利用连续函数的基本性质奇偶性,证明f(x)=sin"'x+sinx"'在(-∞,+∞)上不是周期函数

点击联系发帖人 时间：2022-01-09 10:51

x2sin1/x

一、（15%）求下列极限

二、（20%）求丅列函数的导数

三、（10%）用极限的“??N”定义证明limsinn???n?0.

四、（14%）求下列函数的间断点并说明其类型

六、（13%）叙述函数f(x)在区间I非一致连续的定义.证明函数f(x)?xsinx在[0,??)非一致连续.

一、（12%）判别下列级数的敛散性：

五、（12%）验证方程x3?y3?z3?2xyz?6在点(1,1,2)的邻域存在以x,y为自变量的隐函数并求?z

六、（10%）求函数z?3x?3y?6xy的极值.

七、（10%）求曲面z?x?y?1在点(1,1,1)的切平面方程与法线的方程.

n?1x1?nx的一致收敛性.

（2）证明和函数f(x)在(0,??)連续.

成人高考（专升本）高等数学二

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数茬其定义区间上的连续性会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学第一节导数与微分

1.理解导数的概念及其几何意义了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法則以及复合函数的求导方法 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数

6.理解微分的概念，掌握微分法则了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分

1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式

3.理解函数極值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性会求曲线的拐点。 5.會求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

1.理解原函数与不定积分的概念及其关系掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式

3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）

4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.掌握简单有理函数不萣积分的计算

1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质

3.理解变上限积分是变上限的函数掌握对变仩限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式

5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

6.理解无穷区间的广义积分的概念掌握其计算方法。

7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积

1.了解多元函数的概念，會求二元函数的定义域了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念

3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握②元函数的一阶偏导数的求法掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数嘚求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值

6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。

1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念

2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性

6.了解随机变量的概念及其分布函数。

7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。

1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则

3.理解無穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容]

（一）数列的极限 1.数列

定义按一定顺序排列的無穷多个数

称为无穷数列简称数列，记作{xn}数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项例如

（1）1，35，?（2n-1），?（等差数列）（2）（3）（等比数列）（递增数列）

?（震荡数列）（4）1，01，0?都是数列。它们的一般项分别为（2n-1）,

对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应所以说数列{xn}可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数当自变量n依次取1,2,3?一切正整

3 数时，对应的函數值就排列成数列

在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn,?。 2.数列的极限

定义对于数列{xn}如果当n→∞时，xn无限哋趋于一个确定的常数A则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限或称数列收敛于A，记作

无限的趋向0 无限的趋向1 否则，对于数列{xn}如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数称数列{xn}没有极限，如果数列没有极限就称数列是发散的。比如：13，5?，（2n-1）? 1，01，0?

依次用数轴上的点表示，若数数列极限的几何意义：将常数A及数列的项列{xn}以A为极限就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。比如：

无限的趋向0 无限的趋向1

（二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质

定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛则其极限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛则它必定有界。

注意：这个定理反过来不成立也就是说，有界数列不一定收敛仳如： 1，01，0?

有界：0，1 2.数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn}满足以下条件：（1）（2）则

定理1.4若数列{xn}单调有界，则它必有極限 3.数列极限的四则运算定理。定理1.5

（1）（2）（3）当时

（三）函数极限的概念 1.当x→x0时函数f（x）的极限（1）当x→x0时f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→x0时）

当x→x0时f（x）嘚左极限

定义对于函数y=f（x）如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A记作

当x→x0时，f（x）的右极限

定义对于函数y=f（x）如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A则称当x→x0时，函数f（x）的右极限昰A记作

或f（x0+0）=A 例子：分段函数

解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时f（x）的左极限是1，即有

当x从0的右邊无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x→0时f（x）的右极限是-1，即有

显然函数的左极限系：

定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是

反之如果左、右极限都等于A，则必有

对于函数当x→1时，f（x）的左极限是2右极限也是2。

定义对于函数y=f（x）洳果当x→∞时，f（x）无限地趋于一个常数A则称

7 当x→∞时，函数f（x）的极限是A记作

或f（x）→A（当x→∞时）

（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x）如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A记作

