若m=n 称为n阶方阵 若 A = 0 ，则 矩阵中任意元素为零

2、矩阵乘以k（≠0），矩阵中所有元素乘以k

 C中任意元素cij 为 A的第i行与B的第j列 乘积和

（内标相同可乘，外标相等确定型）

矩阵相乘可以因式分解，但要注意AB 不一定等于 BA

将矩阵A的行列互换所得的矩阵，叫做转置矩阵 记 A^T

方阵 的各元素的代数余子式 所构成的如下矩阵A* ：

2、二阶矩阵伴随矩阵的求法：主对角线互换，副对角线变号

6、逆矩阵(矩阵的逆理论）

1、可逆矩阵的逆矩阵是唯一的 2、n阶矩阵A可逆等价于： ③A的行/列向量组线性无关 ⑤A 等价于 单位矩阵 4、矩阵A、B等价的充分必要条件为：存在可逆矩阵P、Q，使得 PAQ = B 1、若有零行，则零行一定在最底下 2、非零行主元的列下标随着行下标的增大而严格增大

最简行阶梯矩阵或行最简矩阵
如果还满足：非零行主元为 1 ，且主元所在列的其他元素都为零 0 ，称为行最简矩阵

1、互换矩阵的某一行/列 2、用非零数 k 乘以矩阵的某一行/列 3、将 矩阵某行/列的 k 倍加到另一行/列

矩阵等价：若 B 是由A 经过 有限次的初等变换得到，则 B 与 A 等价

初等矩阵： 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

1、用初等矩阵P左乘矩阵A，相当于对A做一次初等行变换；
 、用初等矩阵P右乘矩阵A，相当于对A做一次初等列变换；
 Pij：对调两行/两列
 Pi(k)：将第i行列 乘以不为零的数k
 Pij（k）：左乘-将第j行的k倍加到第行；右乘-将第i列的k倍加到第j行
 
 2、初等矩阵可逆，其逆是同类型的初等矩阵
3、矩阵经过初等变换后，秩不变

矩阵的逆理论—见逆矩阵

一、定义：对矩阵A， 取n行与n列，相交的部分组成A的一个n阶子式Dn*n，
①存在n阶方阵D，|D|≠ 0；

称A为非奇异矩阵 或者 A满秩

2、求法：矩阵阶梯化 化为 行阶梯矩阵 最后有n个非零行 r(A) = n

r(A) ＝2 ， 至少两行不成比例

线性代数是教资科目三的一块，相对较独立，这里简单的讲一下，主要争对教师资格证的考试。下面的一些说法可能不是很恰当为了方便记忆。

行阶梯矩阵和行最简形矩阵

非齐次线性方程组的解法

行列式，要记住它表示的一个数。常用字母D表示。

由n行和n列的数组成的，然后外面是两个竖线，像绝对值一样，你可以看作是一种运算，运算的结果是一个数。记住怎么运算：按行或按列展开，每一项和它的代数余子式乘积的和。

M12就是除去第一行和第二列的剩下的数组成的行列式。

这是一个逐步降阶求解的过程。比如从5阶行列式变成四阶行列式再变三阶。。。上面是用数学归纳法来定义的，没有用到逆序数等知识，教资考试这样理解就差不多了。

所以从运算法则看，二阶行列式为什么是对角线法则，主对角线相乘减去副对角线相乘。三阶行列式也一样，主对角线相乘的和减去副对角线相乘的和。都是上面定义的一个简单证明就可以得到。

某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。

知道行列式的结果是一个数，常用字母D表示

运算规则是按行（列）展开，一行中每一项和它的代数余子式乘积的和

掌握二阶和三阶行列式的运算，主对角线和减去副对角线和

掌握行列式的性质，记住交换两行变号，（这里和后面矩阵初等变换易搞混）

注意，某行的所有元素公因子可以提到行列式外面，而不是把公因子直接约去，这里很容易和后面的矩阵变换搞混。

注意，某行的元素乘以同一个数加到另一行，行列式的数值不变。

这里注意，哪行是变动的，哪行是不变的，不能搞错了。

上面的性质是为了简化行列式求值用，也就是行列式的初等变换

请证明：某行元素与另一行的代数余子式乘积之和为0。 （下面伴随矩阵和逆矩阵的性质有用到这个结论。）

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其实行列式的几何意义，二维空间里是两个向量围成的面积，三维是体积，有正负。

