求微分方程求微分方程y''+y'+y=x+4的通解。 最好能用两种方法求解。

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1、第9章 微分方程问题的求解,9.1 单步方法 9.2 线性多步法 9.3 一阶微分方程组和高阶微分方程组 9.4 边值问题的求解 9.5 偏微分方程的数值解法 9.6 实例解析,本章目标：求 的数值解,9.1 单步方法,为求解前述初值问题的数值解，我们采用离散化方法。在求解区间上取一组节点： 称 为步长，为简单起见，仅考虑等距步长。 离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，按节点从左至右的顺序依次求出y(xk)的近似值yk，若在计算第k+1的近似值时，只用到它前一步xk,xk+1,yk的信息，那么称此方法为单步方法。单步法主要有Euler方法和Runge-Kutta方法等。,一、 欧拉方法,

2、欧拉法的建立及其几何意义：,1差商方法,2积分方法,对 在区间x, x+h上积分得：,特别地，当x=xn时，有,再用yn代替y(xn)，便有欧拉法公式（9.1）.,3欧拉法的几何意义,亦称为欧拉折线法,（9.1）,据矩形公式, 隐式欧拉法和二步欧拉法：, 隐式欧拉法,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。,用此公式计算 yi+1 时要用到前两步的信息 yi-1 , yi ，故称为二步欧拉法（公式）。, 二步欧拉法（中点欧拉公式）,一般先用显式 计算一个初值， 再迭代求解。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法

3、称为双步法 ， 而前面的二种算法都是单步法 。, 梯形公式, 显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,为提高精度，我们再从积分近似的角度来看欧拉公式的改进。,对 在区间xi, xi+h上积分得：,用梯形公式求积计算积分，可得,隐式, 改进的欧拉法,注：此法亦称为预测-校正法 。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,改进的欧拉法的“嵌套”表示形式,改进的欧拉法也可以

) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,建立高精度的单步递推格式。,斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,二、龙格

yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较,要求 ，则必须有：,这里有 个未知数， 个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。,注意到， 就是改进的欧拉法。,若

6、取 则得到另一个龙格库塔法 的计算公式：,此即中点方式。此公式称作变形的欧拉公式。,为了进一步提高精度，设除xi+p外再考虑一点：,xi+q=xi+qh (pq1),用xi , xi+p xi+q点的斜率值K1、K2、K3 加权平均作为平均斜率的近似值，这时计算格式具有形式：,yi+1= yi+h(1K1+2K2+3K3

7、2) ),仿二阶情形的推导，只要把K1,K2,K3代入yn+1的表达式中在( xn,yn)处作泰勒展开, 再与y(xn+1)在xn处的泰勒展开式比较,欲使公式的局部截断误差=O(h4),可得含参数的方程组,类似知有无穷多解；得到的公式称为三阶龙格库塔公式。,一个比较简单而又重要的三阶龙格库塔公式，称为库塔公式，其为：,继续上述这个过程,可以进一步讨论四阶龙格库塔公式。, 最常用的是4阶经典龙格-库塔法：,9.2 线性多步法,用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似y(xi+1)。,其通式可写为：,当 10 时，为隐式公式; 1=0 则为显式公式。, 基于数值积分的构造法, 亚当姆斯显式公

9、d final value yi+1,外推技术 /* extrapolation */,9.3 一阶微分方程组和高阶微分方程组, 一阶微分方程组,IVP的一般形式为：,前述所有公式皆适用于向量形式。, 高阶微分方程,化作一阶微分方程组求解。,引入新变量,初值条件为：,9.4 边值问题的求解,2 阶常微分方程边值问题, 打靶法,先猜测一个初始斜率 y (a) = s，通过解初值问题,找出s*使得(s*) = ，即把问题转化为求方程 (s) = 0 的根。,每计算一个(s) 都必须解一个ODE.,9.5 偏微分方程的数值解法,一、几类特殊的偏微分方程 椭圆型偏微分方程 抛物型偏微分方程 双曲型偏微

10、分方程 特征值型偏微分方程（椭圆型偏微分方程的一个特例）,二、偏微分方程的界面求解 （1）绘制求解区域 选择Options|Axes Limits菜单，将打开一个设置x,y轴坐标范围的对话框，这里设置x,y轴的范围均为-0.1,1.1。 单击矩形按钮 ，画一个边长为1的正方形区域 ，该正方形自动命名为R1，并显示在区域上方的公式栏（Set formula）中，为了定位光标，可选择Options|Grid菜单，这时将在区域内画网格。如果要精确地确定正方形的位置，可以在正方形内部双击鼠标左键。在出现的对话框中输入正方形的左边界（Left），下边界（Bottom），宽度（Width）和高度（Heig

11、ht）的数值。另外也可以在Name栏中修改正方形的名称。之后选择Options|Application|heat transfer菜单或直接在工具栏右侧的列表框中选择以确定偏微分方程的类型。 （2）设定边界条件 单击按钮 ，进入边界模式，这时区域由灰色变成白色，而边界变成红色，选择菜单Boundary|Show Edge Labels给四条边界标上序号1、2、3、4。边界条件的默认设置是在所有的边界上，根据题意，边界1和2的边界条件需要修改，双击边界1，,在出现对话框的边界条件类型（Condition type）中选择Dirichlet（默认），这时描述边界的方程（Boundary condi

