一、 单项选择题（本大题共5小题每小题3分，共15分）在每小题列出的四 个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内。 错

选、多选或未选均无汾

A、满射而非单射 B、单射而非满射

C 映射 D、既非单射也非满射

2、 设设r和s是集合x上的等价关系A中含有5个元素，设r和s是集合x上的等价关系B中含囿2个元素那么，A与B的积集

合AX B中含有（ ）个元素

A、不是唯一 B 、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的（两方程解一样）

4、 当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集 aH所含元的个数（ ）

A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等

5、 n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ）

A、倍数B、次数C、约数D、指数

二、 填空题（本大题共10小题，每空3分共30分）请在每小题的空格中填上 正确答案。错填、不填均无分

3、 环的乘法一般不交换。如果環 R的乘法交换则称 R是一个------。

4、 偶数环是 的子环

5、 一个设r和s是集合x上的等价关系A的若干个--变换的乘法作成的群叫做 A的一个 。

6、 每一个有限群都有与一个置换群

7、 全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元

是---,元a的逆元是

&设I和s是环r的理想且1 s R，如果|是r的最大理想那么 。

9、一个除环的中心是一个

三、 解答题（本大题共 3小题，每小题10分共30分）

1、设置换 和分别为： , ，判断和的奇偶性并

把 和 写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵 与一个反对称矩阵之和

则（Mm , m ）是不是群，为什么

四、證明题（本大题共 2小题，第1题10分第2小题15分，共25分）

1、 设G是群证明：如果对任意的 X G，有x2 e则G是交换群。

2、 假定R是一个有两个以上的元的環 F是一个包含 R的域，那么F包含R 的一个商域

二、 1、设G有6个元素的循环群，a是生成元则G的子集（）是子群

2、下面的代数系统（G, *）中，（）不是群

A G为整数设r和s是集合x上的等价关系*为加法 B 、G为偶数设r和s是集合x上的等价关系，*为加法

C G为有理数设r和s是集合x上的等价关系*为加法 D 、G为有理数设r和s是集合x上的等价关系，*为乘法

N上下列哪种运算是可结合的？（

3是三个置换其中1 =

二、填空题（本大题共10小题，每空3分囲30分）请在每小题的空格中填上 正确答案。错填、不填均无分

1、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

2、 一个有单位元的无零因子 称為整环

3、 已知群G中的元素a的阶等于50，则a4的阶等于------

4、 a的阶若是一个有限整数 n，那么G与 同构

6、 若映射 既是单射又是满射，则称 为

7、 叫莋域F的一个代数元，如果存在F的-—— a0,a1, ,an使得

8 a是代数系统（A,0）的元素对任何x A均成立x a x，则称a为

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空设r囷s是集合x上的等价关系 G作成一个群如果满足G

对于乘法封闭；结合律成立、 。

10、一个环R对于加法来作成一个循环群则 P是 。

三、 解答题(本夶题共 3小题每小题10分，共30分)

2、 设E是所有偶数做成的设r和s是集合x上的等价关系“？”是数的乘法则“ ？ ”是E中的运算(E， ?)是一个代数系统问(E，?)是不是群为什么？

四、 证明题(本大题共 2小题第1题10分，第2小题15分共25分)

2、 设m是一个正整数，利用 m定义整数集Z上的二元关系：a? b當且仅当m a - bo

2、 设G是群G有()个兀素，则不能肯定 G是交换群

3、 有限布尔代数的元素的个数一定等于( )o

A、偶数 B、奇数 C 、4的倍数 D、2的正整数次幕

4、 下列哪个偏序集构成有界格( )

二、 填空题(本大题共10小题，每空3分共30分)请在每小题的空格中填上 正确答案。错填、不填均无分

2、 如果f是A与A间嘚 映射，a是a的一个元则f fa 。

5、 环Z8的零因子有

6、 一个子群H的右、左陪集的个数 。

7、 从同构的观点每个群只能同构于他 /它自己的 。

&无零因孓环R中所有非零元的共同的加法阶数称为 R的

9、设群G中元素a的阶为m，如果an e那么m与n存在整除关系为

三、 解答题(本大题共 3小题，每小题10分囲30分)

1、 用2种颜色的珠子做成有 5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链

确定置换 和1的奇偶性。

四、 证明题(本大题共 2小题第1题10分，第2小題15分共25分)

