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sin、cos二分之π等于多少？

即sin90度等于一；cos90度等于零，这个很好记的sin即九十度y轴的值；cos即x轴

sin（π+A）=二分之一;，那么cos（二分之三π-A）等于多少

cos二分之c等于sin二分之(A+B)，sin二分之c等于cos二分之（A+B）,这两个公式怎么来的？

sin二分之a加cos二分之a等于二分之一，则cos2a

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二分之根号二cos(a)＋二分之根号二sin(a)等于

sin(α-二分之派）等于多少？

sin二分之x等于多少

4. 初等函数在定义区间内连续

连续函数加减乘除、复合 ——> 结果还是连续

1. 定型：若为已定式，直接代入求解；若为未定式，见2；

2. 无穷小 \(\to\) 泰勒，洛必达，四则运算

• 必须要分左右极限来求的情况：

不可局部代值，除非是非零因子

展开原则：相消不为0且上下同阶

• 注意使用条件。洛完结果不唯一就不能洛
• 乘除法中的非0项可以先算

• 存在N，其后所有数都接近A

• 收敛一定有界，有界不一定收敛

• 保号性：(要注意是后面才保号，前面无关)

• 1. 转化为函数（连续化处理）

• 1. 分子分母同阶时，放缩分母使得分子可加

• • 利用不定积分的计算型定义

• 原理：单调有界必有极限， 方法：数学归纳法

• 1. 复杂函数用 泰勒公式 / 麦克劳林替换
• 抓大头；上下同除最大项；洛必达

• 无分母：分子有理化，倒代换

• 注：不要把 $$ln$$ 或 反三角 放分母

• 用对数恒等式，把指数放下来

(7) 求无穷级数的极限

• 与等差等比，定积分等结合

（8）求带积分线的极限

• 放缩然后夹逼 （比较定理）

• 重要性质：不可导的绝对值函数\(|x-x_0|\)乘上可导（连续）函数之后变可导

• 公式法（5条 + 莱布尼茨）

• 切方 （k为该点导数），法方 （垂直于切方）

• 其中，\(A\)就是微分\(dy\)，也叫线性主部

（3）导数的微分学应用

• 除拐点要写点坐标之外，间断点、极值点、极值、驻点等都填值

• 一点导数正负性不决定邻域内单调性，除非导数连续

• • 定义：邻域（左右都有）

• • 连续的函数中，唯一极值点就是最值点

• • 定义：（凹函数）割线高于曲线；（凸函数）割线低于曲线

  • • 定义：凹凸线发生改变的点

• 求渐近线（先垂直后水平最后斜）

三、不定积分（记得+C）

1. \(f(x)\)连续，则原函数必存在
2. \(f(x)\)存在第一类 / 无穷间断点。则原函数必不存在
3. 若\(f(x)\)有振荡间断点，则原函数可能存在

凑一个\(e^x\)以便凑微分

• 次数：偶次降幂，奇次凑分（拿出一个）

（4）第二类换元积分法

• 注：d x 也要换，别忘了代回

• 换回方法：画一个三角形，用a x 表示三条边

• 规则：反对幂三指（谁在后谁入d）

• 拆分（分母必须要化简到最简形式再拆分）

  • 分子写比分母低一次的多项式

    • 有括号（比括号低一次）

    • 无括号（比分母低一次）

• 可用于数列极限求和：1. 和 2. 提 3. 找项

定积分是一个数，与变量选取无关

积分线相同，被积函数不同，考比较定理

1. 只要有一个部分比你大，绝对比你大
2. 仅需比较两个被积分函数的大小

只要积分变量字母不变，上下限范围所属关系不变

（1）华莱士公式（点火公式）

（2）第二类换元积分法

• 基本原则：三换（换被积函数，换积分变量，换上下限）

• 区间再现换元法: 令“上+下 – x = t ”

• 非标准型：换元，把x当作常量

• 先找瑕点（奇点）（有瑕点一定要拆开来算）

注：靠近正半轴的 – 远离正半轴的

2. 齐次与非齐次的通解

1. 两边同时积分就能解得 \(y\)

