4-1　库仑定律　电场强度及其叠加原理

物体所带电荷的多少用电量来量度。在国际单位制（SI）中，电量的单位是库仑，符号为C。一个电子所带电量的绝对值称为基本电量，用e表示。目前e的实验测量值为

电荷之间相互作用力的基本规律叫作库仑定律

真空中两个静止的点电荷q1与q2，它们之间相互作用力的大小与q1q2成正比，与距离r的平方成反比。作用力的方向沿着它们的连线方向，同号电荷相斥，异号电荷相吸。其数学表达式为

式中k为比例系数，er为一单位矢量，大小为1，方向由施力者指向受力者。在国际单位制中，比例系数

为了使以后常用的电场公式中不出现4π因子，通常取

称为真空中的介电常数，又叫作真空电容率。

电荷是（静）电场的源，激发电场的电荷叫作场源电荷。场与实物所不同的是，各种场可以共同占据同一位形空间，即场具有可叠加性，而实物不具备这种特征。

相对于观察者静止的带电体产生的电场，称为静电场。静电场的特点是电场分布不随时间变化。

实验表明：对于电场中的某一点来说，试探电荷受到的电场力与电荷电量的比值F/q0是一个无论大小及方向均与试探电荷无关的物理量，它反映了电场本身的性质。我们把这个比值作为描写电场的场量，称为电场强度（简称场强），即静电场中任一点的电场强度是一矢量，其大小等于单位电荷在该点所受电场力的大小，其方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致。电场强度通常用符号E表示，即

在国际单位制中，场强的单位为N/C或V/m（伏特/米）。

• 第一，场强E是矢量，既有大小又有方向，它的方向与正电荷所受电场力的方向一致。
• 第二，场强E的大小和方向仅由电场本身的性质决定，与有无试探电荷以及试探电荷的种类和大小无关。
• 第三，电场中每一点都有一个确定的场强，不同点的场强一般是不同的，即E是空间坐标的矢量函数。如果电场中各点场强的大小和方向都相同，这种电场叫作匀强电场或均匀电场。

4-1-3　场强叠加原理

在一组点电荷所激发的电场中，任意一点的场强等于各点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和，这个结论叫作场强叠加原理。

若静电场是由电荷连续分布的带电体产生的，求解空间各点的电场强度分布时，则可将此带电体看成由许多电荷元dq所组成，每个电荷元可视为点电荷，利用场强叠加原理和矢量积分可求得总场强

• 对于一个带电体，电荷元dq＝ρdV，其中ρ为电荷体密度（单位体积中的电量），dV为带电体的体积元；
• 对于一个带电面，dq＝σdS，其中σ为电荷面密度（单位面积上的电量），dS为带电面上的面元；
• 对于一个带电线，dq＝λdl，其中λ为电荷线密度（单位长度上的电量），dl为带电线上的线元。

例4-3　如图4-3所示，一均匀带正电直线，长为L，电荷线密度为λ。在中垂面有一点P与带电直线的距离为a，求P点的场强E的大小与方向。

解　建立如图4-3所示的坐标系，设dq到P点的距离为r，则dq在P产生的场强大小为

由于不同位置处的电荷元在P点产生的dE的方向不同，所以在计算场强时要分别计算x方向和y方向上的电场分量

下面来求Ex，为了便于积分，必须要统一变量，这里将变量统一为θ。由三角形关系

例4-4　如图4-4所示，一均匀带电细圆环的半径为R，带电量为q＞0，环的轴线上有一点P与环心O的距离为x，求P点的场强。

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4-2　静电场的高斯定律

（1）电场线为非闭合曲线。电场线始于正电荷（或来自无穷远处），终止于负电荷（或终止于无穷远处），在无电荷处不中断。（2）任何两条电场线不相交。

通常还规定：在电场中每一点，穿过垂直于场强方向单位面积的电场线根数，正比于该点场强的大小。即电场线密集处场强大，电场线稀疏处场强小。

在电场中，穿过任一曲面S的电场线条数称为通过该曲面的电通量，用Φe表示。如图4-6所示，设电场中一面积元dS的法线方向n（亦即dS的方向）与该处场强E的夹角为θ，dS⊥是dS在垂直于E方向的投影。根据电场线的绘制规定，E＝dΦe/dS⊥，则有