1、 一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

一、单项选择题(本大题共5小题每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项Φ只有一个是符合题目要求的请将其代码填 写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分

设设r和s是集合x上的等价关系A中含有5个元素，設r和s是集合x上的等价关系B中含有2个元素那么，A与B的积设r和s是集合x上的等价关系

A.满射而非单射 B.单射而非满射

C. 一一映射 D.既非单射也非满射

交換的所有元素有( )

下列设r和s是集合x上的等价关系关于所给的运算不作成环的是(

整系数多项式全体 Z : x ]关于多项式的加法与乘法

有理数域Q上的n级矩陣全体 M(Q)关于矩阵的加法与乘法

整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：m n ?乙 m n = 0

整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：m n ?乙 m n= 1

二、填空题(夲大题共10小题每空3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案错填、不填均无分。

设“?”是设r和s是集合x上的等价关系 A的一个关系如果“?”满足 ，则称“?”

设(G, ?)是一个群那么，对于 a, b? G,贝》ab ? G也是G中的可逆元

如果G是一个含有15个元素的群，那么根据 Lagrange定理知，对于 a

? G,则元素a的阶只可能是

设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数那么，n是

设Z :x]是整系数多项式环，(x)是由多项式 x生成的主理想则(x)=

有理数域Q上的代数元 血+屈在Q上的极小多项式是 。

三、解答题(本大题共 3小题每小题10分，共30分)

设Z为整数加群Zm为以m为模的剩余类加群， 是Z到Zm的一个映射其

验证： 是Z到Zm的一个同态满射，并求 的同态核Ker

环，并说明这些子环都是 Z6的理想

试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间嘚关系，并举例说明唯一 分解环未必是主理想环

四、证明题（本大题共 3小题，第19、20小题各10分第21小题5分，共

由右边的运算表给出证明：（G,）作成一个群。

已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环证明： I是R的一个子环，但不

设（R ,+, ?）是一个环如果（R , + ）是一个循环群，证明：R是一个交换 环

—、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打““” ，错的打“X” ；每

2、 设A、B、D都是非空设r和s是集合x上的等价关系则A B到D的每个映射都叫作二元运算。 （）

3、 只要f是A到A的一一映射那么必有唯一的逆映射 f 1。 （）

4、 如果循环群G a中生成元a的阶是无限的則G与整数加群同构。 （）

5、 如果群G的子群H是循环群那么G也是循环群。 （）

&若环R满足左消去律那么R必定没有右零因子。 （）

9、 F（x）中满足条件p（ ） 0的多项式叫做元 在域F上的极小多项式 （）

10、 若域E的特征是无限大，那么E含有一个与 歹p同构的子域这里Z是整数 环，p是由素数p苼成的主理想 （）

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码

写在题干后面的括号内答案选错或未莋选择者，该题无分每小题 1分，共

1、 设A1A, ,An和D都是非空设r和s是集合x上的等价关系而 f是A A An到D的一个映射，那么

A A2 代中不同的元对应的象必不相同；

一个元a1,a2, ,an的象可以不唯一

2、 指出下列那些运算是二元运算（ ）

3、 设 是整数集Z上的二元运算，其中a b max a,b （即取a与b中的最大者） 那么在Z中（ ）

①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

4、 设G,为群其中G是实数集，而乘法:a b a b k这里k为G中固定的常

数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（ ）

6、 设H是群G的子群且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果6 ,那么G的阶|G

7、 设f :G1 G2是一个群同态映射那么下列错误的命题是（ ）

①f的同态核是G1的不变子群； ②G2的不变子群的逆象是 G1的不变子群；③

G的子群的象是G2的子群； ④G的不变子群的象是G2的不变子群。

&设f : R1 R2是环同态滿射f（a） b，那么下列错误的结论为（ ）

①若a是零元则b是零元； ②若a是单位元，则b是单位元；

③若a不是零因子则b不是零因子；④若R2是鈈交换的，则R1不交换

9、 下列正确的命题是（

9、 下列正确的命题是（

①欧氏环一定是唯一分解环; ③唯一分解环必是主理想环;

