这里我们讨论Ax=b的解以及矩阵A的列空间。
Ax=0是肯定有解的,因为总存在x为全零向量,使得方程组成立。而Ax=b是不一定有解的,我们需要高斯消元来确定。我们还是利用上一篇讲述了Ax=0的解的矩阵A来举例说明:
我们可以得到上述方程组的增广矩阵(等式右侧不是全零向量,消元时值会改变,所以需要用增广矩阵)如下:
然后我们进行高斯消元可以得到:
从上面的矩阵可以看出,等式成立必须有:
我们假设一个满足上面条件的b向量,例如:b=[1 5 1+5];并且令两个自由变量x2=0,x4=0,则我们将消元后的矩阵写成方程组的形式如下:
Xc是这个方程组的一个特解,因为当X2,X4取不同的值时,会得到不同的特解。那么我们如何得到方程的同解呢?即怎样用一般形式来表示所有的特解?
Ax=b的解就是特解Xc+Xn,证明如下:
Xc我们上面已经得到,Xn在中得到,则通解可以表示为:
至此,我们就得到了Ax=b的解。
通过上面的分析求解,我们知道当b满足下式时,方程组有解:
实际上,方程有解的条件是向量b属于矩阵A的列空间,即向量b可以表示为矩阵A的各列的线性组合。例如上面的例子:
方程的解就是矩阵A中各列前面的系数。
下面推广到更一般的情况,我们以矩阵A的不同情况来看解的结构(假设矩阵A为m*n的矩阵,秩为r):
1、r=n<m,即列满秩(所有列都有主元)
由于所有列都有主元,则自由变量的个数为0,矩阵A的零空间中只有零向量。Ax=b的解的个数为0个或者1个.
2、r=m<n,即行满秩(所有行都有主元)
由于所有行都有主元,消元后不会出现全为0的行,则Ax=b有无穷多解。且自由变量的个数为n-r,矩阵A的零空间中不只有零向量。
3、r=m=n,即列、行都满秩(矩阵可逆)
由于列、行都满秩,则具有列满秩,行满秩的一些性质:零空间只有零向量,方程总有解且解唯一。
Ax=b有无穷多解或则没有解。
从上面的四种情况的讨论,我们可以总结如下:
如果想看一个线性方程组的解的情况,我们可以通过高斯消元法得到矩阵A的最简形式R,R的可能情况如下:
这四种情况分别对应的解的情况为: