不定积分应该明白吧 你这么想 把x忽略 单纯求左边的不定积分 所以右边就得加个常数C。一阶微分方程一般来说都是在x的那边加常数C 但是不一定就单独是个C 得根据题目来看，是可以变化的 比如说去绝对值什么的，C需要变化

声明：本文为原创文章，首发于微信公众号“湖心亭记”

微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。

首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。

具体方法简述：将要证明的式子整理为 （一般不包含分式），然后令 ，对两边式子分别积分，则有 ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。

说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。

还不懂？没事，举两个例子。

例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 ，证明：在（a,b）存在 ，使得

解析：这是非常常见的一道题。估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。

首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：

好，对上式两边进行积分，如下：

所以我们要寻找的辅助函数就为：

于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点 ，使得 ，也就是：

整理便可得题目中的式子，因此原题得证。

注：原函数法特别适合所证式子中包含f(x)和g(x)两个函数的情况。

例2：拉格朗日中值定理的证明。

解析：教材上给出了一种辅助函数的构造方法。其实我们利用原函数法完全可以找到另一种辅助函数。

分析式子 ，整理为 ，两边同时积分，得到 。因此 就是我们要找的辅助函数。是不是跟教材上的那个不太一样啊。没关系，我们来验证下。

因此满足罗尔定理，拉格朗日得证。

方法简述：将所证明的表达式 看成是微分方程 ，从中求解F（y,x）=0，然后忽略掉常数项，替换为F(f(x),x)就是我们要找的辅助函数了。

运用该方法，关键在于构造的微分方程比较容易求出f(x)。举个例题，如下：

解析：先将式子进行整理为 ，那么这是一个很简单的微分方程了 。学过微分方程的应该都会做，分离变量嘛。如下：

也积不出什么函数出来。

这个时候我们可以使用上面的表格（其实表格不必死记硬背，经常看看有个印象就行）。我们对照下所证表达式，是不是跟第四行的原式那一列非常相像，从而所构造的辅助函数就为F(x)=f(x)*e^g(x)。

因此，我们构造函数F(x)=f(x)*e^g(x)，根据题目易得F(a)=F(b)=0，那么根据罗尔定理就有在(a,b)上存在一点 使得 ，即 ，我们约去 ，就得到 ，题目得证。

特别说明：具体题目使用哪一种方法呢？没有特别规定的情景，说不定一道题三种方法都行得通。但是这三种方法不是万能的，题目无穷无尽啊，很难找到能够适用于所有题目的方法。

然而上面的方法虽然不是万能的，但在做题时却能给我们指明方向，带来一些灵感。下面笔者就再举一个例题来说明这种情况吧。

那么我们可以发现所构造的辅助函数应该为 形式。也就是说虽然原函数法没有给出我们具体的辅助函数是什么（因为c和k没法求出），但是给出了我们构造辅助函数的方向，这是相当宝贵的！

好，那么我们的重点就应该看看 中的c和k要怎么来找出来。进一步观察辅助函数形式，其实就为f(x)与一条直线的和，因为cx+k就是一条直线啊。那么就给我们一个启示，往题目中的已知条件中来找寻这条直线。显然题目暗示的已经很明显了，就是直线AB。

有同学奇怪这么为什么将加号换成了减号呢？在此时的方法中笔者是根据经验来的，往往就是减号（但在同济版高数教材拉格朗日定理证明中有另一番解释，感兴趣者可回看）。即使你在这里按部就班的构造成F(x)=f(x)+y，在下面的分析中会发现还是得回过头将这里的加号改为减号。这里笔者为了篇幅，就直接根据经验来了。

好了，辅助函数找到了。经验告诉我们，题目让证二阶导数点为0，那么势必要两次运用罗尔定理。题目也给出了非常明确的暗示了，就是先在(0,c)上和(c,1)上先分别运用罗尔定理。那么就必须有F(0)=F(c)和F(c)=F(1)，也就是说必须有F(0)=F(c)=F(1)。那么到底有没有呢？我们来验证下。

然而F(c)=f(c)- [f(1)-f(0)]c-f(0)却一时半会判断不出来是否为0。这个时候就有同学开始着急了，觉得是自己想错方向了。别急，也别放弃。因为显然题目中的已知条件你还没用完啊。点C在直线AB上，这个条件你还没用呢！！又这个条件可得[f(1)-f(0)]c=f(c)-f(0)。代入F(c)的表达式，就有F(c)=0.

那么我们首先在(0,c)上和(c,1)上各用一次罗尔定理，就有在（0,c）上存在 使得 ，同时在（c,1）上存在 使得 ，那么再在 上运用罗尔定理，就得到在 上有一点 ，使得 ，题目得证。

解法二：有的同学嫌两次利用罗尔定理麻烦，而且如果不会用原函数法来寻找思路方向。那么没关系。我们完全可以根据对题目的深入剖析来得到另一种较好的思路。

我们根据题目中对三点A、B、C的状态描述，来尝试画出f(x)的大概草图。会发现只能如下所示：

那么大家观察这个图，尤其是图中三条平行的红线直线，想到了什么？？熟悉拉格朗日中值定理的几何意义的都会知道，这分明跟拉格朗日中值定理的几何意义图示一模一样啊。

其实再仔细观察思考下，拉格朗日中值定理的几何意义是以A到B为长度来描述的，而且只是表述了存在一根红线与AB平行。然而正如上图所画，实际上是存在两根红线与AB平行的。按照朗格朗日，一根红线可以得到一个 ，即根据 得到。那么两根红线应该能得到两个 ，而且还是两个不同的 。怎么得到呢？变通下，不再以AB为长度了，分别以AC和CB来做拉格朗日不就行了嘛。而且题目也暗示了很明显了，摆明让我们一C作为分段点来做。

因此我们按照方向，就分别有如下结果：

好了，题目让证明二阶导数点为0，显然应该有 。那么他俩等于不等于呢？稍加思考就会发现铁定等于啊。因为 和 表示的都是直线AB的斜率啊，肯定是相等的！！

于是问题已经得到证明了。剩下的步骤我就不写了。

说明：其实问题分析到这个地步，题目的意义已经很明显了，说白了，就是如果二阶导数存在，拉格朗日中值定理中隐含了存在二阶导数为0的点。而题目就是要我们证明这个隐含条件而已，本质上还是属于拉格朗日中值定理的一部分。