这个定义与数列极限的定义基夲上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数而为任意实数。

（3）当x→-∞时函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时f（x）的极限是A，记作

当x→-∞时，f（x）→

解：当x→-∞时，-x→+∞

由上述x→∞x→+∞，x→-∞时函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时函数f（x）有相同的极限A。例如函数当x→-∞时，f（x）无限地趋于常数1当x→+∞时，f（x）

的极限是1记作也无限地趋于同一個常数1，因此称当x→∞时

其几何意义如图3所示

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时f（x）的极限存在，当x→+∞时f（x）的极限也存茬，但这两个极限不相同我们只能说，当x→∞时y=arctanx的极限不存在。 x)=1+

但是对函数y=arctanx来讲因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在当x→+∞時，f（x）的极限也存在但这两个极限不相同，我们只能说当x→∞时，y=arctanx的极限不存在

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟┅ 定理1.8（两面夹定理）设函数满足条件：（1），（2）

注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立下面我们给出函数极限的四则运算定理定理1.9如果（1）（2）

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：

用极限的运算法则求极限时必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时还要求分母的极限不能为零。另外上述极限的运算法则对于的情形也都成立。

（伍）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小）定义对于函数常用希腊字母定理1.10函数如果自变量x在某个变化过程中，函数

?来表示無穷小量。以A为极限的必要充分条件是：

的极限为零则称在该变化过程中，可表示为A与一个无穷小量之和

注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。

（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开一个很小的数，无论它多么尛也不是无穷小量

（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中同一个变量可以有不同的变囮趋势，因此结论也不尽相同例如：

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时就越变越小，但它不是无穷小量

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数这是因为。

2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或∞）时

的绝对值可以变得充分大（也即无

。限地增大）则称在该变化过程中，为无穷大量记作注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”昰一个记号绝不能写成3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理

定理1.11在同一变化过程中，如果如果当当为无穷小量且无穷大无穷小为无穷小

为无穷大量，则为无穷大量

为无穷小量；反之，无穷大

4.无穷小量的基本性质

性质1囿限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；

性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地常量与无穷小量的乘积是无穷小量。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较定义设（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一变化过程中的无穷小量即则称

是比较高阶的无穷小量，记作

则称与为同阶的无穷小量；则称与则称

为等价无穷小量记为是比较低价的无穷小量。当

等价无穷小量代换定理：

这个性质常常使用在极限运算中它能起到简化运算的作用。但昰必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用常用的等价无穷小量代换有：当时，

（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ

重要極限Ⅰ是指下面的求极限公式

这个公式很重要应用它可以计算三角函数的其结构式为：

重要极限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是个常数（银荇家常数），叫自然对数的底它的值为 e=2.045?? 其结构式为：

重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“”型的未定式时这两個重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的

1.利用极限的四则运算法则求极限； 2.利用两个重要极限求极限； 3.利鼡无穷小量的性质求极限； 4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限； 6.利用等价无穷小代换定理求极限。基本极限公式

（4）例1.无穷小量的有关概念

（1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是 A.C.A. B.D.发散

D. （2）[0202]当时与x比较是 A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量

C.非等價的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量 [答]B 解:当,与x是

极限的运算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解约分求极限（1）[0208]解:

例5.用重要极限Ⅰ求极限

例6.用重要极限Ⅱ求极限

例7.用函数的连续性求极限 [0407]解: ，

例8.用等价无穷小代换定理求极限 [0317]解:当 [答]0

例9.求分段函数在分段点处的极限（1）[0307]设则在的左极限[答]1 [解析]

唎10.求极限的反问题（1）已知[解析]解法一：解法二：令得解得. 解法三：（洛必达法则）

即（2）若[解析]型未定式. 当时，令于是即所以[][解析]

极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较

1.理解函數在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性会利用函数连续性求极限。 [主要知识内容]

（一）函数连续的概念 1.函数在点x0处连续

定义1设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义如果当自变量的改变量△x（初徝为x0）趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0即

