设四面体边长为a外接球半径为R内切球半径为r
亦等于4个以三角形面为底的小四面体体积之和即4*(1/3)*s*r……方程二
由一侧边和四面体高以及底面三角形中心与底面三角形顶点的连线构成三角形一
该侧边与2个外接圆半径(其中一半径落于四面体高上)构成三角形二
则三角形一中余下直角三角形三
三角形三中落于四面体高上的边长由勾股定理得 L=根号[R平方-a平方*(1/3)]
三角形一中 四面体高 h=a*(根号6/3)……方程三
亦等于R+L……方程四
故外接球与内切球半径比为 3

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1、精选文库四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。1、 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长 即【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长

2、即： 所以球的表面积为2、 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。解：且，, 因为 所以知所以 所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。3、 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥中，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知

3、解得 所以半径为【结论】：空间两点间距离公式：4、 四面体是正四面体 处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题图1例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半

4、径为正四面体的表面积正四面体的体积， 在中，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。例2设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.图2解：平面，由此，面面.记是的中点，从而.平面，设球是与平面、平面、平面都相切的球.如图2，得截面图及内切圆不妨设平面，于是是的内心.设球的半径为，则，设,.,当且仅当，即时，等号成立.当时，满足条件的球最大半径为. 练习：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体

5、的棱长。（答案为：）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。图3图4图5二、球与棱柱的组合体问题1 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得；2 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。3 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例3.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是_.解：由已知可得、实际上就是球内接

6、正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线 练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为）4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得， ，练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：）【点评】“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，

[摘  要] 立体几何问题中，有一类问题可以通过补形法，得到一个常见的几何体，使复杂的线面关系变得清晰明了. 文章从一道例题出发分析解决这类问题的方法，并在此基础上总结规律，归纳常见的一些四面体的补形方法.

[关键词] 立体几何;四面体;补形

教学中，遇到这样一个问题：已知在半径为2的球面上有A，B，C，D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积最大值为多少？

这是某年数学全国卷的第12题，主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线间的距离，通过球这个载体考查学生的空间想象能力和推理计算能力.

解答是这样的：过CD作平面PCD，使AB垂直于平面PCD，交AB于P. 设点P到CD的距离为h，则有V■=■×■×2×h×2=■h，当直径通过AB与CD中点时，h■=2■=2■，故V■=■.

本小题这个解答当中，学生比较疑惑的有两点：（1）为什么可以过CD作平面PCD，使AB垂直于平面PCD，能这样作的前提是AB和CD要垂直，那为什么认定体积最大时AB和CD要垂直？（2）为什么直径通过AB与CD中点时，距离h最大？

要解释清楚这两个疑点，首先需要补充说明一个公式.

四面体体积公式：如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离为d，所成的角为θ，那么它的体积为V■=■abdsinθ（证明见后）.

根据这个公式，我们首先得到结论：AB和CD必须垂直，即sinθ=90°时才能得到最大的体积.

其次，由于AB=CD=R（球的半径），所以连结球心O和四个顶点，则容易知道△OAB和△OCD都是正三角形.

设AB与CD间的距离为d，有d≤EF≤OE+OF. （异面直线间公垂线段最短）

因此，OEF共线时，四面体的体积可以达到最大值，因为OE=OF=■，故V■=■.

？摇？摇这样解决一个选择题比较花费时间，而且在高中数学教学中，不涉及四面体的体积公式，异面直线的距离即公垂线段的长度在教学中也仅仅要求了解.下面我们用补形的思路来解决这个问题.因为题目当中两条线段长度一样，所以考虑把这个四面体补形成一个长方体：

则四面体的外接球即是长方体的外接球，四面体的体积是长方体的体积减去四个全等的小三棱锥的体积.

设长方体的边长为a，b，c，体对角线即为外接球的直径，得到：

当且仅当b=c=■时，等号成立.

从等号成立的条件可以比较容易地看出是在AB和CD垂直时，四面体的体积取到了最大值.

我们会发现，使用补形，一下子把陌生的几何体变得熟悉了，原本错综复杂的线面关系也变得清晰起来. 利用这一方法解决某些几何问题，思路清晰明朗，较其他方法简洁明了.

比如刚才提到的四面体的体积公式也可以用补形法得到.

一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离为d，所成的角为θ，将四面体补形成平行六面体（因为相对棱的长度不确定，相等的时候才能补成长方体）.

那么该平行六面体的底面积为S=■absinθ，平行六面体的体积为V■=■abdsinθ. 同样，该平行六面体由原四面体和四个全等的三棱锥构成. 三棱锥与平行六面体的高相等，底面积为平行六面体的一半，V■=■×■×■absinθ=■absinθ.所以V■=V■-4×V■=■absinθ.

一起来看一下常见的几种四面体补形方式：

一、把四面体的四个面各补上一个三棱锥，最后形成一个平行六面体. 其中正四面体是最特殊的形式，可以补成正方体. 而对棱相等的四面体则可以补形成一个长方体.

例1：正四面体棱长为a，求外接球的半径R.

正四面体补形为一个正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球.

正方体的面对角线是正四面体的棱长，体对角线为外接球的直径.

设正方体边长为b，则a=■b，2R=■b，所以R=■a.

因为有三组对棱相等，把四面体补成一个长方形，如图4：

长方体的三个面的面对角线是三棱锥的棱长，体对角线是外接球的直径.

设长方体的棱长为a，b，c，外接球的半径为R，

二、把四面体的一个角作为平行六面体的一个角补形成平行六面体.

例3：四面体ABCD，侧棱AB，AC，AD两两垂直，AB=2，AC=3，AD=4，求四面体的外接球的半径R.

因为四面体的侧棱两两垂直，所以可以把这个角看作长方体的一个角，把四面体补形成一个长方体，则四面体的外接球就是长方体的外接球

四面体的三条侧棱就是长方体的长、宽、高，外接球的直径就是长方体的体对角线，则（2R）2=AB2+AC2+AD2=29，所以R=■.

例4：若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2■，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O的半径R.

根据已知条件可以得到△ABC是直角三角形，把四面体补成一个长方体，则四面体的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线.

解答：把四面体补成如图所示平行六面体，异面直线PC与AB所成角即为PC与CD所成角的补角的余弦值.

所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为■.

此题也可以用空间向量法解答，用补形能更好地体现线面关系.

三、把四面体补形成三棱柱

例6：已知某几何体底面ABC是棱长为1的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=3，求该几何体的外接球的半径.

解答：将该四面体补形成一个三棱柱

四面體的外接球就是三棱柱的外接球.

先求三棱柱底面三角形外接圆半径r=■·■=■.

所以三棱柱的外接球半径为R=■=■.

四面体的问题可以通过补形变成正方体、长方体乃至平行六面体的问题.尤其在正方体和长方体中，点线面的关系是我们所熟悉的. 一些几何题的证明和求解，由原几何图形分析探究会比较烦琐，通过补形填补成一个新的几何图形，能使原问题的本质得到充分的体现，解决起来比较容易. 本文着重讨论四面体的补形问题，希望窥一斑而知全豹，探究立体几何中补形法这一重要的转化策略.