数量关系题目是多数同学备考的难点，而在数量关系中排列组合问题又因其出题方式的多样性常常居于“被放弃”的地位。其实排列组合问题当中有很多考察点其做题思路是比较固定的，只要我们在学习过程中多加总结、记忆与练习，对于部分题目是可以短时间求解出来的。今天，小编就给大家介绍一个排列组合中的不同元素分组问题。

　　一、不同元素分组问题

　　1. 不均匀分组问题

　　将不同元素分成若干组，若各组内元素数均不相同，则采用逐组挑选法。

　　2. 均匀分组问题

　　将不同元素分成若干组，若有k个组内元素数相同，则在逐组挑选法的基础上除以消除重复。

　　【例1】将4本不同的书，分成两组，每组至少一本且数量互不相同，则有多少种分组方式(　)。

　　【解析】4本不同的书分成数量不同的两种，那只能是一组1本，一组3本。不同元素不均匀分组问题，采用逐组挑选法。首先从4本不同的书中选1本作为第一组，种情况，再从剩下3本中选3本作为第二组，种情况。分步用乘法，一共有种情况。选择B选项。

　　【例2】将4本不同的书，平均分成两组，则有多少种分组方式(　)。

　　【解析】4本不同的书平均分成两组，那也就是每组2本。有2个组内元素数相同，属于均匀分组问题，需要在逐组挑选法的基础上除以。首先从4本不同的书中选2本作为第一组，种情况，再从剩下2本中选2本作为第二组，种情况。逐组挑选完毕，再除以，一共有种情况。选择B选项。

　　在这两道题目中，例1的不同元素的不均匀分组情况，采用逐组挑选法很好理解。关键问题是例2均匀分组时，有2个组内元素数相同，为什么要除以。在这里简单说明一下。比如说这4本不同的书我们分别用甲乙丙丁来表示。分组情况如下表：

　　在表格中，我们可以发现第一种和第六种，斗志甲乙一组，丙丁一组，从分组情况上来说并无区别。第二种和第五种都是甲丙一组，乙丁一组，从分组上来说并无区别。第三种和第四种都是甲丁一组，乙丙一组，从分组情况上来说并无区别。所以是两两重复的。而两两重复我们可以理解为是把两组排了第一组和第二组两个不同的位置产生的，也就是有种重复的情况，所以最后要在逐组挑选的基础上除以。平均分成2组，会有种重复情况存在，同理，我们可以知道，平均分成k组，会有种重复情况存在。所以将不同元素分成若干组，若有k个组内元素数相同，则在逐组挑选法的基础上除以消除重复。

1、（排列）4个不同的元素，任取2个排列， C42 * 2！= 12

2、（组合）4个不同的元素，任取2个组合， C42=6

3、（排列）9个元素，3个组成一个联盟，可以组成多少个联盟？ C93 =84

4、（组合）1-9共9个号码，任取三个，可以组成多少个三位数？ C93 * 3！=504

5、（相邻捆绑法）3个三口之家，同排连坐9个，每家人都坐在一起，做法共有多少个？ 3!*3!*3!*3!

6、(相邻捆绑法) 3个四口之家，同排连坐12个，每家人都坐在一起，两小孩再父母之间，有多少种？ （2！*2！）*（2！*2！）*（2！*2！）*3！

7、（相邻捆绑法 +剩余法） 1-5组成组成无重复数字5位数，恰有两个偶数夹在1，5两个奇数中间，这样5位数有多少个？ 2！*2！*2！=24种

8、（相间插空法）晚会节目3舞蹈，4其他，舞蹈不能连续出场，则出场顺序有多少种？4！ *C53*3! __先其他，五个空里查三个，排序！

9、（相间插空法 + 关灯模型） 一排N盏灯，关掉K盏灯，不能同时熄灭相邻的灯，共有多少种熄灭方法？ C(N-K+1)(K)

10、（详见插空法+关灯模型）8栈照明灯，同时灭掉3栈，不能同时灭掉相邻的灯，共有多少种熄灭的方法？ C(8-5+1)3 六个空挡插三个空挡

11、（相邻不相邻同时出现） 7人一排，甲乙相邻，丙丁不相邻，不同排法共有多少种？C52*2!*2!*4! (甲乙相邻2！， 丙丁不相邻所以用插空法， 5个空挡， 4个元素 4个元素全排列4！)

12、（相邻不相邻同时出现）7人一排，甲乙不相邻，甲丙不相邻，不同排法共2!4!C52*2!+4!C53*3!=960+240*6=960+种 思路：乙丙相邻+乙丙不相邻

13、 （相邻不相邻同时出现）3男3女共6人站一排，恰有两个女生相邻的不同排法有C32*2！*3！C42*2！=432——看似是相邻问题，其实暗含一个女生与其他两个不相邻问题， 先相邻捆绑法，再其他元素排序，4个空插2个空，排序。

