大一数学分析,度量空间相关,求闭包
ps：笔记上的字太烂看不清……第二小题隐约写着“道路通”(?),有大神帮忙猜一下是什么题再给个答案就最好不过了.没有也无所谓了……
总之请附上过程,十分感谢——

 要把f(x)理解成代数式的话，可以这样做：
首先考虑多项式环R[x]，里面每个元素f(x)=r0+r1x+r2x^2+。。。+rnx^n看成是代数式(i。e。 x没有意义，就是一个符号,formal expression), 可以定义f'(x)等于正常的导函数r1+2r2x+。
 。。+nrnx^(n-1)。这个是个定义，在多项式环里这个定义有很多用处，印象中有个定理和这个有关，具体想不起来了。
同样我们可以考虑以R为系数的级数作为一个环R[[x]]，同样，所有的元素是级数sum_{i=0}^\infty rix^i，我们可以定义它的导数等于sum_{i=1}^\infty i*rix^(i-1)。
 i*ri还是环里的元素，所以这个导数确实把R[[x]]映射到R[[x]]。这个在有些地方也有用。
注意我们在R[x], R[[x]]上定义的所谓“导数”，跟正常的导数公式一样，但是并不代表二者一样。我们可以认为这种导数就是代数式的导数（formal derivative)，并不是从微积分极限来的。但是它满足一般导数的很多性质。
举个例子，我提到了这种代数式导数在环上有些应用。
 大概有个定理的思路是这样的：如果一个多项式p在R[x]里，如果p有两个R里的重根，那么我们可以写成p=(x-a)^2*g, 那么考虑p的导数，p'=2(x-a)g+(x-a)^2g'，观察到p'(a)=0。利用这个类比得到p'和p的一个定理，具体细节忘了。
 这里p就是一个代数式，系数是某个环里的元素(R可能是Z,Q,{0,1}。。。)，没有办法从微积分的角度定义它的导数。但是，因为我们定义的代数式导数有很多和一般导数类似的性质，我们可以利用这些性质来解决问题，这就是代数式导数的意义。