一、求解一阶微分方程的基本思路

1．改写结构，对比标准可求解类型

适当变换微分方程描述形式，比对标准类型方程结构。常用的一阶微分方程的标准类型有：

●可分离变量的微分方程：

具有这种结构的方程可以使用分离变量法求解.

将原方程转换为可分离变量的微分方程求解.

(1) 当Q(x)恒等于0时，为齐次线性方程，使用可分离变量法求解；

(2) 当Q(x)不恒等于0时，为非齐次线性方程，基于对应的齐次方程的通解，使用常数变易法，或者说待定函数法求解；也可以直接利用通过常数变易法得到的通解计算公式直接得到通解。

●伯努利方程：通过两端同时除以yⁿ，将方程转换为一阶线性微分方程求解.

●全微分方程：它的判定和求解方法，使用曲线积分相关的理论与方法求解.

2．变量替换，构建标准类型

对于不符合标准类型的方程，考虑对微分方程进行适当变换后，使用换元法将一阶微分方程dy/dx=f(x,y)的右边项f(x,y)的部分表达式用新的变量表示，或者其中的变量用新的变量表达式替换，将方程转换为一阶微分方程标准类型来求解.

3．对调因变量与自变量

将求解y函数转换为求x函数然后再对比标准类型；如果符合，则使用相应的思路求解；否则，在此思路上，再考虑第二种思路，通过变量替换转换为标准类型求解.

二、可降解的微分方程类型及典型问题求解

可将阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题，针对于一般教材中只讨论了二阶的类型，可以扩展为如下三种类型:

对于这样的n阶微分方程可以采取对右端逐步积分的方法，通过n次不定积分即得到包含有n个相互独立的任意常数的通解。

对于这样的n阶微分方程，可以令u(x)= y(n-2)，从而得到二阶微分方程，即

对于具有这类结构的微分方程，可以令u’=p(x)，将其转换为一阶微分方程

求解该微分方程并结合已知条件得到p(x)，代入u’=p(x)，再一次求解该一阶微分方程，可得u(x)，于是通过求解n-2阶第一类可降阶微分方程y^(n-2) =u(x)即得最终的通解。

对于这样的n阶微分方程，可以令u(x)= y^(n-2)，从而得到二阶微分方程，即

对于具有这类结构的微分方程，由于其不显含有x变量，由于y=y(x)，所以可以令u’=p(u)，从而有u’’=p’(u)*p，将原方程转换为关于u为自变量的一阶微分方程

求解该微分方程并结合已知条件得到p(u)，代入u’(x)=p(u)，再一次求解该一阶微分方程，可得u(x)，于是通过求解n-2阶第一类可降阶微分方程y(n-2)=u(x)即得最终的通解。

三、线性微分方程解的结构与刘维尔公式

n阶非齐次线性微分方程

对应的n阶线性微分方程

1、线性微分方程解的结构

对于线性微分方程具有如下解的结构，解的结构是求解线性微分方程的基础。

C_n)是齐次线性微分方程(**)的通解，y^*(x)是非齐次线性方程(*)的解，则Y(x,

设y₁(x)为二阶齐次线性微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的一个非零特解，则与y₁(x)线性无关的另一个特解可由刘维尔公式计算得到.

四、常系数线性微分方程的求解方法

基于线性微分方程解的结构有如下n阶齐次常系数线性微分方程解的求解步骤与过程：

第一步：写出对应的特征方程

将y换成r，将阶数换成次数(其中0阶导数即0次)，得微分方程(*)的特征方程.

在复数范围内解特征方程，得n个特征根.

第三步：根据特征根，写出n个特解.

第四步：依据线性微分方程解的结构，写出通解

非齐次方程增加如下两步：

第五步：用待定函数法求非齐次微分方程的特解；如果右边函数项f(x)不符合标准类型，则需要借助于叠加原理分解成标准类型求解。

第六步：基于非齐次线性微分方程解的结构，写出通解，即

非齐次的通解=齐次的通解+非齐次的一个特解.

五、解微分方程应用问题的基本步骤

借助微分方程模型求解实际问题的基本步骤：

(1)确定模型类型：注意到实际问题中与数学中的导数相关的常用词语。比如运动学、化学反应中的变化率，速度、速率、加速度，经济学中的边际，生物学、金融、经济等领域中的增长，放射性问题中的衰变以及一般提及的改变、变化、增加、减少等，在几何上则有切线、法线，这样的问题都可能与导数或微分相关，有可能通过建立微分方程模型来反映其规律。

(2)转换描述并统一量纲：梳理出实际问题中涉及到的各种量，并把相关的文字语言描述转换为数学语言与符号描述形式。如果牵涉到的量有单位，则统一量纲。

(3)确定因变量与自变量：根据所求结果，确定与结果相关的两个量，一个为待求函数变量；一个为自变量；而与变化率相关的量即为待求函数的导数。

(4)建立微分方程：分析问题中所涉及的原理或物理定律，根据已有变化率描述；或者借助微元分析法，给自变量一个增量，建立因变量增量与自变量增量相关的等式，并由平均变化率取关于自变量增量趋于0的极限，得到包含待求函数导数的相关等式，即微分方程描述形式。

(5)确定初值条件：根据问题，找出并明确可能的初值条件；值得注意的是：有些初值条件不一定直接给出，可能在问题的解决过程中获得。

(6)写出模型：写出由微分方程和初始条件构成的常微分方程初值问题模型。

(7)求解初值问题：求初值问题的解，给出问题的答案。

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常微分方程习题课参考课件：