当电场线从内部穿出时，Φe＞0；当电场线从外部穿入时，Φe＜0。

高斯定理可表述为：在真空中，静电场通过任一闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面内所包围电荷电量的代数和乘以

式中ρ为连续分布源电荷的体密度，V为包围在闭合曲面内的体积，定理中闭合曲面常称为高斯面。下面我们通过一个简单的情形来阐明高斯定理。

通过球面的电通量与球面半径r无关，而只与它所包围的电荷电量有关。

高斯定理的重要意义在于它把电场与产生电场的源电荷联系起来，它反映了静电场是有源场这一基本性质。凡是有正电荷的地方必有电场线发出，凡是有负电荷的地方必有电场线汇聚，正电荷是电场线的源头。因此，高斯定理指出了静电场是有源场。

4-2-4　高斯定理应用举例

例4-5　一均匀带电薄球壳，半径为R，带电量为Q。试求球壳内、外的场强分布。

用高斯定理求场强分布的主要步骤是：

（1）分析电场分布的对称性

（2）选取恰当的闭合曲面（高斯面）

由于场强分布具有球对称性，因此应选取以O点为球心，以所求场强点（P点）到球心的距离r为半径的球面S为高斯面。

（3）计算通过高斯面的电通量

（4）应用高斯定理求场强

① 带电球壳外的场强分布：因为高斯面S包围的电荷量为Q，即∑qi＝Q，根据高斯定理

② 带电球壳内的场强分布：设P′为带电球壳内任一点，P′点到球心的距离为r（r＜R），

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4-3　电势　电势叠加原理　静电场的环路定理

4-3-1　电场力的功

设有一点电荷q（q＞0）位于真空中O点，一试验电荷q0在q激发的电场中从a点沿任意路径acb移到b点的过程中，电场力对试验电荷q0所做的功为

式中ra和rb分别为试探电荷的起点和终点到点电荷q的距离。上式表明，试探电荷在点电荷的电场中移动时，电场力所做的功只与试探电荷起点和终点的位置有关，而与所通过的路径无关。

电场力所做的功只与该电荷的起点和终点位置有关，与电荷移动的路径无关。这个特点说明静电场力是保守力，静电场是保守场。静电场力是保守力这一特性，还可表述为：当电荷在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，静电场力做功为零，即

式（4-11）表示：静电场场强沿任意闭合路径的线积分（即E的环流）恒等于零。这是一条反映静电场基本性质的重要规律，称为静电场的环路定理。

环路定理从另一侧面反映了静电场的性质，即静电场是保守场，是无旋场；而高斯定理说明静电场是有源场。它们一起构成静电场的基本性质和方程。

4-3-2　电势与电势差

如果取比值Epa/q0，则该比值就与电荷无关，因此这个比值可用来表征电场的性质。我们定义电场在a点的电势为

即：静电场中任一点a点的电势Va，在量值上等于将单位正电荷从a点经任意路径移到零电势参考点时，静电力所做的功，也等于单位正电荷在该点所具有的电势能。

对于点电荷q的电势，利用式（4-10），当以无穷远处为电势零点时，其表达式为

电势的单位由电势能和电荷量的单位共同确定。在国际单位制中，电势的单位是伏特，简称伏，符号是V。静电场中a、b两点电势的差值，称为这两点间的电势差，用Uab表示，所以

4-3-3　电势叠加原理

在一组点电荷所激发的电场中，任一点的电势等于各点电荷单独存在时所激发的电场在该点电势的代数和，这个结论叫作电势叠加原理。

对于连续带电体的电场，可选取无限小电荷元dq作为点电荷，利用式（4-15）可求得场中任一点电势为

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4-4　导体的静电平衡　电容(选学)

