一个“亿”字即可。八、有些数的前面有“约”字，都不是准确数，像这样的数我们称做为“近似数”。“ 四舍五入法”：在取近似数时,按要求保留到哪一位，这一位后面的数称为“尾数”。如果尾数的最高位 数字小于5,就把尾数去掉。如果尾数的最高位数字大于或等于5,就把尾数舍去并向它的前一 位进“1”,这种取近似数的方法叫做四舍五入法。九、“省略万位或亿位后面的尾数 求近似数”，就是用“四舍五入”法，把一个数精确（保留）到万位或亿位，求它的近似数。1、用“万 ”作单位的近似数，应看千位上的数是几，再决定是“四舍”还是“五入”。2、用“亿”作单 位的近似数，就看千万位上的数是几，再决定“四舍”还是“五入”。3、不管是用“万”还是用“亿” 作单位，写近似数时都要用约等号（≈）连接，末尾还要写上“万”字或“亿”字。十、求近似数和数的改写相同点：求近似数和数的改写都是把一个较大的数表示成整“万”或整“ 亿”的数，后面都要加一个“万”或“亿”不同点：求近似数是把一个数变成一个近似数，数的大小发生 了变化；而数的改写只是把一个大数写成了以“万”或“亿”为单位的数，大小没有发生变化。 数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。十一、数字编码。数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。编码中的数字代表着一定的意义。编码具有有序性。十二、计算器是一种运算快、操作简便的计算工具。开机按ON/OFF键；如果要清屏按C键；要关机按ON/OFF键。十三、一位 数乘两位数：把其中的两位数拆成一个整十数和一个一位数，然后用另一个因数（一位数）分别乘这个整 十数和一位数，再求两个积的和。整十数乘整百数：可以先用“0”前的数相乘，再在乘积的后 面添上乘前“0”的总数。十四、乘法估算的基本方法：把两个因数都看作接近的整十 、整百数，再口算出结果。根据实际，选择不同的估算方法。估算时，把两个因数都看小，估算的结果就 少了；一个因数看小，一个因数不变，估算的结果也少了。如果两个因数都看大，估算的结果也 就大了；一个因数看大，一个因数不变，估算的结果也会变大。一个因数看大，另一个因数看小，估算结 果的大小不一定。十五、三位数乘两位数的计算法则：先用个位数乘三位数的每一 位数，再用十位数乘三位数的每一位数，最后把两次乘得的积加起来。末尾有0的乘法，可以先用0前面 的数相乘，再数出两个因数的末尾一共有几个0，就在积的末尾添几个0。十六、积 的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大到原数的多少倍，积也扩大到原数的多少倍。两数相乘，一 个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数缩小(或扩大）相同的倍数，它们的乘积不变。十 七、混合运算的运算顺序：先算乘除法，后算加减法；如果有括号，要先算括号里面的，后算括 号外面的。十八、线段是直的，有两个端点，可以度量；把线段的一端无限延长，就得 到一条射线。射线是直的，有一个端点，无限长，不可以度量；把线段向两端无限延长，就得到 一条直线。直线是直的，没有端点，无限长，不可以度量。线段和射线都是直线的一部分。十九、过一点能画无数条直线，过两点只能画一条直线。两条直线相交有一个交点。二十、在同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂 足。二十一、两点之间线段最短；点到线的距离，垂直线段最短。从直线外一点到这条 直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离。在一组平行线上可以做无数条垂直线 段，并且所得垂直线段长度相等。二十二、除数是两位数的口算方法：1、通过乘法来想除法。2、将整十数看成多少个十来进行口算。3、直接在脑子里列竖式。二十三、除数是两位数的除法:1、计算时先看 被除数的前两位。如果前两位比除数小，再看被除数的前三位。2、除到被除数的哪一位，商就写在那一 位上面。3、除到最后的余数要比除数小。二十四、表示物体个数的1、2、3、 ……是自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。最小的自然数四0，没有最大的自然数，< br>自然数的个数是无限的。二十五、被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。二十六、一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限 的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。二十七、条形统计图能清楚地看出各种数 量的多少。
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