14、 （相邻不相邻同时出现）3男3女共6人站一排，恰有两个女生相邻且恰有两个男生相邻的不同排法有C32*2！C32*2！2！2！*2=36*8=288种——男女生分别捆绑后四个元素，ABAB或BABA两种放最后，两个A处排列，两个B处排列放中间。

15、 （两类都不相邻-偶数）3男3女共6人站一排，男生不相邻，女生也不相邻，不同排法有3！3！2=72种——ABABAB或BABABA两种情况，男生排序，女生排序

16、（两类都不相邻-奇数）4男3女共7人站一排，男生不相邻，女生也不相邻，不同排法有4！3！=24*6=144种——只能男生在两端

17、 （两类都不相邻-奇数）4男3女共7人站一排，男生不相邻，女生也不相邻，不同排法有4！3！=24*6=144种——只能男生在两端

18、（ 两类都不相邻-奇数）1-9取2个奇数，2个偶数，组成无重复数字四位数，要求奇数不相邻偶数不相邻，C52C42*2*2！*2！=480种——奇数选出，偶数选出，有ABAB与BABA两种，A和B分别排序。

19、 （隔板法）10个名额，分给7个班，每班至少一个，分配方案有C96=C93=84种——下脚10-1，上脚7-1

20、 （隔板法）18个名额，分给7个班，每班至少两个，分配方案有C10 6=C10 4=210种——下脚18-7-1，上脚7-1，与11个名额，分给7个班，每班至少一个，一样

23、 （隔板法）10块相同糖分给4个小朋友，如果每人至少分1块糖，共n种方法，如果允许有人没分到，则有m种分法，m-n=C13 3-C 9 3=202

24、 （重复元素方幂法）5人报名3项不同培训，每人只报1项，不同的报法有3的5次方=9*27=243种

25、 （重复元素方幂法）5人报名3项不同培训，每项比赛只能1人夺冠， 则不同的冠军方法数5的三次方=125种

26、 （对号与不对号）1-5编号的球，1-5编号的盒，每个盒子放一个球，恰有1个球与盒子编号相同，这样的投放方法总数为C51*9=45——4个不对号有9种，可能的盒子有C51种

27、 （对号与不对号）1-5编号的球，1-5编号的盒，每个盒子放一个球，至少1个球与盒子编号相同，这样的投放方法总数为C51*9+C52*2+C53*1+1=45+20+10+1=76种 思路：①正面：1球相同4球不同，2球相同3球不同，3球相同2球不同，4-5球相同②反面：5！-44=76

28、 （对号与不对号）1-5编号的球，1-5编号的盒，每个盒子放一个球，至多 1个球与盒子编号相同，这样的投放方法总数为44+C51*9=44+45=89 思路：①正面：0球相同5球不同，1球相同4球不同②反面：5！-C52*2-C53*1-1=89

29、 （对号与不对号）1-5编号的球，1-5编号的盒，每个盒子放一个球，至少2个球与盒子编号相同，这样的投放方法总数为C52*2+C53*1+1=20+10+1=31 思路：①正面：2球相同3球不同，3球相同2球不同，4-5球相同②反面：5！-44-C51*9=31

30、 （对号与不对号）1-5编号的球，1-5编号的盒，每个盒子放一个球，至多2个球与盒子编号相同，这样的投放方法总数为44+C51*9+C52*2=44+45+20=109 思路：①正面：0球相同5球不同，1球相同4球不同，2球相同3球不同②反面：5！-C53*1-1=109

31、 （对号与不对号）6位老师分别教6个班，期末考试监考时，恰有2位老师监考自己的班，这样的监考方法有C62*9=15*9=135种

32、 （对号与不对号）6位老师分别教6个班，期末考试监考时，至少2位老师监考自己的班，这样的监考方法有C62*9+C63*2+C64*1+1=135+40+15+1=191 思路：2位自己班4位不是，3位自己班3位不是，4位自己班2位不是，5-6位自己班

33、 （穷举法）9张卡片上写1-9，从中取出3张，使得和为9，则有126、135，234共3种取法

36、（排座位）5人一排，其中甲在排头或乙在排尾，不同的排法有4！+4！-3！=42种 思路：A或B=A+B-A且B

37、（排座位）5人一排，其中甲在排头，乙在排尾，不同的排法有3！=6种

38、（多排座位）8人两排，每排4人，甲乙前排，丙丁后排，共有C42*4！*4！=24*24*6=3456种排法。

39、（多排座位）8人两排，每排4人，甲乙前排相邻，丙丁后排不相邻，共有C42*3*2！2！C32*2！=72*6=432种排法——选出2个放在一排，甲乙相邻3种排法，剩下两个随便排，丙丁不相邻插空另外两个，另外两个先排序，3个空插两个，丙丁排序

