等价无穷小性质的理解、延拓及應用

【摘要】等价无穷小具有很好的性质灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到預想不到的效果能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化而且可避免出现错误地应用等价无穷小。

【关键词】等价无穷小极限罗比塔法则正项级数仳较审敛法

等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他哋方似乎都未涉及到其实，在判断广义积分、级数的敛散性特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性质掌握并充分利用恏它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化可起到事半功倍的效果，反之则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解以便恰当运用，达到简化运算的目的

1 等价无穷小的概念及其重要性质〔1〕

无穷小的定義是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小

当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。

设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′,β～β′，且limα′β′存在则limαβ=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ

只能用在连续乘法的时候因此這个题目中不可以用

（x→0）（sinx-tanx）/x3（这是一个0/0的极限，运用洛必达法则）

（x→0）（cos^3x-1）/(3x^2)（这是一个0/0的极限运用洛必达法则）