再用几何意义来理解行列式的几条性质：

三维空间里，行列式的几何意义是体积，我们这里来试着理解为什么向量的叉乘可以用行列式来计算。

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结果为主对角线的元素乘积，即a11a22。。。ann

行列式化简的过程，就是尽量往对角行列式靠拢

现在考试都会考四阶的行列式。

2020年下半年真题：

上面一个四阶行列式，上面的解法是把2，3，4列加到第一列都变成16。其实也可以按常规做法来，r2-r1*3，r3-r1*5，r4-r1*7，再一步步做

上面的这道题目，看着像范德蒙德行列式，但是最后一个数字多了1。需要拆成2个行列式来做，一个是范德蒙德行列式，一个是普通行列式。

还有一个克莱姆法则的知识点等下面再讲。

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由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

矩阵其实是一个数表，它表示一堆数，常用字母A表示。实际书写着我们用大括号把这些数括起来。

同型矩阵，如果这两个或者两个以上的矩阵的行数和列数都相同，A=[aij]mxn,B=[bij]mxn

相等矩阵，行数与列数都相等，对应位置的元素相等

对角阵（方阵），只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，或说若一个方阵除了主对角线上的元素外，其余元素都等于零，则称之为对角阵。

单位矩阵E（方阵），主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，通常用I或E来表示。

在矩阵的乘法中，单位矩阵E着特殊的作用，如同数的乘法中的1。任何矩阵与单位矩阵相乘（可以相乘的前提下）都等于本身，而且单位矩阵因此独特性在高等数学中也有广泛应用。

加法，针对同型矩阵，A+B=[aij+bij]mxn，其（i,j）位的元素为A与B的（i,j）位元素之和

数乘，与每个元素相乘。这里注意和行列式的区别。

矩阵与矩阵相乘，（m*s，s*n---m*n)，得到的还是一个矩阵。

矩阵表示一堆数，常用字母A表示，由m行n列组成的数表。

矩阵根据行和列的数量关系，有方阵，行矩阵，列矩阵。可以相加的是同型矩阵，即行数和列数都相同。方阵里，又有两个特殊的矩阵，对角阵和单位矩阵。

矩阵的运算，加法（同型矩阵），数乘和乘法。乘法不满足交换律，两个矩阵位置不能随意交换。单位矩阵E满足交换律。

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主要是选择题考察，第4个性质可以用下标行和列来看

矩阵行列式是指矩阵的全部元素构成的行列式，设A=(aij)是数域P上的一个n阶矩阵，则所有A=(aij)中的元素组成的行列式称为矩阵A的行列式，记为|A|或det(A)

第二条性质，我们知道矩阵A的数乘是将λ乘进每个元素里，那么求这个矩阵的行列式的时候，想要将λ提到外面，每一行提取一个λ，一共提取n个λ，所以是λ的n次方。

第三条性质，由拉普拉斯定理行列式的乘法规则来证明，不用管怎么来的，记住。

n阶方阵，AT=A，即矩阵的转置等于该矩阵，则称A为对称矩阵。主对角线为对称轴。

AT=-A，则称A为反对称矩阵

伴随矩阵：用A*表示 n阶方阵A 为接下来的逆矩阵做铺垫

注意，将某元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵，再进行转置。

或者将矩阵先转置，再将各元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵。

二阶方阵的伴随矩阵：用定义法

n阶方阵，设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。记作：用右上标-1来记作某矩阵的逆矩阵

转置矩阵，重要的一条性质，记住（AB）T=BT AT

方阵的行列式，重要的一条性质，记住|AB|=|A| |B|

对称矩阵，以对角线为对称轴，两边的元素关于对角线对称。矩阵的转置等于原矩阵。

反对称矩阵，以对角线为对称轴，两边的元素关于对角线互为相反数。矩阵的转置等于原矩阵乘以-1

伴随矩阵，将某元素的位置替换成该元素的代数余子式，得到的矩阵，再进行转置。伴随矩阵的重要性质

逆矩阵，一个矩阵A和另一个矩阵B相乘等于E，B叫A的逆矩阵，记作A-1。存在可逆的条件是|A|不等于0。

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如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B称为等价。在初等变换的过程中A与B的秩相等。

矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。考试时只用按行变换做。因为后面的有些运算只能进行行变换。

在矩阵A中有一个不等于0的 r 阶子式D，且所有（r+1）阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式。数r称为矩阵A的秩，记作R（A）=r。