40、（环排座位）8人围桌而坐，共有7！种做法——先选定一个，在把其他排序

41、（全能元素）8名志愿者，4英语，3法语，1即可英语又可法语，现在选3人，确保英语法语都有C72+C42C31+C41C32=21+18+12=51 思路：①有全能元素一种情况其他随便选，没全能元素两种情况英1法2或英2法1②C83-C43-C33=56-4-1=51

45、（数字问题）02345五个数组成无重复数字三位数，偶数共有4*3+C21*3*3=12+18=30——0为尾数，其他偶数为尾数

46、（数字问题）02345五个数组成无重复数字三位数，能被5整除共有4*3+3*3=12+9=21——0为尾数，5为尾数

47、（配对问题）10双不同鞋子，任取四只

48、（分组分堆）6本不同书，平均分3堆，共有C62C42/3!=15种分法

49、（分组分堆）6本不同书，分3堆，分别有4，1，1本，共有C64C21/2!=15种分法

50、（分组分堆）9人平均分成3组，每组3人，则

（1）甲乙在同一组有C71C63/2！=70种分法

（2）甲乙丙在同一组有C63/2!=10种分法

（3）甲乙在同一组且与并不在同一组共有C62C41=15*4=60种分法

51、（分组分堆）3男3女共6人平均分成3组，要求每组都是异性的分法共有3！C31C21/3=6

52、（分组分堆）3男6女共9人平均分成3组，要求每组1男2女的分法共有3！C62C42/3!=60

53、（分配法）3个教师分到6个班任教，一人教4个班，另两人各教1个班，则共有C64C2*3!/2!=180

54、（分配法）4封不同的信投入3个不同邮箱，每个邮箱至少投一封信，则共有C42C21*3！/2!=36

55、#21个排列组合题#

（分组分堆）6本不同的书按照1本、2本、3本分3堆，共有C61C52C33=60种分法

（分组分堆）6本不同的书按照1本、1本、4本分3堆，共有C61C51C44/2!=15种分法

（分组分堆）6本不同的书按照2本、2本、2本分3堆，共有C62C42C22/3!=15种分法

（分组分堆）6本不同的书按照1本、1本、1本、3本分4堆，共有C61C51C41C33/3!=20种分法

（分组分堆）6本不同的书按照1本、1本、2本、2本分4堆，共有C61C51C42C22/2!2！=45种分法

56、（分配法）6本不同的书按照1本、2本、3本分成甲、乙、丙三堆，共有C61C52C33*3！=360种分法

（分配法）6本不同的书按照1本、1本、4本分成甲、乙、丙三堆，共有（C61C51C44/2!）*3！=90种分法

（分配法）6本不同的书按照2本、2本、2本分成甲、乙、丙三堆，共有（C62C42C22/3!）*3！=90种分法

（分配法）6本不同的书按照1本、1本、1本、3本分成甲、乙、丙、丁四堆，共有（C61C51C41C33/3!）*4！=480种分法

（分配法）6本不同的书按照1本、1本、2本、2本分成甲、乙、丙、丁四堆，共有（C61C51C42C22/2!2！）*4！=1080种分法

（分配法）6本不同的书按照甲1本、乙2本、丙3本分配，共有C61C52C33=60种分法

（分配法）6本不同的书按照甲1本、乙1本、丙4本分配，共有C61C51C44=30种分法

（分配法）6本不同的书按照甲2本、乙2本、丙2本分配，共有C62C42C22=90种分法

（分配法）6本不同的书按照甲1本、乙1本、丙1本、丁3本分配，共有C61C51C41C33=120种分法

（分配法）6本不同的书按照甲1本、乙1本、丙2本、丁2本分配，共有C61C51C42C22=180种分法

（分配法）6本不同的书，AB给甲，CD给乙，EF给丙，共1种分法

（分配法）6本不同的书，AB给甲，其余四本平均分给乙丙，共(C42C22/2!)*2！=6种分法

（分配法）6本不同的书按2本、2本、2本分成甲、乙、丙三人，AB分给同一人，共(C42C22/2!)*3!=18种分法

（分配法）6本不同的书按照2本、2本、2本分成甲、乙、丙三人，AB不能分给同一人，共C41C31C22*3！=72种分法——抽一个给A组，抽一个给B组，剩下的，再排序

（分房法）6本不同的书任意分给甲、乙、丙3人，共3的6次方种分法

（分配法）6本不同的书分给甲、乙2人，其中甲至少分一本且乙至少分两本，可能有15，24，33和42四种组合，共C61+C62+C63+C62种分法

（隔板法）6本相同的书分给甲、乙、丙3人，每人至少分一本，共C52=10种分法

（隔板法）6本相同的书分给甲、乙、丙3人，容许有人没分到，共C82=28种分法

（穷举法）6本相同的书分给分给3个相同的盒子，每盒至少有一本，共114，123和222三种组合

（穷举法）6本相同的书分给分给3个相同的盒子，容许有盒子没分到，共006，015，024，033，114，123和222共7种组合