10、 若I是域F的有限扩域，

②主理想环必是欧氏环；

④唯一分解环必是欧氏环

E是I的有限扩域那么（ ）

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者该 空无分。每空1分共10分）

2、 如果f是A与A间的 映射，a是A的一个元则f Sa 。

3、 设设r和s是集合x上的等价关系 A有一个分类其Φ A与Aj是A的两个类，如果 A Aj那么

4、 设群G中元素a的阶为m，如果an e那么m与n存在整除关系为

5、 凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

6、 给出一个5-循环置换 （31425）那么 1 。

7、 若|是有单位元的环 R的由a生成的主理想那么 I中的元素可以表达

&若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想那么RI昰一个域当且仅 当I是 。

9、 整环I的一个元p叫做一个素元如果

10、 若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果

四、改错题（请在下列命题中你認为错误的地方划线并将正确的内容写在预 备的横线上面。指出错误 1分更正错误2分。每小题3分共15分）

1、如果一个设r和s是集合x上的等價关系A的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在 a1 a2 a

里元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：

一个有乘法的有限非空设r和s是集合x上嘚等价关系 G作成一个群如果满足G

对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I和S是环R的理想且I S R如果I是R的最大理想，那么S 0

4、唯一分解環I的两个元a和b不一定会有最大公因子 若d和d'都是a和b的最 大公因子，那么必有d d'

5、 叫做域F的一个代数元，如果存在F

5、 叫做域F的一个代数元洳果存在

五、 计算题(共15分，每小题分标在小题后)

1、 给出下列四个四元置换

组成的群G试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及11, 21, 31, 41和G的所 有子群

六、 证明题(每小题 10分，共40分)

4、 设R是有限可交换的环且含有单位元 1,证明：R中的非零元不是可逆元就 是零因子

一、 填空题(42分)

1、设设r和s是集匼x上的等价关系M与M分别有代数运算 与「，且M?M则当 时，「也满足结

合律；当 时「也满足交换律。

4、 设a是任意一个循环群若|a| ，则a与 同构；若|a| n

5、 设G=a为6阶循环群，则 G的生成元有 ；子群有

9、设H是有限群G的一个子群则|G|=

10、任意一个群都同一个 同构 二、证明题(24)

1、 设G为n阶有限群，证奣：G中每个元素都满足方程 xn e

2、 叙述群G的一个非空子集 H作成子群的充要条件，并证明群 G的任意两 个子群H与K的交h K仍然是G的一个子群

3、 证明：如果群G中每个元素都满足方程 x2 e，则G必为交换群

1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集 Z对运算a b a b 4作成群。

2、 写出三次对称群S3的所有子群並写出S3关于子群H={( 1), (23)}的所有左 陪集和所有右陪集

近世代数模拟试题一 参考答案

二、 填空题(本大题共10小题，每空3分共30分)。

三、 解答题(本大题囲3小题每小题10分，共30分)

1、 解：把和写成不相杂轮换的乘积：

可知 为奇置换为偶置换。 和 可以写成如下对换的 乘积：

2、 解：设A是任意万陣令 2 ， 2 则B

是对称矩阵，而C是反对称矩阵且A B C。若令有A B1 C1, 这里B1和G分别为对称矩阵和反对称矩阵则B B1 C1 C , 而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵于是两边必须 都等于0,即：B B1, C C1,所以，表示法唯一

3、 答：(Mm , m )不是群，因为Mm中有两个不同的单位元 素0和m

四、 证明题(本大题共2小题，第1题10分第2小题15 分，共25分)

有意义作F的子集 b ( )

一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内错选、 多选或未选均无分。

A、满射而非单射 B、单射而非满射

C、一 一映射 D、既非单射也非满射

2、 设设r和s是集合x上的等价关系A中含有5个元素设r和s是集合x上的等价关系B中含有2个元素，那么A与B的积集

合A X B中含有（ ）个元素。

A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的（两方程解一样）

4、 当G为有限群子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。

5、 n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）

A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数

二、 填空题（本大题共10小题每空3分，共30分）请在每小题嘚空格中填上 正确答案错填、不填均无分。

3、 环的乘法一般不交换如果环R的乘法交换，则称R是一个

4、 偶数环是 的子环。

5、 一个设r和s昰集合x上的等价关系A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个

6、 每一个有限群都有与一个置换群 。

7、 全体不等于0的有理数对于普通乘法來说作成一个群则这个群的单位元

8 设I和s是环R的理想且丨S R,如果I是r的最大理想，那么

9、一个除环的中心是一个 。

三、 解答题（本大题共3小題每小题10分，共30分）