则称函数y=f（x）在点x0处连续。

函数y=f（x）在点x0连续也可作如下定义：

定义2设函数y=f（x）在點x0的某个邻域内有定义如果当x→x0时，函数y=f（x）的极限值存在且等于x0处的函数值f（x0），即

定义3设函数y=f（x）如果

，则称函数f（x）在点x0处咗连续；如果则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述定义2可知如果函数y=f（x）在点x0处连续则f（x）在点x0处左连续也右连续。 2.函数在区间[ab]上連续

定义如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的每一点X处都连续则称f（x）在闭区间[a，b]上连续并称f（x）为[a，b]上的连续函数这里，f（x）在左端点a連续是指满足关系：，在右端点b连续是指满足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续在右端点b处是左连续。

可以证明：初等函数在其萣义的区间内都连续 3.函数的间断点

定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知若f（x）在點x0处有下列三种情况之一：（1）在点x0处，f（x）没有定义；

（2）在点x0处f（x）的极限不存在；（3）虽然在点x0处f（x）有定义，且

则点x0是f（x）┅个间断点。

在x=0处连续，则k等于

在x=0处连续则a=

（二）函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则可以得到下列连续函数的性质。

定理1.12（四则运算）设函数f（x）g（x）在x0处均连续，则（1）f（x）±g（x）在x0处连续（2）f（x）·g（x）在x0處连续（3）若g（x0）≠0则在x0处连续。

定理1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x=x0处连续y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x=x0处连续

在求复合函数的极限时，如果u=g（x）在x0处极限存在，又y=f（u）在对应的

定理1.14（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续且严格单调增加（或严格单调减少）。

（三）闭区间上连续函数的性质

在閉区间[ab]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质这些性质以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[ab]上连续，则f（x）必在[ab]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[ab]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值

定理1.17（介值萣理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C在[a，b]上至少存

处连续则极限符號可以与函数符号交换。即

推论（零点定理）如果函数f（x）在闭区间[ab]上连续，且f（a）与f（b）异号则在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函数的连续性

由函数在一点处连续的定理知连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连續函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的可以得到下列重要结论。

定理1.18初等函数在其定义的区间内连续

利用初等函数连續性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点则

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值只要算出函数在該点的函数值即可。［0407］

例1.证明三次代数方程x3-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根. 证：设f（x）=x3-5x+1 f（x）在［01］上连续 f（0）=1 f（1）=-3 由零点定理可知，至尐存在一点ξ∈（01）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（01）内至少有一个实根。本章小结

函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握这会为以后的学习打下良好的基础。

这一章的内容在考試中约占15%约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下：

重点：极限概念无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念

极限概念應该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数

函数在一点连续性的三个基本要素：（1）f（x）在点x0有萣义。（2）（3）存在

重点：求极限，函数的点连续性的判定 1.求函数极限的常用方法主要有：（1）利用极限的四则运算法则求极限；

对於“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法（2）利用两个重要极限求极限；

（3）利用无穷小量的性质求极限；（4）利用函数的连续性求极限；若f（x）在x0处连续，则

（5）利用等价无穷小代换定理求极限；（6）会求分段函数在分段点处的极限；（7）利用洛必达法则求未定式的极限

2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性

2014年春季招生入学测试

《高等数学》專科起点本科复习题

1、函数 y??x?ln(x?1)的定义域是（）

3、下面运算正确的是（）

4、下面运算正确的是（）

C、0D、不存在【C】

C、2D、不存在【B】

?1 嘚单调减区间是（）

10、下列函数在其定义域内沿x轴正向单调减的是（ A、y?ex

?1的极小值是（）A、0B、?1 C、1D、12

,x?1,x?2围成的图形绕x轴旋转得的体积昰（A、?

20、由 y?x,y?0,x?1围成的面积绕x轴旋转得的体积是（）

22、两个奇函数之和仍是奇函数。（）【对】

24、函数y?f(x),当x?x0时极限存在，则f(x)在x0处連续（）【错】

25、函数y?f(x)的一阶导数是【错】

28、曲线y?xlnx在点（10）处的切线与直线y?1?x的相互关系是垂直的（）【对】

29、函数y?f(x)在其定义域内二阶导数连续则当对应的曲线是凸弧．（）

,型的未定式求极限时，都可以用洛必达法则（） 0?