1. 存在一个\(\xi\)使得等式成立

2. 闭区间连续函数性质

（3）广义积分中值定理

可使用拉格朗日中值定理推广至\((a,b)\)：

原理：被积分函数连续，变限函数一定可导

1. 找原函数：不定积分 / 微分方程

（3）拉格朗日中值定理

特别的，当\(x_0=0\)时有麦克劳林公式：

画出积分区域，有对称性就用技巧法，没有就用直接法 （二者结合着用）

（1）直角坐标算二重积分

（2）极坐标算二重积分

1. 适用：积分区域是圆 或 被积分函数是：

a. 积分区域下的奇偶性

x y 互换，然后二者加起来

1. 注意次序（小心正负号）
   

平面类比二重积分；空间类比三重积分

对面积分的曲面积分计算法：

绝对值曲线画法：去绝对值 + 对称性

被积分函数满足曲面方程

第一型曲线积分与方向无关，积分下限一定比上限小（从小到大）

直接法（干掉弧微分）：

1. 轮换对称性：关于 \(y=x\) 对称
1. 看方程：调换\(x,y\)，方程不变
2. 看图：调换\(x,y\)轴，图像不变

第二型曲线积分（对坐标）

**1. 封闭曲线且正方向（左手始终在区域内） **

2. P,Q具有一节连续偏导数（把两个偏导数算出来，没有无定义点）

等比级数敛散性只看公比

2. 收敛级数的基本性质

1. 改变级数的前有限项，不改变级数的敛散性

2. 若级数收敛，不改变各项次序任意加括号后仍收敛

   1. 原收敛，加括号后一定收敛
   2. 加括号后发散，原级数一定发散
   3. 加括号后收敛，原级数不一定收敛

3. 常数项级数审敛法

先看通项极限是否为0，不为0一定发散

常数项级数判定敛散性思路：

收敛的充要条件：部分和有上界

放大看收敛，缩小看发散

1. 比较审敛法：大收敛则小收敛，小发散则大发散

例题（注意是充分条件，不能反推回来）：

比值审敛法（达朗贝尔判别法）：

必须要能找到一个p严格\(0<p<1\)，趋近于也不行

根值审敛法（柯西判别法）：

求积分之后收敛域会变大

(减小系数之后会增加收敛的可能性)

交错级数（莱布尼茨判别法）：

极限为0，单调递减，正向数列

先看绝对值收不收敛，不收敛再看本身

通用处理：加绝对值 or 利用加减性质

4. 幂级数求和与展开

1. 收敛点 $\rightarrow $ 收敛域、收敛区间、收敛半径\(R\)（收敛区间的一半长度）

域：要看端点的敛散性；区间：不看端点

求幂级数收敛半径：缺项幂级数用法一，标准幂级数用法二

概念（以下为幂级数）：

e.g.平移不改变性质：

阿贝尔Abel 定理：

如果找到一点收敛，距离中心点相同位置内部一定收敛且为绝对收敛；

如果找到一点发散，距离中心点相同位置外部一定发散；

充分理解的好题：（分界点）

如何判角标：就看首项（先写一项再说）

关于首项从几开始，这是一个很严肃的问题：

一些不得不关注的重要细节：

求导前后收敛半径不变，收敛区间不变，但是收敛域可能会改变（端点会变）

就是把泰勒公式写到无穷多项

【必背】常见麦克劳林级数

题型：将函数展开成某某的幂级数

和函数在收敛域范围内一定连续

注：幂级数求和的形式x的前面的系数要么为1，要么为\((-1)^n\)

1. 检验端点值！！（闭区间才需要检验）
   1. 在s(x)处有定义，直接加上

建筑面积和使用面积计算公式：

　　建筑面积=套内建筑面积+公摊面积
　　公摊面积=建筑面积×公摊系数
　　公摊系数=建筑总公摊面积÷建筑总建筑面积
　　套内建筑面积=套内使用面积+套内墙体面积+阳台面积
　　1.套内使用面积，有个形象的说法叫“地毯面积”，简单说，就是把你家所有面积全铺上地毯，能铺多少面积的地毯，就是多少的套内使用面积。
　　2.套内墙体面积，套内墙体面积包括户型内部的分隔墙(按照投影面积全部计算)，两户之间的分隔墙(按照投影面积的一半计算)，外墙(按照投影面积的一半计算)三个部分。
　　3.阳台面积，封闭阳台按照全部面积计算，不封闭阳台按照一半面积计算。
　　4.公摊面积，建筑内的楼电梯间、消防通道、为本楼服务的配电房、水泵房等附属设施用房、外墙水平投影面积的一半，这些全部计算为公摊面积。
　　通常在无电梯的多层建筑中，公摊系数在5-10%这个范围内都是正常的，超出10%的也有可能，不过少见。
　　在有电梯的板式小高层建筑中，公摊系数通常在15-20%之间。
　　在有电梯的板式高层建筑中，公摊系数通常在18-25%之间。
　　在有电梯的塔式小高层建筑中，公摊系数通常在18-22%之间。
　　在有电梯的塔式高层建筑中，公摊系数通常在20-30%之间。

　　套内使用面积是指实际的房屋利用面积，即，又称地毯面积而套内面积一般是指套内建筑面积，是套内使用面积与套内分摊面积之和。套内使用面积计算主要体现在以下5个方面：
　　1.室内使用面积按结构墙体内表面尺寸计算，墙体有复合保温、隔热层，按复合层内皮尺寸计算
　　2.烟囱、通凤道、各种管道竖井等均不计入使用面积。
　　3.非公用楼梯(包括跃层住宅中的套内楼梯)按自然层数的使用面积总和计入使用面积
　　4.住宅使用面积包括卧室、起居室(厅)、厨房、卫生间、餐厅、过厅、过道、前室、贮藏室、阳台、壁柜等
　　5.套内使用面积系数：房屋按套(单元)计算面积时，使用面积系数为套内使用面积与套内建筑面积加按规定应分摊的公用建筑面积的比率(%)。