矩阵的子式是在矩阵中选k行选k列后,交叉点上的元素保持相对位置不变构成的一个行列式。

这是一个3*4的矩阵，先看它最高阶的子式（也就是最高阶行列式），是3阶行列式（行列式是n行n列的）。那么3*4的矩阵有几个3阶行列式呢，由排列组合得到C（3，3）*C (4，3）=1*4=4 （前面一个数字是下标，后面一个数字是上标）。看了下这四个子式结果均为0（因为有两行对应成比例）。再看2阶子式，只有存在（exit)一个不为0就可以了。选取一个发现不等于0，所以根据定义得出该矩阵的秩为2。

这是根据定义法求矩阵的秩，一般用到这个方法比较少。我们一般通过矩阵的初等变换来求。

再回到上面的矩阵初等变换。初等变换的过程中，矩阵的秩是不变的，得到的矩阵是等价的。

这里有两个概念很容易混淆。一个是系数矩阵的秩R（A），是系数组成的向量组的极大线性无关向量的个数。而方程的基础解系的个数是 未知数的个数-R（A），而不是系数矩阵的秩R（A）。但是基础解析的个数可以理解为解向量组的秩，极大线性无关解向量的个数。

简单的方法就是，你不用记这么多，你只要把系数矩阵化简到行最简阶梯矩阵，把未知数x1，x2。。。代入整理，你就可以把这个方程解出来了。下面看一个例题：

非齐次线性方程组的解法

和齐次线性方程组的解法类似

AX=b，η0为该方程的一个特解，ξ为AX=0的通解，那么AX=b的通解为η0+ξ

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩不等时，无解

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩是相等且等于未知数的个数时，有唯一解

当系数矩阵A和增广矩阵（A | b）的秩相等且小于未知数的个数时，有无穷多解，要求通解

2020年下半年教资初中数学真题：

2021年上半年真题：有3道线性代数的题目，而且都和线性方程组有关。

克莱姆法则针对n*n阶的方程组。 一般解方程组都是用化简到行最简形矩阵来求解，比较少用到克莱姆法则。克莱姆法则适用一些特殊的方程。

这题如果用矩阵变换或者用初中的知识来做，更简单

化简后，可以看出x1，x2.。。x（n-1）均为0，xn等于2。

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有没有一个向量，它是比较特殊的。当我们对它进行初等变换后（也就是左乘某个矩阵），它的方向没有改变只是长度变了，换句话说就是和原来的向量共线。用式子表示即Mα=λα。 M为方阵

我们称这样的向量α为矩阵M的特征向量，λ为矩阵M的特征值。

一个方阵是几阶，就有几个特征值。

若有可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似，记作A~B。P被称为把A变成B的相似变换矩阵。

相似矩阵有相同的行列式和秩。

二维向量的长度，即向量的模，|a|=√a1^2+a2^2

在平面里，我们知道只需要2个不共线（线性无关）的向量就可以表示所有向量。在立体空间里，只需要3个不共线的向量就可以表示所有向量。

两两线性无关的向量中，有一种是特殊的，那就是正交即垂直。我们把这种基叫做正交基。在正交基的基础上进行单位化，得到标准正交基。这个过程叫做施密特正交化。

正定二次型，负定二次型

f=xTAx大于0是正定二次型，大于等于0是半正定二次型，小于0是负定二次型

判断正定二次型：A的各阶主子式的行列式都为正

判断负定二次型：A的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正

线性变换是一种怎么样的变换呢？线性变换后仍满足加法运算和数乘运算。这里的线性你可以理解为满足加法运算和数乘运算。

设V与U是二个线性空间，T是从V到U的一个映射，若这个映射保持线性运算规则不变：即 T(α+β)=T(α)+T(β)、T(λα)=λT(α)，那么就称T是从V到U的线性变换。

教资的题目，一般是一个二维向量，在一个线性变换下（左乘一个矩阵）变成另一个向量。原来向量里的元素满足一个方程关系，求变换后的元素满足什么方程关系。看下面这道真题：

在求一个向量组中的最（极）大线性无关时,为什么是进行初等“行”变换的问题.
在求一个向量组中的最（极）大线性无关时,可以将向量组中的向量按列构成矩阵将矩阵；用初等行变换化成 阶梯形；则非零行的首非零元所在列对应的向量即构成.
为什么是行变换而不是列变换?行变换不是破坏了每个列向量么?