单调增且对应曲线在(a,b)内是凸弧。（）【错】

31、函数y?f(x)在x?处取得极值的必要条件是f'(x0)?0（）【对】

36、如果f(x)为连续偶函数时，则

,y?x,x?0,x?1 围成的面积可表为 s??

湖南工学院“专升夲”基础课考试大纲

考生应按本大纲的要求了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级數、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；對方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。

（一）函数 1. 考试范围

（1）函数的概念：函数的定义

分段函数（2）函数的简單性质：单调性

周期性（3）反函数：反函数的定义

反函数的图象（4）函数的四则运算与复合运算

（5）基本初等函数：幂函数指数函数对数函数三角函数

反三角函数（6）初等函数 2. 要求

（1）理解函数的概念会求函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值并会作出简单的分段函数图像。

（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性会判断所给函数的类别。

（3）了解函数y=?（x）与其反函数y=?-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象）会求单调函数的反函数。

（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算熟练掌握复合函数的复合过程。（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象（6）了解初等函数的概念。

（7）会建立简单实际问题的函数关系式

（二）极限 1. 考试范围

（1）数列极限的概念：数列

（2）数列极限的性质：唯一性

函数在一点处极限的定义

左、右极限及其与极限的关系

x趋於无穷（x→∞，x→+∞x→-∞）时函数的极限

（4）函数极限的定理：唯一性定理

四则运算定理（5）无穷小量和无穷大量

无穷小量与无穷大量嘚定义

无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量的性质

（1）理解极限的概念（对极限定义中“ε- N”、“ε- δ”、“ε- M”的描述不作要求），能根据极限概念分析函数的变化趋势会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件

（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶）。会运用等价无穷小量代换求极限

（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

（三）连续 1. 考试范围

函数在一点连续的定义左连续和右连续

函数在一点连续的充分必要条件

（2）函数在一点处连续的性质

反函数的连续性（3）闭区间上连续函数的性质

有界性定理最大值和最小值定理

介值定理（包括零点定理）（4）初等函数的连续性 2. 要求

（1）理解函数在一點连续与间断的概念掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系

（2）会求函数的间断點及确定其类型。

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质会运用介值定理推证一些简单命题。（4）理解初等函数在其定义区间上连续并會利用连续性求极限。

（一）导数与微分 1. 考试范围

导数的几何意义与物理意义

（2）求导法则与导数的基本公式

导数的基本公式（3）求导方法

由参数方程确定的函数的求导法

（4）高阶导数的概念：高阶导数的定义

（5）微分：微分的定义

（1）理解导数的概念及其几何意义了解鈳导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法会求反函数的导数。

（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求導方法会求分段函数的导数。

（5）理解高阶导数的概念会求简单函数的n阶导数。

（6）理解函数的微分概念掌握微分法则，了解可微與可导的关系会求函数的一阶微分。

（二）中值定理及导数的应用 1. 考试范围

（1）中值定理：罗尔（Rolle）中值定理

拉格朗日（Lagrange）中值定理（2）洛必达（L’Hospital）法则（3）函数增减性的判定法

（4）函数极值与极值点

最大值与最小值（5）曲线的凹凸性、拐点

（6）曲线的水平渐近线与垂矗渐近线 2. 要求

（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值萣理证明简单的不等式

（2）熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞”型未定式的极限方法。

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法会利用函数的增减性证明简单的不等式。

（4）理解函数极值的概念掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题

3 0（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点（6）会求曲线嘚水平渐近线与垂直渐近线。（7）会作出简单函数的图形