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4-5　稳恒电流　磁感强度　毕奥-萨伐尔定律

如果在时间dt内通过导体中某个横截面的电量为dq，则将电流强度定义为

电流强度的单位是安培（A）。当它不随时间发生改变时，则称为稳恒电流。

通常规定正电荷的定向运动方向为电流的方向，如果导电的是负电荷，其电流的方向与负电荷运动方向相反。

4-5-2　磁场及其描述

1.　磁现象、安培分子电流假说

无论是导线中的电流，还是天然磁铁，它们产生磁现象的起源是相同的，都源于电流或运动的电荷，因此，我们说磁场是由电流（运动电荷）所激发的场。

在磁场中引入运动试探电荷，通过讨论它在磁场中受到的作用力，来建立描述磁场性质的物理量——磁感应强度B。

将一电量为q0、速度为v的试探电荷射入磁场中，如果该试探电荷的运动方向与磁感应强度B的方向平行，可以测得电荷所受到的磁力为0。若将试探电荷q0以速度v垂直于磁感应强度B的方向射入磁场中，测得电荷所受到的磁力为最大值F＝Fmax。实验表明，运动电荷所受的最大磁场力与电量q0和速率v成正比，对于一个确定的场点，比值

是一个与运动电荷的电量q0和速率v无关的量。即不同电量、不同速率的运动电荷经过该点时，其比值都是相等的。而对于不同场点，这一比值则一般不同。

由于比值与运动电荷无关，可见它反映了磁场在某一点的性质。

磁感应强度B是矢量，将可自由转动的小磁针置于磁场中，磁针静止时N极（北极）所指的方向规定为该处磁感应强度B的方向。

毕奥-萨伐尔定律（以下简称毕-萨定律）

利用毕奥-萨伐尔定律我们可以计算如图4-25所示的一通有电流I的长直导线外任意一点P的磁感应强度

（1）若载流直导线为无限长，此时θ1＝0，θ2＝π，则有

（2）若导线为半无限长，且P点与导线一端的连线垂直于该载流直导线

例4-8　求半径为R，通过电流强度为I的圆电流轴线上的磁场。解　设轴线上场点P到圆心的距离为x，如图4-26所示。在环上取一电流元Idl，据毕奥-萨伐尔定律

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4-6　恒定磁场的高斯定理和安培环路定理

在磁场中，如果面元dS处的磁感应强度为B，则定义通过该面元的磁通量为

4-6-3　磁场的高斯定理

由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线，所以对任一闭合曲面来讲，穿入的磁感线的数目与穿出的磁感线的数目一定相等，正、负磁通量刚好抵消。

它反映了磁感应线为闭合曲线的特性，说明了磁场是无源场，不存在磁单极。

4-6-4　磁场的安培环路定理及应用

理解磁场的安培环路定理时应注意以下几点：

• 第一，∑Ii是穿过闭合环路的所有电流强度的代数和，不包括没有穿过环路的电流。在穿过环路的电流中，凡是与环路的绕行方向之间遵从右手螺旋定则的电流取正值，反之取负值。
• 第二，安培环路定理表达式中的B是闭合环路上各点的总磁感应强度，是由空间所有电流激发的，包括穿过环路的电流和没有穿过环路的电流。
• 第三，安培环路定理反映了磁场性质的另一个特性——有旋场或涡旋场。

在稳恒磁场中，磁感应强度B沿任意闭合环路的线积分等于穿过该环路的所有电流强度代数和的μ0倍，这个结论就是磁场的安培环路定理。

例4-9　有一半径为R的无限长圆柱形导体，横截面上均匀分布电流I，求磁场分布。

在柱内：L所包围电流为部分电流

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4-7　安培定律　洛伦兹力

4-7-1　磁场对载流导线的作用

这个规律称为安培定律。磁场对电流元的作用力通常叫作安培力。安培力的方向由右手螺旋法则判定：右手四指由Idl经θ角弯向B，大拇指的指向就是安培力的方向，如图4-35所示。

