第五章 Pólya计数理论

1. 计算（123）（234）（5）（14）（23）,并指出它的共轭类.

解：题中出现了5个不同的元素：分别是：1，2，3，4，5。即|Sn|＝5。

（5）（12）（34）的置换的型为1122而Sn中属于1122型的元素个数为个其共轭类为

（5）（14）（23），（5）（13）（24），（1）（23）（45），（1）（24）（35）， （1）（25）（34），（2）（13）（45），（2）（14）（35），（2）（15）（34）， （3）（12）（45），（3）（14）（25），（3）（15）（24），（4）（12）（35）， （4）（13）（25），（4）（15）（24）

2. 设D是n元集合,G是D上的置换群.对于D的子集A和B,如果存在??G,

设在σ的作用下，A的元素在B中的个数为i，则

1若没有其他置换，则G诱出来的等价类个数为l=[n?(n?2i)]?n?i

23. 由0,1,6,8,9组成的n位数,如果把一个数调转过来读得到另一个数,则称这两

个数是相等的.例如,0168和与0680是相等的.问不相等的n位数有多少个？

解：该题可理解为相当于n位数，0，1，6，8，9这5个数存在一定的置换关系

g1为不动点置换，型为1n；为5n；

（1） n为奇数时12 ，但是只有中间的数字是0，1，8的时候，才可能调

转过来的时候是相同的，所以这里的剩下的中间数字只能是有3种。

n2（2） n为偶数时 2 ，个数为 5 该置换群的轮换指标为

4. 现有8个人计划去访问3个城市,其中有3个人是一家,另外有2个人是一家.

要求f在每块中的元素取值相同。对于{d1,d2,d3}，可以取α3＋β3＋γ3模式；对于{d4,d5 }，可以取α2＋β2＋γ2模式；对于{d6},{d7},{d8}，可以取α＋β＋γ模式.所以，总的模式为

（α3＋β3＋γ3）（α2＋β2＋γ2）（α＋β＋γ）3

5. 对正立方体6个面用红、蓝、绿3种颜色进行着色,问有多少种不同的方案？又问3种颜色各出现2次的着色方案有多少种？ 解：正立方体6个面的置换群G有24个元素，它们是：

（1） 不动的置换，型为16，有一个；

（2） 绕相对两面中心轴旋转90°，270°的置换，型为1241，有6个；旋

转180°的置换，型为1222，有3个； （3） 绕相对两顶点连线旋转120°，240°的置换，型为32，有8个； （4） 绕相对两边中点连线旋转180°的置换，型为23，有6个。 所以，该置换群的轮换指标为 PG（x1,x2,…,x6）=等价类的个数为

(r?b?g)?6(r?b?g)]其中，红色、蓝色、绿色各出现2次的方案数就是上述展开式中r2b2g2项的系数，即

红色,其余为蓝色,问有多少种方案？ 解： 其置换群为：

不动置换：型为 19，1个

沿中间格子及其对角线方向做旋转的置换：型为1323，4个 旋转90°和240°时的置换：型为1142 ， 2个 旋转180°时的置换 型为1124， 1个

8我们设定x为红色，1为蓝色，即转化为求x2的系数 （1） 对应于19，（1＋x）9中x2项系数为C(9,2)=36； （2） 对应于1323，4(1＋x)3(1+x2)3中x2项系数为：

7. 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行着色.试问有多少种不同的方案,旋转

使之重合作为相同处理.

解：对该正六角形的6的顶点的置换群有12个，它们分别是：

(1) 不动点置换，型为16，有1个；

(2) 旋转60°和300°的置换，型为61，有2个；旋转120°和240°的置换， 型为32，有2个； 旋转180°的置换型为23有1个； (3) 绕对角连线旋转180°的置换 ，型为1222，有3个； (4) 绕对边中点连线旋转180°的置换，型为23，有3个。

所以，该置换群的轮换指标为

16!(5?)?150 122!1!1!1!1!8. 在一个有7匹马的旋转木马上用n种颜色着色,问有多少种可供选择的方案？

（旋转木马只能转动不能翻转） 解： 设想另一个正7边形与不动的正7边形完全重合，并且顶点标记相同，那

360?么绕中心旋转i（1≤i≤7）角度，使得能够与不动的正7边形重合。它

9. 一个圆圈上有n个珠子,用n种颜色对珠子着色,要求颜色数目不少于n的方

案数是多少? 解：（1）不动点置换有一个；

360?（2）绕中心旋转i（1≤i≤n）角度，使得能够与不动的环重合。它对应

n的置换是：n1 共(n－1)个；

（3）把n为奇数、偶数分两种情况分析： i)

n为奇数时：沿一颗珠子和其他剩余珠子的平分线绕180°，对应的置换是121n?12共

ii) n为偶数时：沿珠子平分线绕180°，对应的置换是2，共个。 故其轮换指标为

方法1 6个面分别标上不同的点数，相当于用6种不同的颜色对它着色，

并且每种颜色出现且只出现一次，共有6！种方案。但这种方案经过正立方体的旋转可能会发生重合，全部方案上的置换群G显然有24个元素。由于每个面的着色全不相同，只有恒等置换σI 保持6！种方案不变，即c1(σI)=6!，c1(p)=0（p≠σI）。由Burnside引理知 l?11?c1(?)=(6!?0???0)?30 G??G24方法2 在习题5中已求出关于正立方体6个面的置换群轮换指标，如果用m种颜色进行着色，则不同的着色方案数为

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