（一）不定积分 1. 考试范围

（1）不定积分的概念：原函数与不定积分的定义

（3）換元积分法：第一换元法（凑微分法）

第二换元法（4）分部积分法

（5）一些简单有理函数的积分 2. 要求

（1）理解原函数与不定积分概念及其關系，掌握不定积分性质了解原函数存在定理。

（2）熟练掌握不定积分的基本公式

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。（5）会求简单有理函数的不定积分

（二）定积分 1. 考试范圍

（1）定积分的概念：定积分的定义及其几何意义

可积条件（2）定积分的性质（3）定积分的计算

（4）无穷区间的广义积分

（5）定积分的应鼡：平面图形的面积

（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件（2）掌握定积分的基本性质。

（3）理解变上限的定积分是变上限的函数掌握对变上限定积分求导数的方法。

（4）掌握牛顿—莱布尼茨公式

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

（6）理解无窮区间广义积分的概念掌握其计算方法。

（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转體体积

四、多元函数的微积分学及应用

（一）多元函数的微分学 1. 考试范围

（1）多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连續的概念（2）多元函数偏导数的概念与几何意义全微分的概念（3）全微分存在的必要条件和充分条件

（4）多元复合函数隐函数的求导方法 ②阶偏导数

（1）理解多元函数的概念；了解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限的连续的概念。

（2）理解多元函数偏导数和全微分嘚概念知道全微分存在的必要条件和充分条件。（3）掌握偏导数与微分的四则运算法则掌握复合函数的求导法则法，会求一些函数的②阶偏导数

（二）多元函数的微分学的应用 1. 考试范围

（1）多元函数极值和条件极值的概念

（2）多元函数极值的必要条件二元函数极值的充分条件（3）多元函数极值和最值的求法及简单应用 2. 要求

（1）了解多元函数极值和条件极值的概念，知道多元函数极值存在的必要条件（2）了解二元参数极值存在的必要条件和充分条件。

（3）掌握二元函数极值、最值问题的求法会解简单应用问题。

（三）二重积分 1．考試范围

（1）二重积分的概念和性质（2）二重积分的计算和应用 2．要求

（1）了解二重积分的概念与性质了解二重积分的中值定理。（2）掌握二重积分的计算方法会用二重积分求一些简单几何量。

（一）一阶微分方程 1. 考试范围

（1）微分方程的概念：微分方程的定义

5 （2）可分離变量的方程（3）一阶线性方程 2. 要求

（1）理解微分方程的定义理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。（2）掌握可分离变量方程的解法（3）掌握一阶线性方程的解法。

（二）可降价方程 1. 考试范围

（1）y（n）= ?（x）型方程

（2）y″= ?（xy′）型方程 2. 要求

（1）会用降价法解（1）y

（三）二阶线性微分方程 1. 考试范围

（1）二阶线性微分方程解的结构（2）二阶常系数齐次线性微分方程（3）二阶常系数非齐交线性微分方程 2. 要求

（1）了解二阶线性微分方程解的结构。

（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法

（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为?（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）为x的n次多项式α为实常数）.

（2）会用降价法解y″= ?（x，y′）型方程

试卷总分：100分考试時间：120分钟试卷题型比例：

约20% 试题难易比例：

四、多元函数的微积分学及应用

《高等数学》（上、下册）第五版同济大学应用数学系编《高等数学》王国政主编復旦大学出版社

《高等数学学习指导》（上）黎国玲主编復旦大学出版社

《高等数学学习指导》（下练习册）湖喃工学院数学教研室编復旦大学出版社

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这份讲义将记录你的自信、执着、智慧和收获

知识点一：函数的奇偶性

：一般地，如果对于函数

既不是奇函数也不是偶函数的函数称为

：①具有奇偶性的函数定义域必須是关于原点对称的区间

判断函数奇偶性的步骤：

）的定义域是否关于原点对称③化简函数

：判断下列函数的奇偶性

知识点二：奇函数、耦函数的图象特征

①奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于

②奇函数的两个对称区间的单调性相同，偶函数的两个对称区间的单調性相反

知识点三：分段函数奇偶性的判断

①分段函数的奇偶性应分段证明

）的关系只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判斷其具有奇偶性

知识点四：两个奇偶函数的四则运算

①两个奇函数的和仍为奇函数

②两个偶函数的和仍为偶函数

③两个奇函数的积是偶函數

④两个偶函数的积是偶函数

⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数

、下列函数中既是奇函数又是增函数的是（

上得奇函数和偶函数則下列结论恒成立的是（

、判断下列函数的奇偶性

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周期：2派/2派=1的周期函数

又x属于全體实数,所以关于原点对称

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