对于有限长直载流导线可以通过积分求得该载流导线在匀强外磁场中所受的作用力的大小为

4-7-2　磁场对载流线圈的作用

矩形线圈abcd的边长为l1、l2，电流为I，线圈可绕垂直于磁感应强度B的中心轴OO′自由转动，设线圈的法线矢量n与磁感应强度B的夹角为θ。

如图4-36所示，它使线圈的法线方向n向B方向旋转，由于这两个力的力臂都是

，力矩的方向相同，因此力偶矩M的大小为

式中S＝l1l2是矩形线圈的面积，考虑到力偶矩M、磁感应强度B以及线圈法线矢量n三者方向之间的关系，上式可以通过下面的矢量积来表示

此结果虽然是从矩形线圈的特例推导出来的，但可以证明它对任意形状的平面线圈都是适用的。其中ISn是一个只决定于任意形状载流平面线圈本身性质的矢量，称为线圈的磁矩。用Pm表示。则上式可写为

4-7-3　磁场对运动电荷的作用

如图4-37所示。设电子的平均速率为v，导线的横截面积为s。在稳恒电流情况下，导线内的自由电子数密度不变，设单位体积内的自由电子数为n，电流强度I＝ensv，则安培力为：

在电流元Idl内，共有nsdl个自由电子，安培力显然可以看作是作用在每个运动电荷上的洛伦兹力的合力，从而单个自由电子所受的洛伦兹力为

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4-8　法拉第电磁感应定律

闭合导体回路中感应电动势[插图]的大小与穿过回路所包围的面积的磁通量的变化率成正比，这个结论叫作法拉第电磁感应定律。

在国际单位制中，感应电动势的单位是伏（V），磁通量Φm的单位是韦伯（Wb），t的单位是秒（s），实验证明上式中的比例系数k＝1。

至于感应电动势的方向则由楞次定律判定，判断方法是，回路中产生的感应电流的磁场总是阻碍原磁场的变化。其中的感应电流方向即为感应电动势的方向。

为了在运算中既能反映感应电动势的大小，又能表示感应电动势的方向，我们将两个定律用一个公式表示出来，即

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4-9　动生电动势和感生电动势

4-9-1　动生电动势

一段长为l的直导体在均匀磁场中以速度v匀速运动。假设某一时刻回路的长度为x，此时穿过回路的磁通量为Φm＝B·S＝Blx。根据法拉第电磁感应定律，可得动生电动势为

产生动生电动势的原因是洛伦兹力。

导体AB两端出现恒定的电势差，相当于一个电源。B端为负极，电势较低；A端为正极，电势较高。洛伦兹力就是在AB两端产生电动势的非静电力，与之对应的非静电场Ek表示为

4-9-2　感生电动势

他认为，变化的磁场能在周围空间激发感应电场E感，这个电场对电荷也会有力的作用，但不同于静电场，它是有旋场或称涡旋电场。此感生电场沿任意闭合曲线的线积分有

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我是蓝衫，风趣认真的互联网“数据料理师”。

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这里奉上我另几篇回答，想进一步了解的朋友可以看：

在任何由线性电阻、线性受控源及独立源组成的线性网络中，每一支路的响
应(电压或电流) 都可以看成是每一个独立源单独作用于网络时，在该支路上所
产生的响应(电压或电流)的代 数和。?
注意：①该原理仅适用于线性网络。?
②独立源单独作用，是指当某个独立源单独作用于网络时，其余的独立源
都不作用即取零值 ，所以其余的电压源应当用短路代替，电流源用开路
③迭加原理的“加”是指“代数和”，所以迭加时应注意正负。

ZH-12通用电学实验台

1、 在ZH-12通用电学实验台上，按图2－1连接成电路。U1、U2由直流压

2、 将K1闭合，接通电源U1。K2倒向短路，U1单独作用于电路。测量各支

路电流I1，I2和I3以及各支路电压UAB、UBC、UBE，将测量数据填入表2－1中。

3、 将K2倒向电源U2、K2倒向短路，U20单独作用于电路。重新测量I1、I2

支路电流、电压。将测量数据填入表2-1中。

5、根据测量数据，验证迭加定理。

目的、原理、步骤内容、数据表格、验证迭加原理。

回答问题：迭加原理的使用条件是什么？