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不定积分就是求f(x)的原函数簇，是一堆函数的集合，而变上限定积分是其中的一部分。

变上限积分和不定积分的区别

1、x的定义不同。变上限积分对于未知数x存在着定义域，而不定积分x没有定义域。

2、求法不同。变上限积分主要用到的知识是求极限的方法，而不定积分的求法是利用公式和定义去求，俩者不是一种类型的题。

3、得到的结果不同。变上限积分得到的是一个具体的值，而不定积分最终的结果只能是一个式子。

根据牛顿－莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间［a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

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不定积分就是求f(x)的原函数簇,是一堆函数的集合。而变上限定积分是其中的一部分。变上限定积分的下限是固定的，积分的上限可以变化，所以积分的结果也是一个关于上限变量的函数。既然有变上限定积分，也就有变下限定积分。但是计算的时候可以转化为变上限定积分计算，前面加个负号就可以了。对于不定积分，可以认为是去掉了变上限定积分的积分上下限，所以对积分结果的限制就更少。可以证明，对同一个被积函数，f(x)变上限定积分的导数和f(x)的不定积分的导数是相等的。

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题目当中给出的做法以及对又例的明白都是对的，经过变量替换以后，u确实是新的积分变量，原来的积分变量是t，对积分而言，x可看作常量，对求导而言，x是求导变量，这些都是对的。
你的问题是说，题目和又例是两种情况，前者u=2x-t，x与(新)积分变量u有关，而后者x与积分变量t无关，是吧。
是这样，对该变量替换来说，x与u在形式上是有关系的，但其实是常量与变量的关系(只有t与u是变量间的关系)，由此，x相对于新的积分变量u看作常量就不难理解了。或者说，当变量替换的步骤完成以后，x与u的那个关系，我们已经在变量替换的过程中考虑完毕(换积分变量、换积分限、换被积函数等)，此时，我们要独立地审视替换后的积分表达式，而不再关联关系u=2x-t，这也可以说是定积分换元的一个特点吧。
注意一下，在本质上，替换u=2x-t中，u与t是变量替换中的一对变量，而x始终是常量(对积分而言，不是对求导)。

回答你的追问“u中是含有x的也就是说与x有关” 如下：
不错，“u中是含有x的也就是说与x有关”，但是是变量与常量的关系，不是变量与变量的关系。

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sin函数是周期为2π的函数

题目中的积分上下限是k的函数

为了确定上下限，方便计算

所以用2kπ的周期进行换元

使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和sinα∈[-1,1 ]。

可以先观察算式，可发现这种需换元法之算式中总含有相同的式子，然后把它们用一个字母替换，推演出答案，然后若在答案中有此字母，即将该式带入其中，遂可算出。

积分上下限的范围需要变，换元要换限，例如，t=2x,x的范围是（1,2）此时t的范围需要在原范围乘以2即t的范围是（2,4）