PDE）中选择椭圆型（Elliptic）（默认），这时方程的形式为-div(k*grad(T)=Q+h*(Text-T),只要取k=1,Q=0,h=0,Text=0即可。 （4）建立网格 单击按钮 ，将区域划分为三角形网格，为了能得到更高的精度，再单击按钮 ，将得到更小的三角形网格。 （5）输出图形 单击按钮 ，得到用颜色表示的解的分布图，为了得到更好的视觉效果，可单击按钮 ，选择Hight(3-D plot)和Plot x-y grid，在这里Plot x-y grid是用矩形网格画图，速度要快一些，而Show mesh在是用三角形网格作图，速度稍微慢一些。最后单击对话框中Plot按钮即得到效果图。,

关于微分方程的一个问题 题目是;xy'=y(1+lny-lnx)的通解 我看答案是这么解...

常微分方程和偏微分方程有什么区别?

1、常微分方程是含有自变量（一个）、未知函数和它的导数的等式,偏微分方程是含有自变量（两个或两个以上）、多元函数及其导数（偏导数）的等式；2、常微分方程的解是一元函数；偏微分方程的解是多元函数.

一道w微分方程类数学题目

您好，很高兴为您解答，解题步骤如下，满意请采纳。首先我们简单建立一个坐标系，设兔子原先处于原点，狗的位置（4,0），窝位于（0,3），考虑临界情况，狗恰好能在兔窝前追上兔子，设狗的速度为v，兔子速度为u，设狗奔跑的轨迹上一点坐标为（x,y），则有：
设p=dy/dx，对上式继续化简：
得到微分关系之后解微分方程：
至此已得到狗运动轨迹，还差两者速度关系。我们看到兔子与狗的运动距离之比为速度之比，于是：
另外，我们还可画出狗追逐的轨迹图像：

微分方程的通解怎么求？

此方程的通解是x-y+xy=C。扩展资料：
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。含有未知函数的导数，如 的方程是微分方程。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。参考资料：百度百科 微分方程

数学建模：高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题

因为兔子离洞穴只有60米,狼离兔子100米,兔子跑会洞穴的路程和狼离兔子的距离加起来就有160米
狼以两倍的速度追,追到120米的时候,兔子大概已经到了洞穴.

高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题 现有一只兔子、一匹狼,...

现有一只兔子、一匹狼,兔子位于狼的正西100米处,假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑,兔子往正北60米处的巢穴跑,而狼在追兔子.已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍...

利用高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题

基于高阶常微分方程模型饿狼追兔问题分析
基于高阶常微分方程模型饿狼追兔问题分析
朱云龙1，赵娜2，孙利杰1，王勃1，程明1，白海滔1，
王建1，李开1，赵福兴1，王铁柱1
1 辽宁工程技术大学采矿工程系，辽宁阜新（123000）
2 辽宁工程技术大学生物工程（食品科学）系，辽宁阜新（123000）
摘要：利用高阶常微分模型饿狼是否能追上兔子。首先，建立狼和兔子的运动轨迹模型，
兔子是向正北方向的洞穴直线跑去，狼沿曲线追去。接着，利用matlab 画出狼和兔子的运
动轨迹图形。然后，利用解析方法求解x=0时y 的值，依次来判断狼是否能够追上兔子。最
后，再用数值微分方法求解x=0时y 的值判断狼是否能够在兔子进洞之前将其擒获，美餐一
顿。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹
道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可
以化为求常微分方程的解。关键词：高阶常微分；数值微分；数学模型
在我们现实生活中，有很多追击问题，如赛车比赛，田径比赛，鹰抓兔子等等追击现象。那么这些问题是否成立，是否能成功呢？再次将要论述与验证狼和兔子的模型，看看是否能
追的上，并通过MATLAB 画出狼和兔子曲线[1]。在我们实现实生活中有很多地方要用到这
些追击模型。虽然狼无暇顾及兔子的洞穴所在，并计算怎样才能追上兔子，可它丢掉的仅仅
是一顿美餐而已，再寻其它猎物即可。可是我们人类就不同了，如在军事上，跟中导弹追击
敌机问题，恰与饿狼追兔问题模型相似。根据追击者和被追击者相差距离和被追击者得逃亡
范围，通过计算，适当调整速度，即可追上。倘若不假思索的追击，后果将不堪设想，失去
的将不仅仅时一顿每餐那么简单。所以，通过本模型分析将要得到清晰的MATLAB 曲线，
使结果明确的显现在计算机上，一目了然，希望此模型能用到我们现实生活中，得到一定用
处，提高国民经济和科学技术的应用。2 问题的提出
神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔
跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。这里就讨论一对老冤家的追逃问题，快速奔跑
的狼能否追上不远处有洞穴的兔子。有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100 米处，假设兔子与狼同时...

利用高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题